Chủ đề này có 208 trả lời

[Crystal]

1.Cho a,b,c>0 thỏa $a^2+b^2+c^2=3$
CMR: $\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\geq \dfrac{4}{a^2+7}+\dfrac{4}{b^2+7}+\dfrac{4}{c^2+7}$

Bài này ở đây.
http://diendantoanho...l=&fromsearch=1

[Ispectorgadget]

Bài 45: Cho x,y,z >0 và x+y+z=3. Tìm GTNN của P =\[
\dfrac{{16^x }}{{8^x + 4^x 2^y + 4^x 2^{z + 1} + 16}} + \dfrac{{16^y }}{{8^y + 4^y 2^z + 4^y 2^{x + 1} + 16}} + \dfrac{{16^z }}{{8^z + 4^z 2^x + 4^z 2^{y + 1} + 16}}
\]

Bài 46: Cho x,y,z>0 thỏa xyz$\leq 1$ tìm GTNN của A=\[
\dfrac{{x^{2010} }}{{1 + \sqrt y }} + \dfrac{{y^{2010} }}{{1 + \sqrt z }} + \dfrac{{z^{2010} }}{{1 + \sqrt x }}
\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 19-01-2012 - 19:51

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Cho x,y,z >0 và x+y+z=3. Tìm GTNN của P =\[
\dfrac{{16^x }}{{8^x + 4^x 2^y + 4^x 2^{z + 1} + 16}} + \dfrac{{16^y }}{{8^y + 4^y 2^z + 4^y 2^{x + 1} + 16}} + \dfrac{{16^z }}{{8^z + 4^z 2^x + 4^z 2^{y + 1} + 16}}
\]

Đặt$ a=2^{x},b=2^{y},c=2^{z}\Rightarrow abc=8\Rightarrow a+b+c\geq 12$
Dự đoán Min A=1 ta đi chứng minh
$A=\sum \dfrac{a^{4}}{a^{3}+a^{2}b+2a^{2}c+16}\geq 1$
$\Rightarrow \sum \dfrac{a^{3}}{(a+b)(a+2c)}\geq 1$
$\sum \dfrac{a^{3}}{(a+b)(a+2c)}\geq \dfrac{(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^{2}}
{(a+b)(a+2c)+(b+c)(b+2a)+(c+a)(c+2b)}$(theo Cauchy-Schwarz)
$(a+b)(a+2c)+(b+c)(b+2a)+(c+a)(c+2b)=a^{2}+b^{2}+c^{2}+5(ab+bc+ca)\leq 2(a+b+c)^{2}$(AM-GM)
$(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^{2}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}\geq (a+b+c)^{4}$
$2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}\leq 6(a+b+c)\leq (a+b+c)^{2}$(AM-GM)
$\Rightarrow (a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^{2}\geq\dfrac{(a+b+c)^{4}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}}\geq 2(a+b+c)^{2}$
$\Rightarrow \dfrac{(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^{2}}{(a+b)(a+2c)+(b+c)(b+2a)+(c+a)(c+2b)}\geq 1$
Vậy min A=1 khi a=b=c 2 hay x=y=z=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HÀ QUỐC ĐẠT: 14-11-2011 - 20:13

[alex_hoang]

Bài 47: Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $a+b+c=1$. Tìm GTLN của:
$$T=\frac{a-bc}{a+bc}+\frac{b-ca}{b+ca}+\frac{c-ab}{c+ab}$$
Bài này là đề thi Olympic Canada 2008 nhưng cũng được lấy làm đề thi thử đại học của một số trường các bạn làm thử

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 19-01-2012 - 19:53

[tuithichtoan]

Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $a+b+c=1$. Tìm GTLN của:
$$T=\frac{a-bc}{a+bc}+\frac{b-ca}{b+ca}+\frac{c-ab}{c+ab}$$
Bài này là đề thi Olympic Canada 2008 nhưng cũng được lấy làm đề thi thử đại học của một số trường các bạn làm thử

Có: $T=\dfrac{a-bc}{a+bc}+\dfrac{b-ac}{b+ac}+\dfrac{c-ba}{c+ba}$
$=3-2(\dfrac{bc}{a+bc}+\dfrac{ac}{b+ac}+\dfrac{ba}{c+ba})$
$\leq 3-2(\dfrac{(ab+bc+ca)^{2}}{3abc+(ab)^{2}+(bc)^{2}+(ca)^{2}})$
$\leq 3-2(\dfrac{(ab+bc+ca)^{2}}{3abc(a+b+c)+(ab+bc+ca)^{2}-2(a^{2}bc+ab^{2}c)+abc^{2})})$
$=3-2(\dfrac{(ab+bc+ca)^{2}}{ab.ac+ab.bc+ac.bc+(ab+bc+ca)^{2}})$
$\leq 3-2(\dfrac{(ab+bc+ca)^{2}}{\dfrac{(ab+bc+ca)^{2}}{3}+(ab+bc+ca)^{2}}) =\dfrac{3}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuithichtoan: 24-11-2011 - 13:40

[Ispectorgadget]

Bài 48: Đề thi ĐH khối B năm 2011
Cho a,b là 2 số thực dương thỏa $2(a^2+b^2)+ab=(a+b)(ab+2)$
Tìm GTNN của P =$4(\dfrac{a^3}{b^3}+\dfrac{b^3}{a^3})-9(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 19-01-2012 - 19:53

[Crystal]

Đề thi ĐH khối B năm 2011
Cho a,b là 2 số thực dương thỏa $2(a^2+b^2)+ab=(a+b)(ab+2)$
Tìm GTNN của P =$4(\dfrac{a^3}{b^3}+\dfrac{b^3}{a^3})-9(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2})$

Ta có: $$a,b > 0 \Rightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + ab = \left( {a + b} \right)\left( {ab + 2} \right) \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + ab = {a^2}b + a{b^2} + 2\left( {a + b} \right)$$
$$ \Leftrightarrow 2\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}} \right) + 1 = \left( {a + b} \right) + 2\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right)$$
Theo AM - GM: $$\left( {a + b} \right) + 2\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right) \geqslant 2\sqrt {2\left( {a + b} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right)} = 2\sqrt {2\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} + 2} \right)} $$
$$ \Rightarrow 2\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right) + 1 \geqslant 2\sqrt {2\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} + 2} \right)} \Leftrightarrow \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \geqslant \dfrac{5}{2}$$
Đặt $$t = \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a},t \geqslant \dfrac{5}{2} \Rightarrow P = 4\left( {{t^3} - 3t} \right) - 9\left( {{t^2} - 2} \right) = 4{t^3} - 9{t^2} - 12t + 18 = f\left( t \right)$$
Khảo sát hàm số trên ta được: $$\min P = - \dfrac{{23}}{4} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} = \dfrac{5}{2}\\
a + b = 2\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left( {a,b} \right) = \left( {1,2} \right)\\
\left( {a,b} \right) = \left( {2,1} \right)
\end{array} \right.$$

[Crystal]

Bài 49: [KHỐI A_2007] Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả $xyz=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P = \dfrac{{{x^2}\left( {y + z} \right)}}{{y\sqrt y + 2z\sqrt z }} + \dfrac{{{y^2}\left( {z + x} \right)}}{{z\sqrt z + 2x\sqrt x }} + \dfrac{{{z^2}\left( {x + y} \right)}}{{x\sqrt x + 2y\sqrt y }}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 19-01-2012 - 19:53

[Ispectorgadget]

[KHỐI A_2007] Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả $xyz=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P = \dfrac{{{x^2}\left( {y + z} \right)}}{{y\sqrt y + 2z\sqrt z }} + \dfrac{{{y^2}\left( {z + x} \right)}}{{z\sqrt z + 2x\sqrt x }} + \dfrac{{{z^2}\left( {x + y} \right)}}{{x\sqrt x + 2y\sqrt y }}$$

Từ giả thiết xyz=1 và x,y,z>0 ta có:
$x^2(y+z)\geq x^2.2\sqrt{yz}=2x\sqrt{x}$
$y^2(x+z)\geq 2y\sqrt{xz}$
$z^2(x+y)\geq 2z\sqrt{xy}$
Do đó P$\geq \dfrac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\dfrac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\dfrac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}$
Đặt: $a=x\sqrt{x}+2y\sqrt{y};b=y\sqrt{y}+2z\sqrt{z};c=z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}$
Biết đổi ta được: $x\sqrt{x}=\dfrac{4c+a-2b}{a};y\sqrt{y}=\dfrac{4a+b-2c}{9};z\sqrt{z}=\dfrac{4b+c-2a}{9}$
Do đó: P$\geq \dfrac{2}{9}[\dfrac{4c+a-2b}{a}+\dfrac{4a+b-2c}{b}+\dfrac{4b+c-2a}{c}]=\dfrac{2}{9}[4(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{a})+(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{a})-6]\geq 2$


Cách giải này em thấy không hay cho lắm anh Xusinst còn cách nào hay hơn không.

Bài 50: Đề dự bị khối D năm 2002
Giả sử a,b,c,d là 4 số nguyên thay đổi thỏa
$1\leq a<b<c<d\leq50$
Chứng minh: $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}\geq \dfrac{b^2+b+50}{50b}$
Và tìm GTNN của S =$\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 19-01-2012 - 19:54

[Crystal]

Đề dự bị khối D năm 2002
Giả sử a,b,c,d là 4 số nguyên thay đổi thỏa
$1\leq a<b<c<d\leq50$
Chứng minh: $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}\geq \dfrac{b^2+b+50}{50b}$
Và tìm GTNN của S =$\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}$

Do $a \ge 1;d \le 50;c > b$ nên $c \ge b + 1$, suy ra:
$$ \dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} \ge \dfrac{1}{b} + \dfrac{{b + 1}}{{50}} = \dfrac{{{b^2} + b + 50}}{{50b}}$$
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow a = 1,d = 50,c = b + 1$

Ta có: $$\dfrac{{{b^2} + b + 50}}{{50b}} = \dfrac{b}{{50}} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{{50}} \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{x}{{50}} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{50}}\,\,\left( {2 \le x \le 48} \right)$$
Để tìm GTNN của $S = \dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d}$ ta tìm GTNN của $f\left( x \right)$.

Có $$f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{50}} - \dfrac{1}{{{x^2}}} \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} = 50\\
2 \le x \le 48
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5\sqrt 2 $$
Lập bảng biến thiên ta tìm được: $$\mathop {\min }\limits_{2 \le x \le 48} f\left( x \right) = \dfrac{{53}}{{175}} \Rightarrow \min S = \dfrac{{53}}{{175}} \Leftrightarrow \left( {a,b,c,d} \right) = \left( {1,7,8,50} \right)$$

[Crystal]

Bài 51: Cho 3 số $x,y,z \in \left[ {0,1} \right]$ và $x + y + z = \dfrac{3}{2}$. Tìm GTLN và GTNN của:
$$Q = c{\text{os}}\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 19-01-2012 - 19:54

[Ispectorgadget]

Bài 52: Đề dự bị khối D - 2002
Cho tam giác ABC có diện tích là $\dfrac{3}{2}$
CMR: $(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})(\dfrac{1}{h_{a}}+\dfrac{1}{h_{b}}+\dfrac{1}{h_{c}})\geq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 19-01-2012 - 19:54

[Crystal]

Đề dự bị khối D - 2002
Cho tam giác ABC có diện tích là $\dfrac{3}{2}$
CMR: $(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})(\dfrac{1}{h_{a}}+\dfrac{1}{h_{b}}+\dfrac{1}{h_{c}})\geq 3$

Ta có: $$S = \dfrac{1}{2}a{h_a} = \dfrac{1}{2}a{h_b} = \dfrac{1}{2}a{h_c} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{h_a} = \dfrac{{2S}}{a}\\
{h_b} = \dfrac{{2S}}{b}\\
{h_c} = \dfrac{{2S}}{c}
\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{1}{{{h_a}}} + \dfrac{1}{{{h_b}}} + \dfrac{1}{{{h_c}}} = \dfrac{1}{{2S}}\left( {a + b + c} \right)$$
$$ \Rightarrow \left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right)\left( {\dfrac{1}{{{h_a}}} + \dfrac{1}{{{h_b}}} + \dfrac{1}{{{h_c}}}} \right) = \dfrac{1}{{2S}}\left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right)$$
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có:
$$\left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge 9 \Rightarrow \left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right)\left( {\dfrac{1}{{{h_a}}} + \dfrac{1}{{{h_b}}} + \dfrac{1}{{{h_c}}}} \right) \ge \dfrac{9}{{2.\dfrac{3}{2}}} = 3$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác $ABC$ đều.

