Trong thời cấp hai khi đọc lời giải của khá nhiều bài toán đặc biệt là bất đẳng thức tôi không thể hiểu nổi tại sao lại có thể nghĩ ra nó nên hay cho rằng đấy là những lời giải không đẹp thiếu tự nhiên.Đến cấp ba khi được học những kiến thức mới tôi mới bắt đầu có tư tưởng đi sâu vào bản chất mỗi bài toán và lời giải của chúng.Như anh Hatucdao đã nói :khi gặp một bài toán thì điều quan trọng là "nhận ra đâu là kĩ thuật chính,qua đó giải thích được vi sao lại giải như vậy và cao hơn cả là vì sao lại nghĩ ra bài toán"Trong quá trình học toán với lối suy nghĩ đó tôi đã rút ra và hiểu được khá nhiều cái hay trong mỗi bài toán và lời giải của chúng.Và cũng từ đó cộng thêm một sự tổng hợp nhất định tôi đã rút ra được một phương pháp chứng minh bất đẳng thức:"Phương pháp hệ số bất định". Đây là một phương pháp khá hay và mạnh đi kèm với những lời giải đẹp,ngắn và ấn tượng.
Bây giờ ta đi xét một vài ví dụ
Ví dụ 1 http://dientuvietnam...metex.cgi?a,b,c .Chứng minh rằng:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a+b+c=3 thì bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\alpha sao cho bất đẳng thức :
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\alpha để http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?(1) đúng với mọi http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f(1)=0 nên ttheo định lí Fermat ta có
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\alpha sao cho phương trình:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a=1. (Tương tự với những phần ở bên dưới.)
Bây giờ ta chỉ còn phải chứng minh :
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(1) đúng với mọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\alpha sao cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(1) đúng với mọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\alpha sao http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(1) đúng với mọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\alpha cực nhanh là :
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a,b,c thỏa mãn http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a+b+c=3
Ở phía trên ta đã chứng minh bất đẳng thức này sau khi đã chuẩn hóa và từ http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(1) ta thấy ngay rằng bất đẳng thức :
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a,b,c.Ta thấy rằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(2) là bất đẳng thức thuần nhất con http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(1) thì không nên cũng có cách khác tìm ra http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(2) mà không cần chuyển về http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(1) (qua chuẩn hóa). Bây giờ chúng ta phải tìm http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(2^,) đúng hay http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\alpha=\dfrac{16}{3},\beta=\dfrac{4}{3} là một bộ số sao cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(2) đúng với mọi số dương http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a,b,c.Theo kiểu này thì không thể khẳng định đây là bộ số duy nhất được.
Cùng các bất đẳng thức tương tự ta có:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a,b,c .Chứng minh rằng:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p sao cho bất đẳng thức :
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a,b,c.
Giả sử tồn tại http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p sap cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(3) đúng với mọi số thực dương http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a,b,c.
Cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?b=c=1 thì với mọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a dương ta có:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a>0 và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(1)=0 nên
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(3^,) đúng tức http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p=2 là giá trị duy nhất sao cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(3) đúng với mọi số dương http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a,b,c
Cùng các bất đẳng thức tương tự ta có:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p này cũng đã giúp ta khẳng định chỉ có duy nhất một số thực http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p thỏa mãn.Bây giờ ta sẽ đi theo một con đường khác có tính chất dự đoán http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p .
Áp dụng Côsi ta có:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p=2.
Nhận xét:
Cách giải ở hai bài trên đã sử dụng đẳng thức:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?1=\dfrac{a^p+b^p+c^p}{a^p+b^p+c^p}=\dfrac{1}{\alpha+\beta}.\dfrac{\alpha(a+b+c)+\beta(b+c+c+a+a+b)}{a+b+c}
Và lúc nào phải đi tìm http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p và lúc nào phải đi tìm http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\alpha,\beta thì có thể nói là nhìn thì biết ngay.Ví dụ như xét bất đẳng thức:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?b,c cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a,b,c.Biểu diễn số http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?1 dưới hai dạng trên giúp ta giải quyết được rất nhiều bài toán dạng này,nhưng liệu còn cách biểu diễn nào nữa không?
Ví dụ 3
Cho các số dương http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a,b,c .Chứng minh rằng:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a,b,c .Chứng minh rằng:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\alpha sao cho bất đẳng thức :
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a,b.
Giả sử tồn tại http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\alpha sao cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(3) đúng với mọi số dương http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a,b.
Cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?b=1 thì với mọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a dương ta có:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(1)=0 nên
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(3^,) đúng hay http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(3) đúng với mọi số dương http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a,b.
