Chủ đề này có 208 trả lời

[tuithichtoan]

Bài 33: Đại học, cao đẳng khối A năm 2009
Chứng minh rằng với mọi số thực dương x,y,z thỏa mãn $x(x+y+z)=3yz$, ta có:
$(x+y)^{3}+(y+z)^{3}+3(x+y)(x+z)(y+z)\leq 5(y+z)^{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 19-01-2012 - 19:46

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Đại học, cao đẳng khối A năm 2009
Chứng minh rằng với mọi số thực dương x,y,z thỏa mãn $x(x+y+z)=3yz$, ta có:
$(x+y)^{3}+(y+z)^{3}+3(x+y)(x+z)(y+z)\leq 5(y+z)^{3}$

Đề phải là thế này
$(x+y)^{3}+(z+x)^{3}+3(x+y)(y+z)(z+x)\leq 5(y+z)^{3}$
Đặt a=x+y;b=x+z;c=y+z
$x=\dfrac{a+b-c}{2};y=\dfrac{a+c-b}{2};z=\dfrac{b+c-a}{2}$
x(x+y+z)=3yz
$\dfrac{a+b-c}{2}.\dfrac{a+b+c}{2}=3\dfrac{a+c-b}{2}.\dfrac{b+c-a}{2}$
$\Leftrightarrow (a+b)^{2}-c^{2}=3[c^{2}-(b-a)^{2}]$
$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}-c^{2}+2ab=-3a^{2}-3b^{2}+3c^{2}+6ab$
$\Leftrightarrow 4c^{2}=4a^{2}+4b^{2}-4ab$
$\Leftrightarrow c^{2}=a^{2}+b^{2}-ab\geq \dfrac{(a+b)^{2}}{4}\geq ab$
$\Leftrightarrow 2c\geq a+b$
$3c^{3}\geq 3abc$
$\Leftrightarrow 2c^{3}-(a^{3}+b^{3})=2c^{3}-(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=2c^{3}-(a+b)c^{2}=c^{2}[2c-(a+b)]\geq 0$
$\Leftrightarrow 2c^{3}\geq a^{3}+b^{3}$
$\Leftrightarrow 5c^{3}\geq a^{3}+b^{3}+3abc$
$\Leftrightarrow 5(y+z)^{3}\geq (x+y)^{3}+(y+z)^{3}+3(x+y)(y+z)(z+x)$
Dẫu"=" xảy ra khi x=y=z=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HÀ QUỐC ĐẠT: 18-10-2011 - 21:36

[tuithichtoan]

Bài 34: Cho các số thực không âm x,y thay đổi và thỏa mãn x+y=1.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $S=(4x^{2}+3y)(4y^{2}+3z)+25xy$
(Đại học khối D năm 2009)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 19-01-2012 - 19:46

[tuithichtoan]

tiếp nhé:
Cho các số thực không âm x,y thay đổi và thỏa mãn x+y=1.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $S=(4x^{2}+3y)(4y^{2}+3z)+25xy$
(Đại học khối D năm 2009)

ak. Bài của Đạt phải đặt b=z+x nhé.

[Crystal]

Đại học, cao đẳng khối A năm 2009
Chứng minh rằng với mọi số thực dương x,y,z thỏa mãn $x(x+y+z)=3yz$ (1), ta có:
$(x+y)^{3}+(y+z)^{3}+3(x+y)(x+z)(y+z)\leq 5(y+z)^{3}$ (2)

Một số cách khác.
Cách 1:
Đặt: $y = ax;z = bx$. Khi đó (1) trở thành: $x\left( {x + ax + bx} \right) = 3ab{x^2} \Leftrightarrow 1 + a + b = 3ab\,\,\,(3)$

và (2) trở thành: ${\left( {x + ax} \right)^3} + {\left( {x + bx} \right)^3} + 3\left( {x + ax} \right)\left( {ax + bx} \right)\left( {bx + x} \right) \le 5{\left( {ax + bx} \right)^3}$

$ \Leftrightarrow {\left( {1 + a} \right)^3} + {\left( {1 + b} \right)^3} + 3\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)\left( {a + b} \right) \le 5{\left( {a + b} \right)^3}\,\,\,(4)$

Vì (3) và (4) là những biểu thức đối xứng với $a, b$ nên đặt $S = a + b;\,P = ab$, khi đó

$\left\{ \begin{array}{l}{S^2} \ge 4P\\1 + S = 3P\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = \dfrac{{1 + S}}{3}\\3{S^2} - 4S - 4 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = \dfrac{{1 + S}}{3}\\S \ge 2\end{array} \right.$

Suy ra $\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right) = 1 + a + b + ab = 1 + S + \dfrac{{1 + S}}{3} = \dfrac{{4\left( {1 + S} \right)}}{3}$

${\left( {1 + a} \right)^3} + {\left( {1 + b} \right)^3} = {\left( {2 + a + b} \right)^3} - 3\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)\left( {2 + a + b} \right) = {\left( {2 + S} \right)^3} - 4\left( {1 + S} \right)\left( {2 + S} \right)$

$\left( 4 \right) \Leftrightarrow {\left( {2 + S} \right)^3} - 4\left( {{S^2} + 3S + 2} \right) + 4S\left( {1 + S} \right) \le 5{S^3}$

$ \Leftrightarrow 2{S^2} - 3S - 2 \ge 0 \Leftrightarrow \left( {2S + 1} \right)\left( {S - 2} \right) \ge 0$ luôn đúng do $S \ge 2$.

Vậy ta có đpcm.\

Cách 2:
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} + xy + x{\rm{z}} = 3yz \Rightarrow {(x + y)^2} + {(x + z)^2} = 2{(y + z)^2} - {(y - z)^2}$

$ \Rightarrow {\left( {\dfrac{{x + y}}{{y + z}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{x + z}}{{y + z}}} \right)^2} = 2 - {\left( {\dfrac{{x + y}}{{y + z}} - \dfrac{{x + z}}{{y + z}}} \right)^2}\,\,\,\,\left( 3 \right)$

Đặt $u = \dfrac{{x + y}}{{y + z}},\,\,v = \dfrac{{x + z}}{{y + z}}$. Từ (3) $ \Rightarrow {u^2} + {v^2} = 2 - {(u - v)^2} \Rightarrow {u^2} + {v^2} - uv = 1\,\,\,\,\,\left( 4 \right)$

Khi đó ta có: BĐT $ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{x + y}}{{y + z}}} \right)^3} + {\left( {\dfrac{{x + z}}{{y + z}}} \right)^3} + 3\left( {\dfrac{{x + y}}{{y + z}}} \right)\left( {\dfrac{{x + z}}{{y + z}}} \right) \le 5 \Leftrightarrow {u^3} + {v^3} + 3uv \le 5$

$ \Leftrightarrow (u + v)({u^2} - uv + {v^2}) + 3uv \le 5 \Leftrightarrow u + v + 3uv \le 5\,\,\,\left( 5 \right)$

Mặt khác từ (1) ta có: $uv = 1 - {(u - v)^2} \le 1\,\,\,\left( 6 \right)$

và ${(u + v)^2} = 1 + 3uv \le 1 + \dfrac{3}{4}{(u + v)^2} \Rightarrow {(u + v)^2} \le 4 \Rightarrow u + v \le 2\,\,\,\left( 7 \right)$

Từ (6) và (7) ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 07-10-2011 - 09:18

[Ispectorgadget]

Bài 35:Bộ đề tuyển sinh ĐH nam 87-95
Cho x,y thỏa
\[
x^2 + y^2 = 1
\]
TÌm min và max của A=
\[
x\sqrt {y + 1} + y\sqrt {x + 1}
\]\

