Đến nội dung

Hình ảnh

Topic các bài toán số học THCS!


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 84 trả lời

#1
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Giới thiệu chung về topic



Chào mọi người!



Để cho các bạn học sinh THCS học tốt môn Toán, nhất là môn số học, một vấn đề mà các bạn lâu nay tưởng là dễ nhưng không phải như vậy. Topic này là nơi giới thiệu các bài toán số học phù hợp với cấp bậc THCS, các bạn có thể sưu tầm các bài toán số học khó để đưa lên đây cho mọi người cùng giải. Topic này không hạn chế ở việc giải các bài toán mà bạn còn phải biết cách mở rộng nó, khai thác nó thành bài toán khó hơn, thú vị hơn, đặc sắc hơn.

Trong topic này cũng có một số nội quy nho nhỏ, đó là yêu cầu các bạn post bài và giải hay mở rộng bài toán nếu viết Tiếng Việt thì phải có dấu, biết cách gõ $\LaTeX$ Hi vọng mọi người viết bài trong topic nói riêng và thành viên trong diễn đàn nói chung không mắc phải những lỗi này.

Mỗi người chỉ có thể post một bài số học, không được ra thêm và mọi người chỉ được ra thêm nếu bài toán của người ra đề trước đó đã có lời giải. Mình làm như vậy để tránh việc giải qua loa một bài rồi để giải bài mới.

Mở đầu, mình xin post bài sau

Bài 1: (Ra bài mở đầu cho dễ cái đã, cho mọi người được thư giãn) CMR nếu $p$ và $p^2 + 8$ nguyên tố thì $p^3 + 8p + 2$ luôn nguyên tố

Cảm ơn :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 26-09-2011 - 18:20

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#2
NPKhánh

NPKhánh

    Tiến sĩ toán

  • Thành viên
  • 1115 Bài viết
Cho phân số $A = \dfrac{n^2+4}{n+5} $. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn $1 \le n \le 2004 $ sao cho A là phân số chưa tối giản.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 06-06-2011 - 14:45

http://mathsvn.violet.vn trang ebooks tổng hợp miễn phí , nhiều tài liệu ôn thi Đại học



http://www.maths.vn Diễn đàn tổng hợp toán -lý - hóa ... dành cho học sinh THCS ;THPT và Sinh viên


#3
NAPOLE

NAPOLE

    Napoleon Bonaparte

  • Pre-Member
  • 328 Bài viết
Cho em góp thêm bài này nhá :(IMO Shortlisst 1992)
Tìm tất cả số nguyên $p,q,r (1<p<q<r)$ và
$(pqr-1) \vdots (p-1)(q-1)(r-1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 06-06-2011 - 14:46

Defense Of The Ancients

#4
thanhvienmoi

thanhvienmoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết
bài 3 của napole có thể tham khảo trong quyển pt nghiệm nguyên của nguyễn hữu điển bài này có thể mở rộng cho 4 số cũng được
NẾU CÓ KIẾP SAU CON VẪN MUỐN LÀM CON CỦA BỐ MẸ,LÀM HỌC TRÒ CỦA THẦY,LÀ THÀNH VIÊN CỦA LỚP
VÀ H ƠI CẢ CẬU NỮA_HÃY TIN RẰNG TỚ VẪN LUÔN NHỚ VỀ CẬU
YÊU TẤT CẢ MỌI NGƯỜI

#5
NAPOLE

NAPOLE

    Napoleon Bonaparte

  • Pre-Member
  • 328 Bài viết
Bài của Thầy Khánh mình mới chỉ tìm được http://dientuvietnam....cgi?(n^2 4,n 5)=29 và mới thấy có 1 gt đúng của n=24 . Không biết có ai có cách giải nào khỏi phải thử "trâu bò " như vầy không ?
Defense Of The Ancients

#6
vo thanh van

vo thanh van

    Võ Thành Văn

  • Hiệp sỹ
  • 1197 Bài viết
Đề là thế này.Đề nghị bạn học gõ latex

cho các số thực x,y thỏa mãn $( x+ \sqrt{ x^{2}+1 } )(y+ \sqrt{ x^{2} +1})=1$
tính giá trị của biểu thức:
$F=(x+ \sqrt{ y^{2}+1 })(y+ \sqrt{ x^{2}+1 })$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 07-07-2011 - 08:48