Cũng như các bài trước cũng có cách dùng Côsi để dự đoán http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\alpha như sau.Dễ thấy http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a dương và cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(3) không thể đúng với mọi số dương http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a,b được.Với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(3) dưới dạng:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\alpha=1
Thực ra thì việc lý luận http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\alpha=1
Rõ ràng với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\alpha=1 vừa tìm được thì ta đã sử dụng Côsi với số âm nhưng điều này cũng không sao vì đây chỉ là nháp
Cùng các bất đẳng thức tương tự ta có:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a,b.
Nhưng điều này là không đúng vì khi cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(4) không đúng nhưng nó vẫn có một tác dụng không hề nhỏ đó vì ta có:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(4) không đúng với mọi số dương http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a,b thì ta nghĩ ngay đến bài toán:Tìm tất cả các số thực http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k sao cho tồn tại số thực http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\alpha thỏa mãn bất đẳng thức:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a,b
Đây là một bài toán không khó nhưng nó thể hiện một ý tưởng.Và với mỗi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k tìm được ta sẽ có được một bài toán mới.
Phía trên ta đã đi xét các ví dụ là các bất đẳng thức thuần nhất .Và câu hỏi đặt ra là khi nào thì sử dụng được phương pháp này trong các bất đẳng thức thuần nhất?Bằng kinh nghiệm của bản thân thì tôi cho rằng điều kiện cần để có thể sử dụng phương pháp này với các bất đẳng thức thuần nhất là:
1,Dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các biến số bằng các giá trị trong một tập hữu hạn nào đó (thường thì tập đó chỉ có một số cùng lắm là hai)
2,Bất đẳng thức là tổng của một dãy các biểu thức đối xứng nhau và tồn tại một cách chuẩn hóa để mỗi biểu thức chỉ còn phụ thuộc vào một biến số hoặc các biểu thức là hoán vị liên tiếp của nhau.
Đây chỉ là điều kiện cần còn chứ còn điều kiện đủ thì tôi chỉ biết thử cho từng bài toán.
Bây giờ ta đi xét ví dụ về bất đẳng thức có điều kiện.
Ví dụ 5
Cho các số dương http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a,b,c thỏa mãn
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a^2+b^2+c^2=3
Chứng minh rằng:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\alpha sao cho bất đẳng thức:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\alpha sao cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(5) đúng với mọi số dương http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(1)=0 nên
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(5^,) đúng hay http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\alpha=\dfrac{1}{6} là giá trị cần tìm.
Cùng các bất đẳng thức tương tự ta có:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\alpha sao cho bât đẳng thức :
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_1 thỏa mãn đề bài.Đây là một đường lối cơ bản để giải quyết dạng toán này.Đồng thời với các bất đẳng thức thuần nhất thì sau khi chuẩn hóa ta sẽ chuyển ngay bài toán về dạng này.
Ví dụ 6
Cho các số thực không âm http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a,b,c,d,e thỏa mãn :
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a^3+b^3+c^3+d^3+e^3=1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\alpha sao cho bất đẳng thức:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\alpha sao cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(6) đúng với mọi số thực http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(0)=f(1)=1 nên theo định lí Rolle tồn tại http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f^,(\beta)=0.Xét hệ phương trình:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(6^,) đúng hay http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(0,\dfrac{1}{\sqrt[3]{4}},\dfrac{1}{\sqrt[3]{4}},\dfrac{1}{\sqrt[3]{4}},\dfrac{1}{\sqrt[3]{4}})
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n biến số.Tuy vậy ở trên tôi chỉ lấy các ví dụ các bất đẳng thức có ba biến số vì tôi nghĩ nó hay nhất khi chỉ có ba biến.
Hy vọng qua bài viết này các bạn đã hiểu được phần nào nội dung của phương pháp này.Sau đây là một số bài tập áp dụng (có rất nhiều trên diễn đàn)
Bài 1 http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a,b,c .Chứng minh rằng:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a,b,c.Chứng minh rằng:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a,b,c,d.Chứng minh rằng:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a,b,c .Chứng minh rằng:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a,b,c thỏa mãn http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a^3+b^3+c^3=3.Chứng minh rằng:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác .Chứng minh rằng:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a,b,c.Chứng minh rằng:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a,b,c thỏa mãn http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a+b+c=1.Chứng minh rằng:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a,b,c thỏa mãn http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a+b+c=2.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_1,a_2,....,a_n và các số thực dương cho trước http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\alpha_1,\alpha_2,....,\alpha_n.Khi đó đặt http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\alpha=\alpha_1+\alpha_2+...\alpha_n ta có:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(x) liên tục trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(a,b).Khi đó nếu hàm số http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(x) đạt cực trị tại http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f^,(x_0)=0
3,Định lý Rolle
Cho hàm số http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(x) liên tục trên khoảng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(a,b) thỏa mãn http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(a)=f(b) thì tồn tại http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f^,(x_0)=0
..........
not finished
1111308
[/quote]
