Chủ đề này có 208 trả lời

[vo thanh van]

Bài này đã có lời giải rồi mà,cách của Đông là dùng dồn biến

[vietnam_math]

Mình cũng xin góp 1 số bài thi đại học :
Bài 1 :
cho x ,y,z là các số nguyên dương CMR:
$\sum\sqrt{x^2+xy+y^2}\geq \sqrt 3 (x+y+z)$

(Học viện Quan Hệ - Quốc Tế 1997 _ A)
Bài 2 :
CMR với mọi số thực a,b,c thỏa mãn đk a+b+c=1 thì :
$ \sum \dfrac {1}{3^a} \geq 3 \sum \dfrac {a}{3^a}$

(Học viện Bưu chính Viễn thông 2001)

Bài 1 Có thể giải theo cách này:
$cm : x^{2}+xy+ y^{2} \geq \dfrac{3}{4} (x+y)^{2}$
biến đổi tương đương sẽ ra một cái luôn đúng
căn ra
mấy cái kia tương tự
cộng vế, thế là ôkie

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 02-10-2009 - 10:13

[vietnam_math]

Mình cũng xin góp 1 số bài thi đại học :
Bài 1 :
cho x ,y,z là các số nguyên dương CMR:
$\sum\sqrt{x^2+xy+y^2}\geq \sqrt 3 (x+y+z)$

(Học viện Quan Hệ - Quốc Tế 1997 _ A)
Bài 2 :
CMR với mọi số thực a,b,c thỏa mãn đk a+b+c=1 thì :
$ \sum \dfrac {1}{3^a} \geq 3 \sum \dfrac {a}{3^a}$

(Học viện Bưu chính Viễn thông 2001)

em chỉ giải bài 1 thôi nhá

cách này thì thcs cũng xài ngon:
$cm: 4( x^{2}+xy+ y^{2}) \geq 3 (x+y)^{2} $
(cái này thì biến đổi tương đương là ra)
tiếp tục căn nó ra sau đó cộng vế
thế là ôkiemen

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 02-10-2009 - 10:14

[vietnam_math]

Đây là hệ quả của Jensen mà ,chỉ cần c/m BDT sau là được
$ \dfrac{1}{1+x^{2}}+\dfrac{1}{1+y^{2}} \geq \dfrac{2}{1+xy}$
cái này đúng với mọi x ,y \geq 1

xem lại đi anh bạn ơi, không áp dụng trực tiếp được đâu
giải thế này
$\dfrac{1}{1+ a^{3} } + \dfrac{1}{1+ b^{3} } \geq \dfrac{2}{1+ab \sqrt{ab}}$
$$ \dfrac{1}{1+ c^{3} } + \dfrac{1}{1+abc} \geq \dfrac{2}{1+ c^{2} \sqrt{ab} } $
cộng vế
$\dfrac{2}{1+ab \sqrt{ab} }+\dfrac{2}{1+ c^{2} \sqrt{ab} } } \geq \dfrac{4}{1+abc} $
sau đó trừ đi cụm này $ \dfrac{1}{1+abc}$
$ \Rightarrow$ đpcm
(bài này ông thầy tui cho rùi, thường thôi)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 19-01-2012 - 19:40

[duyenmit]

Tôi cũng đóng góp bài toán đã cũ nhưng tương đối hay
Bài 21: Cho tam giác ABC không nhọn ,Tìm min của $\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 19-01-2012 - 19:39

[duyenmit]

thêm một bài nữa nhé:
Bài 22: Cho a,b là 2 số thỏa mãn $ax+by \geq \sqrt{xy} \forall x,y>0$.Chứng minh $a.b \geq \dfrac{1}{4} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 19-01-2012 - 19:41

[Mai Anh]

Bài tam giác của duyenmit ra là tam giác vuông cân.

[duyenmit]

Bài tam giác của duyenmit ra là tam giác vuông cân.

đúng r�ồi đấy bạn ạ lời giải cũng không thật khó nhưng tôi thấy đây là 1 bài toán tương đối hay .Còn đây là 1 bài cũng không khó thi thử của tổng hợp Nhưng các bạn nhớ chỉ được dùng kiến thức thi đại học thôi nhé .
Bài 23: Cho $x>0,y>-1$.Tìm min $ x^{2}+2y+ \dfrac{2}{x.(y+1)^{3} } $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 19-01-2012 - 19:41

[supermember]

đúng r�ồi đấy bạn ạ lời giải cũng không thật khó nhưng tôi thấy đây là 1 bài toán tương đối hay .Còn đây là 1 bài cũng không khó thi thử của tổng hợp Nhưng các bạn nhớ chỉ được dùng kiến thức thi đại học thôi nhé .
Cho $x>0,y>-1$.Tìm min $ x^{2}+2y+ \dfrac{2}{x.(y+1)^{3} } $

Bài này chọn điểm rơi thui:$x^2+\dfrac{y+1}{3}+\dfrac{y+1}{3}+\dfrac{y+1}{3}+\dfrac{y+1}{3}+\dfrac{y+1}{3}+\dfrac{y+1}{3}+\dfrac{1}{x.(y+1)^{3} }+\dfrac{1}{x.(y+1)^{3} }-2 \geq ..... $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 01-06-2011 - 08:45

[duyenmit]

Bài này chọn điểm rơi thui:$x^2+\dfrac{y+1}{3}+\dfrac{y+1}{3}+\dfrac{y+1}{3}+\dfrac{y+1}{3}+\dfrac{y+1}{3}+\dfrac{y+1}{3}+\dfrac{1}{x.(y+1)^{3} }+\dfrac{1}{x.(y+1)^{3} }-2 \geq ..... $

giải tiếp đi bạn cô si 9 số có được dùng đâu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 01-06-2011 - 08:45

[duyenmit]

thêm một bài nữa nhé: Cho a,b là 2 số thỏa mãn $ax+by \geq \sqrt{xy} , \forall x,y>0$.Chứng minh $a.b \geq \dfrac{1}{4} $

bầi này không ai giải à để mình vậy
nếu $a<0$ suy ra chọn $x$ cực lớn suy ra vô lí .Tương tự với $b<0$.Rút ra $a,b>0$ chọn $x= \dfrac{b}{a} ;y= \dfrac{a}{b} $ thay vào bdt trên suy ra dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 01-06-2011 - 08:47

[supermember]

giải tiếp đi bạn cô si 9 số có được dùng đâu

Nếu ko được cô-si cho 9 số thì có thể lượt cô-si cho 3 số sau đó cô-si thêm 1 lần nữa là okie mà.

[vietbac]

Bài 1 dùng bunhiacowski là ra:$\sum \sqrt{(3+1)((x+ \dfrac{y}{2})^{2}+ (\dfrac{ \sqrt{3}y }{2})^{2} } \geq \sum \sqrt{3}(x+y) \Rightarrow Q.E.D$

Bài này sử dụng như thế này có lẽ là đơn giản hơn
$x^2+y^2+xy= \dfrac{1}{2}(x+y)^2 +\dfrac{1}{2}(x^2+y^2) \geq \dfrac{1}{2}(x+y)^2 +\dfrac{1}{4}(x+y)^2 =\dfrac{3}{4}(x+y)^2 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 01-06-2011 - 08:48

[Amatha]

Bài tương tự khá thú vị Cho $a,b,c > 0;ab+bc +ca = abc$ . CMR :$ \dfrac{\sqrt{b^2 + 2a^2}}{ab} + \dfrac{\sqrt{c^2 + 2b^2}}{bc} + \dfrac{\sqrt{ a^2 + 2c^2}}{ac} \ge 3$
ĐHQG Hà Nội năm 2000

Rất vui khi mở topic này có khá nhiều thành viên ủng hộ nhiết tình. Xong rất mong ta thảo luận chi tiết hơn một chút vì còn có khá bạn chưa giỏi toán !

Bài này không đúng. Vế phải phải là $\sqrt{3}$. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $ a = b = c = 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 12-06-2011 - 09:35

[slbadguy]

Bài 1 dùng AM-GM, sau đó chứng minh tương đương
Ta có:
$\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2} \geq 2 \sqrt{ \dfrac{1}{(1+a^2)(1+b^2})}$
Sau đó chứng minh:
$\sqrt{ \dfrac{1}{(1+a^2)(1+b^2})}\leq 1+ab$

chà nếu làm vậy thì phải là
$1 + ab \ge \sqrt {(1 + a^2 )(1 + b^2 )}$
$\Leftrightarrow (1 + ab)^2 \ge (1 + a^2 )(1 + b^2 )$
$\Leftrightarrow 1 + 2ab + a^2b^2 \ge 1 + a^2 + b^2 + a^2b^2$
$\Leftrightarrow 2ab \ge a^2 + b^2$
$\Leftrightarrow 0 \ge (a+b)^2$
?????????

$ \dfrac {1}{1 + a^2} + \dfrac{1}{1+ b^2} = \dfrac{2 + a^2 +b^2}{1 +a^2 +b^2 + a^2b^2} \ge \dfrac{2+ 2ab}{1 + 2ab + a^2b^2} = \dfrac{2}{1 + ab}$ Khi giải đừng quên dấu "=" xảy ra nhé!

Có thể đặt $a = \tan{x} , b = \tan{y}$
$\dfrac {1}{1 + a^4} +\dfrac{1}{1+ b^4}+\dfrac{1}{1+ c^4}+\dfrac{1}{1+ d^4} \ge \dfrac{2}{1 +a^2b^2} + \dfrac{2}{1 +c^2d^2} \ge \dfrac{4}{1 + abcd}$ Khi giải đừng quên dấu "=" xảy ra nhé!

Em vẫn chưa hiểu vì sao
$\dfrac{{2 + a^2 + b^2 }}{{1 + a^2 + b^2 + a^2 b^2 }} \ge \dfrac{{2 + 2ab}}{{1 + 2ab + a^2 b^2 }}$(1)
Có phải là
$a^2 + b^2 \ge 2ab$
$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{{2 + a^2 + b^2 \ge 2 + 2ab} \\{1 + a^2 + b^2 + a^2 b^2 \ge 1 + 2ab + a^2 b^2 } \\\end{array}} \right.$
chia vế theo vế ta có (1)
Như thế đúng chưa ạ ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 12-06-2011 - 09:38

[trinhnam1690]

Đại Học Tây Nguyên (2000):
Bài 24: Cho 3 số dương $x,y,z$ thỏa $x + y + z =1$
cmr $xy + yz + zx > \dfrac{18xyz}{2+xyz}$

Và:
ĐH Hàng Hải (2000) :
Bài 25: Cho $f(x)= ax^2 +bx + c $ thỏa mãn $|f(x)| \leq 1$ với mọi x nằm trên đoạn $[0,1]$
CMR $f'(0) \leq 8$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 19-01-2012 - 19:42

[Songohan]

Làm bài này luôn.
Bài 26:Cho $x,y,z$ là các số dương thõa $x + y + z + t \leq 1$
Tìm giá trị nhỏ nhất của
$A = \sqrt {x^5 + \dfrac{1}{{x^5 }}} + \sqrt {y^5 + \dfrac{1}{{y^5 }}} + \sqrt {z^5 + \dfrac{1}{{z^5 }}} + \sqrt {t^5 + \dfrac{1}{{t^5 }}} $
(phỏng theo đề thi đại học năm 2003)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 19-01-2012 - 19:43

[nhantt2]

Mấy anh ơi, thường thì trong đề thi đại học bài BĐT chiếm bao nhiêu điểm vậy???
(Em lớp 10)

[Sao_bang_lanh_gia]

Mấy anh ơi, thường thì trong đề thi đại học bài BĐT chiếm bao nhiêu điểm vậy???
(Em lớp 10)

Bài BDT được coi là bài khó trong đề thi vì vậy nó chỉ chiếm 1 điểm thôi em à

[L_Euler]

Bài 27:
Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=\dfrac{\pi}{2}$, chứng minh rằng:
$\sqrt{1+tanx.tany}+\sqrt{1+tany.tanz}+\sqrt{1+tanz.tanx} \le 2\sqrt{3} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 19-01-2012 - 19:43