He he ... Bài này mình có hai cách vô cùng dễ hiểu.
Lời giải 1. Do vai trò đối xứng của $(a,b,c)$ và $ (\dfrac{a}{a+bc} ,\dfrac{b}{b+ca},\dfrac{c}{c+ab})$ là cùng giảm . Thế thì áp dụng
BDT Trê-bư_sép ta có:
$ M= a.\dfrac{a}{a+bc} +b.\dfrac{b}{b+ca}+c.\dfrac{c}{c+ab} \geq \dfrac{a+b+c}{3}.(\dfrac{a}{a+bc} +\dfrac{b}{b+ca}+\dfrac{c}{c+ab})$
Rùi đặt : N=$ \dfrac{a}{a+bc} +\dfrac{b}{b+ca}+\dfrac{c}{c+ab}$
Chú ý rằng từ điều kiện :$ \dfrac{1}{a}+ \dfrac{1}{b} +\dfrac{1}{c} =1 $ ta suy ra $ abc=ab+bc+ca $ .
Bây giờ áp dụng
bất đẳng thức Cauchy-Shwart tá có:
N=$ \dfrac{a^2}{a^2+abc} +\dfrac{b^2}{b^2+abc}+\dfrac{c^2}{c^2+abc} \geq \dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+3abc}=\dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)}=\dfrac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+(ab+bc+ca)} \geq \dfrac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+\dfrac{(a+b+c)^2}{3}}=\dfrac{3}{4} $
Từ đó ta có bdt cần chứng minh.Dấu bằng khi $ a=b=c $ .
đó là lời giải đầu , còn sau đây cơ bản hơn .Chẳng cần sử dụng Định lí nào cả .
Lời giải 2. :Từ $ \dfrac{1}{a}+ \dfrac{1}{b} +\dfrac{1}{c} =1 $ ta suy ra $ bc=\dfrac{a.(b+c)}{a-1} $ .Do đó :
$ \dfrac{a^2}{a+bc}=\dfrac{a^2}{a+\dfrac{a.(b+c)}{a-1}}=\dfrac{a}{1+\dfrac{b+c}{a-1}}=\dfrac{a.(a-1)}{a+b+c-1}$
Tương tự ta có :
$ S= \dfrac{a^2}{a+bc} +\dfrac{b^2}{b+ca}+\dfrac{c^2}{c+ab} =\dfrac{a.(a-1)}{a+b+c-1}+\dfrac{b.(b-1)}{a+b+c-1}+\dfrac{c.(c-1)}{a+b+c-1}= \dfrac{a.(a-1)+b.(b-1)+c.(c-1)}{a+b+c-1}=\dfrac{M^2-M-2N}{M-1}$
Trong đó :$ M=a+b+c $ , và $ N=abc=ab+bc+ca $.
Vậy thì :
$ S \geq \dfrac{a+b+c}{4}=\dfrac{M}{4}$
$3.M^2-3.M \geq 8.N $ .
Chú ý :
*$ N=ab+bc+ca \leq \dfrac{(a+b+c)^2}{3}= \dfrac{M^2}{3}$
*$M= (a+b+c).(\dfrac{1}{a}+ \dfrac{1}{b} +\dfrac{1}{c}) \geq 9 $
$ M \geq 9 $
Do đó :$3.M^2-3.M =8.\dfrac{M^2}{3}+\dfrac{M.(M-9)}{3}\geq 8.N $ .
Vậy ta suy ra bdt cần chứng minh .
hai lời giải cũng khá hay đấy chứ ???? hehe
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 02-10-2009 - 10:11
Khách- PiE_*