Quy ẩn giang hồ

#7
lyxuansang91

lyxuansang91

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 145 Bài viết
Đề nghị bạn Văn viết đúng đề bài nhé .Bài này nhân liên hợp để chứng minh rằng x = -y
Bây giờ là mục CM :
Ta có : $ (\sqrt{x^2 + 1} - x)(\sqrt{x^2+1} + x)(\sqrt{y^2+1} + y)(\sqrt{y^2+1} - y) = 1$
Điều này chứng tỏ rằng : $(\sqrt{x^2+1} - x )(\sqrt{y^2+1} -y ) = 1 $
Vì vậy mà ta có $(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{y^2+1} - y) = (\sqrt{y^2+1}+ y)(\sqrt{x^2+1}+ x) $
$ \Leftrightarrow x\sqrt{y^2+1} = - y \sqrt{x^2 + 1} $
Và thay $x = -\dfrac{y\sqrt{x^2 + 1}}{y} $ vào $ xy + \sqrt{x^2 +1}\sqrt{y^2+1} = 1$ để tính thì có $ x^2 + 1 = y^2 + 1 \Leftrightarrow x = -y $
Và từ đây ta có biểu thức$ P = 1$ :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 07-07-2011 - 08:47

<span style='color: #FF8C00'><strong class='bbc'><em class='bbc'><span style='font-size: 36px;'>Em muốn học giỏi toán</span></em></strong></span>

#8
Cá Vàng

Cá Vàng

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết
Em có 1 bài nè :) Tìm n :neq N

Hình gửi kèm

  • CodeCogsEqn.gif

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cá Vàng: 03-07-2009 - 19:03

Phép chia là 1 cái gì đó khó có thể sử dụng trong cuộc sống, khó có thể tính được nó....
Ta luôn suy nghĩ để dùng nó,để chia đi và để nhận về, nhưng đừng né tránh bất kỳ thương số nào, vì đã thực hiện phép chia thì hãy làm tới cùng...

#9
Messi_ndt

Messi_ndt

    Admin batdangthuc.com

  • Thành viên
  • 679 Bài viết

Nhân 2.

Có nghaix là nhân 2 ở tất cả các tử rồi biến đổi VT về một biểu thức đơn giãn của n,rồi giải phương trình .Bài này là bài rất cơ bạn.

#10
kuma

kuma

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 45 Bài viết
giúp em 2 bài này với
1. cho stự nhiên n>1 và $2^n - 2$ chia chết cho n

CMR : $2^(2^n-1$) - 2 chia hết cho 2^n-1

2. cho A =$( 10^n+ 10^n-1+ 10^n-2+....+ 10+ 1)(10^n+1+5)+1$
CMR A là 1 chính phương
__________________
xin lỗi nhé, em chẳng biết viết giống thật ntn, toàn thành ra 2^{n} :D(
ai hướng dẫn giúp em với

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 07-07-2011 - 08:56

Summer belongs to you - P&F


Hình đã gửi


#11
dlt95

dlt95

    [F][ï][G][¶-¶][†][ï][Ñ][G]

  • Thành viên
  • 304 Bài viết

giúp em 2 bài này với
1. cho stự nhiên $n>1$ và $2^n - 2 \vdots n$
CMR : $2^{2^n-1} \vdots 2^n-1$

2. cho $A =( 10^n+ 10^{n-1}+ 10^{n-2}+....+ 10+ 1)(10^{n+1}+5)+1$

CMR A là 1 số chính phương





Vực dậy từ trong màn đêm tối tăm, ánh dương kia dường như dẫn lối

Những hi vọng nhỏ nhoi trong ta thắp sáng lên

Cùng những giấc mơ này, sẽ thăng hoa mây trời

Bay, bay cao đến muôn ngàn.



Cần một niềm tin từ trong trái tim, chắp cánh bay cùng bao ước muốn

Những giai điệu nhịp đập trong ta đang hát vang

Listen to my heart, I’m flying to the sky

Và niềm khao khát sẽ chẳng phai mờ.


#12
anh qua

anh qua

    Sĩ quan

  • Hiệp sỹ
  • 476 Bài viết
2\
$A=\dfrac{(10^{n+1}-1).(10^{n+1}+5)}{9}+1=(\dfrac{10^{n+1}+2}{3})^2$
Mà$ \dfrac{10^{n+1}+2}$ chia hết cho 3
từ 2 điều trên có ĐPCM
Give me some sunshine
Give me some rain
Give me another chance
I wanna grow up once again

#13
Ha Pham Ngoc Khanh

Ha Pham Ngoc Khanh

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 27 Bài viết

Giới thiệu chung về topic



Chào mọi người!


Để cho các bạn học sinh THCS học tốt môn Toán, nhất là môn số học, một vấn đề mà các bạn lâu nay tưởng là dễ nhưng không phải như vậy. Topic này là nơi giới thiệu các bài toán số học phù hợp với cấp bậc THCS, các bạn có thể sưu tầm các bài toán số học khó để đưa lên đây cho mọi người cùng giải. Topic này không hạn chế ở việc giải các bài toán mà bạn còn phải biết cách mở rộng nó, khai thác nó thành bài toán khó hơn, thú vị hơn, đặc sắc hơn.

Trong topic này cũng có một số nội quy nho nhỏ, đó là yêu cầu các bạn post bài và giải hay mở rộng bài toán nếu viết Tiếng Việt thì phải có dấu, biết cách gõ LATEX (xem ở đây) Hi vọng mọi người viết bài trong topic nói riêng và thành viên trong diễn đàn nói chung không mắc phải những lỗi này.

Mỗi người chỉ có thể post một bài số học, không được ra thêm và mọi người chỉ được ra thêm nếu bài toán của người ra đề trước đó đã có lời giải. Mình làm như vậy để tránh việc giải qua loa một bài rồi để giải bài mới.

Mở đầu, mình xin post bài sau

Bài 1: (Ra bài mở đầu cho dễ cái đã, cho mọi người được thư giãn) CMR nếu $p$ và $p^2 + 8$ nguyên tố thì $p^3 + 8p + 2$ luôn nguyên tố

Cảm ơn :(


Bài 1:Mình giải bài này như sau:
Có: $p^2\equiv1(mod 3)$ hoặc $p^2\equiv0(mod 3)$
$ \Rightarrow p^2+8\equiv0(mod 3)$ hoặc $p^2+8\equiv2(mod 3)$
$ p \in P \Rightarrow p^2+8\geq12$(nguyên tố) nên $ p^2+8$ ko chia hết cho 3.
Do đó:$p^2+8\equiv2(mod 3) \Rightarrow p^2\equiv0(mod 3) \Rightarrow p=3 $
$ \Rightarrow ĐPCM $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 24-05-2011 - 16:11


#14
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
Lời giải của bạn Ha Pham Ngoc Khanh đúng nhưng cách trình bày lời giải còn có đôi chút khó hiểu.
Mình nghĩ bạn nên trình bày lời giải như sau (mình chỉ muốn góp ý lời giải cho bạn nên mong bạn đừng hiểu lầm)
Ta xét các trường hợp:
  • Nếu $p>3$ thì $p\equiv 1\left ( mod 3\right )\Rightarrow p^{2}+8\equiv 0\left ( mod 3\right )$ hay
    nói cách khác $p^{2}+8\vdots 3$, vô lí.
  • Nếu $p=3$ thì $\Rightarrow p^{3}+8p+2=53$ thỏa mãn :(
  • Nếu $p=2$ cũng vô lí.
Đây là đpcm.

Bài 2: Tìm mọi $n\in \mathbb{Z}^{+}$ sao cho $8^{n}+n \vdots 2^{n}+n$

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#15
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Bài 2: Tìm mọi $n\in \mathbb{Z}^{+}$ sao cho $8^{n}+n \vdots 2^{n}+n$

Mọi người vẫn chưa giải ra à, nếu vẫn còn thấy bí thì có thể tham khảo lời giải ở đây nè!
http://www.artofprob...646767#p1646767
Mình ra bài mới nha!
Bài 3 Hãy chỉ ra một số tự nhiên $N$ gồm 13 chữ số chỉ gồm các chữ số $8$ và $9$ sao cho $N$ là bội của $2^{13}$.

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#16
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
Gợi ý bài 3 cho mọi người nha! :D
Ta phải chứng minh khẳng định: Với mọi số nguyên dương $n$ và mọi cặp $a,b$ các chữ số khác 0, với $a$ chẵn và $b$ lẻ, luôn tồn tại một số tự nhiên $x_{n}$ có đúng $n$ chữ số sao cho $x_{n}$ là bội của $2^{n}$ và $x_{n}$ gồm toàn các chữ số $a,b$ ^_^

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#17
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Gợi ý bài 3 cho mọi người nha! :D
Ta phải chứng minh khẳng định: Với mọi số nguyên dương $n$ và mọi cặp $a,b$ các chữ số khác 0, với $a$ chẵn và $b$ lẻ, luôn tồn tại một số tự nhiên $x_{n}$ có đúng $n$ chữ số sao cho $x_{n}$ là bội của $2^{n}$ và $x_{n}$ gồm toàn các chữ số $a,b$ ^_^

Xin lỗi, mình nhầm, cứ coi cái gợi ý vừa rồi là khẳng định tổng quát cho bài 3 đi, mọi người hãy sử dụng phương pháp phân tích $N$ ra và thêm vào đó là các dấu hiệu chia hết. Chúc mọi người giải được bài này! Nó không đến nỗi khó đâu :D

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#18
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
Giả sử $N=ABCDEFGHIJKLM$ với $A,B,C,...,M$ là các chữ số chỉ gồm 8 và 9.
$N$ chia hết cho 2 nên $M$ là số chẵn, hay $M=8$.
  • Ta có $N=ABCDEFGHIJK.100+LM$ và $N$ chia hết cho $2^13$.
    Mà $ABCDEFGHIJK.100$ chia hết cho 4 nên $LM$ chia hết cho 4, mà $M=8$ nên $L=8$.
  • Ta có $N=ABCDEFGHIJ.1000+KLM$ chia hết cho 8, và do 1000 chia hết cho 8 nên $KLM$ chia hết cho 8, nhưng 988 không chia hết cho 8 nên $K=8$.
  • Ta có $N=ABCDEFGHI.10000+JKLM$. Hai số $N$ và 10000 chia hết cho $2^4$, do đó $JKLM$ cũng vậy, như trên, ta suy ra $JKLM=9888$ hay $J=9$.
Tương tự như trên, ta tách số $N$ thành

$N=ABCDEFGH.10^$=4+IJKLM,$
$N=ABCDEFG.10^5+HIJKLM,$
...............................................,
$N=AB.10^{11}+CDEFGHIJKLM,$
$N=A.10^{12}+BCDEFGHIJKLM,$

và xét lần lượt với việc chia hết cho các số tương ứng

$10^4,10^5,...,10^{11},10^{12}$

ta suy ra số $N=8898989989888$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 15-06-2011 - 19:04

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#19
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
Bài 4: Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ để $n^n+1$ là số nguyên tố và $n^n+1<10^{19}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 29-05-2011 - 08:52

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#20
PNP

PNP

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết

Mọi người vẫn chưa giải ra à, nếu vẫn còn thấy bí thì có thể tham khảo lời giải ở đây nè!
http://www.artofprob...646767#p1646767
Mình ra bài mới nha!
Bài 3 Hãy chỉ ra một số tự nhiên $N$ gồm 13 chữ số chỉ gồm các chữ số $8$ và $9$ sao cho $N$ là bội của $2^{13}$.

Mình không hiểu bài 2 ra sao cả, ai đó chỉ hộ mình được không???
Không có gì là không thể chỉ có điều chưa nghĩ ra!!!




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh