Chủ đề này có 4 trả lời

[QUANVU]

Cho họ các đường tròn trong mặt phẳng có phần trong rời nhau từng cặp.Mỗi đường tròn tiếp xúc với ít nhất 6 đường tròn khác của họ.CMR:Họ là vô hạn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 16-03-2013 - 12:34

[salida]

"Phần trong rời nhau" tức là sao nhỉ, có phải là không giao nhau ???

[QUANVU]

"Phần trong rời nhau" tức là sao nhỉ, có phải là không giao nhau ???

Nghĩa là không có điểm trong chung.

[Lotus]

Theo trực quan, nếu xây dựng họ các đường tròn tiếp xúc với nhau theo kiểu "dây chuyền". 6 đường tròn tiếp xúc với một được tròn cho trước có bán kính bằng nhau và nhỏ hơn rất nhiều bán kính của đường tròn mà chúng cùng tiếp xúc, bán kính của chúng giảm dần đến vô cùng bé thì không những tiếp xúc với 6 mà với n đường tròn cũng được nữa !

[salida]

Theo trực quan của bạn Lotus ta có thể làm như sau:
Dễ thấy, với 1 đường tròn bất kỳ thì: 6 đường tròn tiếp xúc với nó không thể đều có bán kính lớn hơn bk của nó:
- Hoặc là 6 đtròn này có bk bằng nhau hết và bằng bk đtròn ở trong
- Hoặc là có ít nhất 1 đtròn có bk nhỏ hơn bk đtròn ở trong.
Giả sử chỉ có hữu hạn đường tròn, thì tất nhiên phải tồn tại một đtròn bán kính bé nhất (O;r). Suy ra 6 đtròn tiếp xúc với r phải có bán kính bằng r. Tiếp tục như thế các đường tròn tiếp xúc với nhau sinh ra từ đường tròn (O) này đều phải có bán kính r.
Nếu O có hòanh độ x thì ít nhất một trong 6 đường tròn tiếp xúc với nó phải có tâm có hòanh độ >= x+r/2
--> có ít nhất một đtròn nữa có tọa độ >=x+2r/2
...
--> có ít nhất một đtròn có tọa độ >=x+nr/2
với n có thể chạy ra vô cùng --> vô lý --> có vô số đường tròn