[Ispectorgadget]

Đại học Ngoại Thương - 1997
Bài 53: Cho a,b,c >0; a+b+c=6. Tìm GTLN của
A=$\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1}$

Bài này không khó :-<

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 19-01-2012 - 19:55

[Crystal]

Đại học Ngoại Thương - 1997
Cho a,b,c >0; a+b+c=6. Tìm GTLN của
A=$\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1}$

Bài này không khó :-<

Đây là một cách.

Đặt $$x = a + 1,y = b + 1,z = c + 1 \Rightarrow x + y + z = 9$$

Khi đó: $$A = \sum {\dfrac{{x - 1}}{x} = 3 - \sum {\dfrac{1}{x} \le 3 - \dfrac{9}{{\left( {x + y + z} \right)}}} } = 2$$
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow x = y = z = 3 \Leftrightarrow a = b = c = 2$

Vậy $\max A = 2 \Leftrightarrow a = b = c = 2$

[Ispectorgadget]

Cách em làm cũng gần giống cách anh mà không cần đặt ẩn
A=$1-\dfrac{1}{a+1}+1-\dfrac{1}{b+1}+1-\dfrac{1}{c+1}=3-(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1})$
$VT\leq 3-\dfrac{9}{a+b+c+3}=3-\dfrac{9}{9}=2$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=3

[Ispectorgadget]

Đề thi ĐH khối B - 2007
Bài 54: Cho x,y,z > 0. Tìm GTNN
$P=x(\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{yz})+y(\dfrac{y}{2}+\dfrac{1}{xz})+z(\dfrac{z}{2}+\dfrac{1}{xy})$

Bài này khá nhiều cách làm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 19-01-2012 - 19:55

[Cao Xuân Huy]

Đề thi ĐH khối B - 2007
Cho x,y,z > 0. Tìm GTNN
$P=x(\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{yz})+y(\dfrac{y}{2}+\dfrac{1}{xz})+z(\dfrac{z}{2}+\dfrac{1}{xy})$

Em làm bài này. Ta có:
\[P = \sum {\dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{y}{{2xz}} + \dfrac{z}{{2xy}}} \ge \sum {\dfrac{1}{2}.3\sqrt[3]{{\dfrac{{{x^2}yz}}{{xzxy}}}}} = \dfrac{9}{2}\]
Vậy: $P_{min}=\dfrac{9}{2}$ khi $x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 22-12-2011 - 07:05

[Ispectorgadget]

Lang thang trên mạng tìm được câu này

Đề dự bị khối D năm 2008
Bài 55: Cho số nguyên n ($n\geq 2$) và 2 số thực không âm x,y. Chứng minh rằng
$\sqrt[n]{x^n+y^n}\geq \sqrt[n+1]{x^{n+1}+y^{n+1}}$. Dấu bằng xảy ra khi nào??

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 19-01-2012 - 19:55

[Crystal]

Đề thi ĐH khối B - 2007
Cho x,y,z > 0. Tìm GTNN
$P=x(\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{yz})+y(\dfrac{y}{2}+\dfrac{1}{xz})+z(\dfrac{z}{2}+\dfrac{1}{xy})$

Ta có: $$P = \dfrac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{2} + \dfrac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{xyz}} \geqslant \dfrac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{2} + \dfrac{{xy + yz + zx}}{{xyz}}$$
$$ = \left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{x}} \right) + \left( {\dfrac{{{y^2}}}{2} + \dfrac{1}{y}} \right) + \left( {\dfrac{{{z^2}}}{2} + \dfrac{1}{z}} \right) \geqslant \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{2}$$
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow x = y = z = 1$