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 19-01-2012 - 19:47

[Ispectorgadget]

tiếp nhé:
Cho các số thực không âm x,y thay đổi và thỏa mãn x+y=1.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $S=(4x^{2}+3y)(4y^{2}+3z)+25xy$
(Đại học khối D năm 2009)

Bài giải:
Khai triển S ta được
\[
16x^2 y^2 - 2xy + 12
\]
Đặt t =xy vì x,y >0 và x+y=1
Nên
\[
1 = x + y \ge 2\sqrt {xy} < = > xy \le \dfrac{1}{4}
\]
=> s= $16t^{2}-2t+12$ với $0\leq t\leq \dfrac{1}{4}$ tới đây khảo sát hàm số => min và max

Bài 1: ĐH Bách Khoa Hà Nội
Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng :$ \dfrac {1}{a^2 + bc} + \dfrac{1}{b^2+ca}+ \dfrac{1}{c^2+ab}\le \dfrac{a + b + c }{2abc}$

Theo BĐT AM-GM
$VT\leq \sum \dfrac{1}{2a\sqrt{bc}}=\sum \dfrac{\sqrt{bc}}{2abc}$$\leq \dfrac{a+b+c}{2abc}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 22-10-2011 - 07:33

[alex_hoang]

Lẽ ra ta nên đánh bài cho dễ nhìn .Các bạn xem thế này thì có chán không
Mình post bài tiếp mà không biết là đánh bài thứ bao nhiêu
Bài 36: Cho 2 số dương $x,y$ thỏa mãn $x \ge 1,y \ge 1$ và $3(x+y)=4xy$
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
$P = {x^3} + {y^3} + 3(\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 19-01-2012 - 19:47

[Ispectorgadget]

Lẽ ra ta nên đánh bài cho dễ nhìn .Các bạn xem thế này thì có chán không
Mình post bài tiếp mà không biết là đánh bài thứ bao nhiêu
Cho 2 số dương $x,y$ thỏa mãn $x \ge 1,y \ge 1$ và $3(x+y)=4xy$
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
$P = {x^3} + {y^3} + 3(\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}})$

Đáp án xem ở đây http://onluyentoan.v...read.php?t=1014
Bài 37: Đề thi thử ĐH 2012 của báo THTT
Cho 2 số thực x,y thỏa $x^2+y^2=4$
TÌm min $\sqrt{5-2x}+\sqrt{54-2x-14y}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 19-01-2012 - 19:47

[bate09]

Đáp án xem ở đây http://onluyentoan.v...read.php?t=1014
Đề thi thử ĐH 2012 của báo THTT
Cho 2 số thực x,y thỏa $x^2+y^2=4$
TÌm min $\sqrt{5-2x}+\sqrt{54-2x-14y}$

$\dfrac{{x - 1}}{x}\sqrt {{x^2} - 2x + 1} $

[alex_hoang]

Bài tiếp đây
Bài 38: Cho các số thực $x,\,y$ thỏa mãn $x^2 + y^2 = 2.$ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P = 2(x^3 + y^3 ) - 3xy.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 19-01-2012 - 19:48

[Ispectorgadget]

Bài 39: Cho x;y là 2 số thực dương. Tìm GTNN của
A=$\sqrt{(x-1)^2+y^2}+\sqrt{(x+1)^2+y^2}+|y-2|$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 02-03-2012 - 12:16

[HÀ QUỐC ĐẠT]

: Cho x;y là 2 số thực dương. Tìm GTNN của
A=$\sqrt{(x-1)^2+y^2}+\sqrt{(x+1)^2+y^2}+|y-2|$

Áp dụng Minkowski ta có:

$\sqrt{(1-x)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}+\left | y-2 \right |\geq \sqrt{2^{2}+(2y)^{2}}+\left | y-2 \right |$
Theo Cauchy-Schwarz:
$\sqrt{2^{2}+(2y)^{2}}.\sqrt{1+(\dfrac{1}{\sqrt{3}})^{2}}\geq \left | 2+\dfrac{2y}{\sqrt{3}} \right |\Leftrightarrow \sqrt{2^{2}+(2y)^{2}}\geq \left | \sqrt{3}+y \right |$
$\Rightarrow \sqrt{2^{2}+(2y)^{2}}+\left | y-2 \right |\geq \left | \sqrt{3}+y \right |+\left | 2-y \right |\geq 2+\sqrt{3}$
Vậy Min A=2+$\sqrt{3}$ khix=0 y=$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

[alex_hoang]

Bài 40: Cho $a,b,c$ là ba số thực dương thỏa mãn $abc=1$.CMR
$\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{(b + c)}^3}}} + \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{{{{\left( {c + a} \right)}^3}}} + \dfrac{{{c^2} + {a^2}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^3}}} \ge \dfrac{9}{{4(ab + bc + ca)}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 19-01-2012 - 19:49

[Ispectorgadget]

Áp dụng Minkowski ta có:

$\sqrt{(1-x)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}+\left | y-2 \right |\geq \sqrt{2^{2}+(2y)^{2}}+\left | y-2 \right |$
Theo Cauchy-Schwarz:
$\sqrt{2^{2}+(2y)^{2}}.\sqrt{1+(\dfrac{1}{\sqrt{3}})^{2}}\geq \left | 2+\dfrac{2y}{\sqrt{3}} \right |\Leftrightarrow \sqrt{2^{2}+(2y)^{2}}\geq \left | \sqrt{3}+y \right |$
$\Rightarrow \sqrt{2^{2}+(2y)^{2}}+\left | y-2 \right |\geq \left | \sqrt{3}+y \right |+\left | 2-y \right |\geq 2+\sqrt{3}$
Vậy Min A=2+$\sqrt{3}$ khix=0 y=$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Cách của mình:
Áp dụng BĐT cauchy-schwarz ta có
$\sqrt{\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}}.\sqrt{(1-x)^2+y^2}\geq |\sqrt{\dfrac{3}{4}}.(1-x)+\dfrac{1}{2}y|$
Tương tự ta có: $\sqrt{\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}}.\sqrt{(1+x)^2+y^2}\geq |\sqrt{\dfrac{3}{4}}.(1+x)+\dfrac{1}{2}y|$
=> $M\geq |\sqrt{\dfrac{3}{4}}.(1+x)+\dfrac{1}{2}y|+|\sqrt{\dfrac{3}{4}}(1-x)+\dfrac{1}{2}y|+|2-y|\geq |\sqrt{\dfrac{3}{4}}.(1+x)+\dfrac{1}{2}y+\sqrt{\dfrac{3}{4}}(1-x)+\dfrac{1}{2}y+2-y|=2+\sqrt{3}$

[alex_hoang]

Bài 41: Cho:$\left\{\begin{matrix}x,y\in \mathbb{R}\\ 3x-6\sqrt{2x+4}=4\sqrt{3y+18}-2y\end{matrix}\right.$
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của:
$P=\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{3}-1$
Bài 42: Cho $a,b,c \ge 0$ và $a+b+c=1$ chứng minh:
$\dfrac{2a^{2}+1}{(a+b)(c+1)}+\dfrac{2b^{2}+1}{(b+c)(a+1)}+\dfrac{2c^{2}+1}{(c+a)(b+1)}\geq\dfrac{33}{8}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 19-01-2012 - 19:49

[tuithichtoan]

Cho $[TEX]a,b,c \ge 0$ và $a+b+c=1$ chứng minh:
$\dfrac{2a^{2}+1}{(a+b)(c+1)}+\dfrac{2b^{2}+1}{(b+c)(a+1)}+\dfrac{2c^{2}+1}{(c+a)(b+1)}\geq\dfrac{33}{8}$

Có $\dfrac{2a^{2}+1}{(a+b)(c+1)}+\dfrac{2b^{2}+1}{(b+c)(a+1)}+\dfrac{2c^{2}+1}{(c+a)(b+1)}$
$=\dfrac{2a^{2}+1}{(1-c)(c+1)}+\dfrac{2b^{2}+1}{(1-a)(a+1)}+\dfrac{2c^{2}+1}{(1-b)(b+1)}$
$=\dfrac{2a^{2}+1}{1-c^{2}}+\dfrac{2b^{2}+1}{1-a^{2}}+\dfrac{2c^{2}+1}{1-b^{2}}$
Giả sử: $a\geq b\geq c\Rightarrow 1-c^{2}\geq 1-b^{2}\geq 1-a^{2}$
Áp dụng bđt Chebyshev có:
$\dfrac{2a^{2}+1}{1-c^{2}}+\dfrac{2b^{2}+1}{1-a^{2}}+\dfrac{2c^{2}+1}{1-b^{2}}$
$\geq \dfrac{1}{3}(2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+3)(\dfrac{1}{1-c^{2}}+\dfrac{1}{1-a^{2}}+\dfrac{1}{1-b^{2}})$
$\geq \dfrac{1}{3}(\dfrac{2}{3}(a+b+c)^{2}+3)\dfrac{9}{3-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$
$\geq \dfrac{1}{3}(\dfrac{2}{3}+3)(3-\dfrac{1}{3}(a+b+c)^{2})\geq \dfrac{33}{8}$ (Đ.P.C.M)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuithichtoan: 02-11-2011 - 20:35

[Ispectorgadget]

Bài 43:.Cho a,b,c>0 thỏa $a^2+b^2+c^2=3$
CMR: $\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\geq \dfrac{4}{a^2+7}+\dfrac{4}{b^2+7}+\dfrac{4}{c^2+7}$
Bài 44:Cho x,y,z>0 Chứng minh rằng $\dfrac{x^2-xy}{x+y}+\dfrac{y^2-yz}{y+z}+\dfrac{z^2-zx}{z+x}\geq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 19-01-2012 - 19:49
Ghi số thứ tự bài!

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Cho x,y,z>0 Chứng minh rằng $\dfrac{x^2-xy}{x+y}+\dfrac{y^2-yz}{y+z}+\dfrac{z^2-zx}{z+x}\geq 0$

BĐT$\Leftrightarrow \dfrac{x^{2}}{x+y}+\dfrac{y^{2}}{y+z}+\dfrac{z^{2}}{z+x}\geq\dfrac{xy}{x+y}+\dfrac{yz}{y+z}+\dfrac{zx}{z+x}$
$VT\geq \dfrac{x+y+z}{2}$(Theo C-S)
$VP\leq \dfrac{xy}{2\sqrt{xy}}+\dfrac{yz}{2\sqrt{yz}}+\dfrac{zx}{2\sqrt{zx}}=\dfrac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}{2}\leq \dfrac{x+y+z}{2}$(AM-GM)
$\Rightarrow VT\geq VP$
Đẳng thức xảy ra khi x=y=z

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HÀ QUỐC ĐẠT: 13-11-2011 - 22:03

[vietfrog]

2.Cho x,y,z>0 Chứng minh rằng $\dfrac{x^2-xy}{x+y}+\dfrac{y^2-yz}{y+z}+\dfrac{z^2-zx}{z+x}\geq 0$

Giả sử:\[\begin{array}{l}
\dfrac{{{x^2} - xy}}{{x + y}} \ge \dfrac{{x - y}}{2}\\
\Leftrightarrow 2{x^2} - 2xy \ge {x^2} - {y^2}\\
\Leftrightarrow {x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\\
\Leftrightarrow {(x - y)^2} \ge 0
\end{array}\]
Suy ra giả sử đúng.
Tương tự: \[\dfrac{{{y^2} - yz}}{{y + z}} \ge \dfrac{{y - z}}{2};\dfrac{{{z^2} - xz}}{{z + x}} \ge \dfrac{{z - x}}{2}\]
Cộng lại ta được điều phải chứng minh.
Dấu = khi $a=b=c$