Giả sử $k>2$ là số nguyên dương và $x$ là số thực sao cho $\cos [(k-1)x]$ và $\cos (kx)$ là số hữu tỉ. Chứng minh rằng có số nguyên dương $n>k$ sao cho $cos[(n-1)x]$ và $cos(nx)$ là số hữu tỉ.
$\cos [(k-1)x], \cos (kx) \in \mathbb{Q}$
Bắt đầu bởi QUANVU, 13-11-2006 - 16:36
#1
Đã gửi 13-11-2006 - 16:36
#2
Đã gửi 06-06-2014 - 11:25
Ta có nhận xét rằng nếu $\cos x$ là số hữu tỉ thì $\cos (kx)$ cũng là số hữu tỉ, với $k$ là số nguyên dương (do $\cos (kx)=P_k(\cos x)$, với $P_k(x)$ là đa thức Chebyshev loại I với bậc k, là một đa thức hệ số nguyên).
Vì vậy yêu cầu của đề bài tương đương với việc chứng minh hệ đồng dư sau có nghiệm
$\left\{\begin{matrix} n \equiv 0 &(mod k) \\ n \equiv 1 &(mod (k-1)) \end{matrix}\right.$
Nhưng hệ này luôn có nghiệm theo định lý thặng dư trung hoa ( chẳng hạn lấy $n=k^2$ ). Ta có đpcm.
- LNH và nhungvienkimcuong thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh