Chủ đề này có 26 trả lời

[quantum-cohomology]

Bên Hình học và topo đã có algebraic topology, bên Đại số & lý thuyết số có topic nhóm hữu hạn ( nghiên cứu nhóm hữu hạn bằng công cụ cohomology), và nhìn vào Giải tích tớ thấy trống vắng cái gì đó, nên mở tiếp 1 cái gì đó về Topo Vi phân. Tuy nhiên (có lẽ vì mình quá kém giải tích chăng) chúng ta sẽ bắt đầu với Đa tạp cũng như giải tích trên đa tạp trước khi là bắt đầu với 1 số định lý rất khó (global) implicit function cũng như (global) inverse function.
Cách tốt nhất khi học Topo vi phân có lẽ là làm vài ví dụ vào đây về đa tạp khả vi. Ví dụ điển hình ai cũng biết đó là Sphere ( coi như là motivation) http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S^n = {(x,y) = (http://dientuvietnam...ex.cgi?R^{n 1}| http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S^n giống như http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^n, global thì http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S^n không homoemorph với 1 tập con mở của http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^n do http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S^n là compact.
Gọi N = (0,1) và S= (0,-1), 0 http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^n lần lượt là các điểm cực bắc, cực Nam của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\R^n. Các ánh xạ http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\pi_N http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\pi_S được gọi là các biểu diễn tham số trong 1 Atlas ( 1 atlas đơn giản là 1 hệ thống của các Carte). Việc chuyển các carte đuợc thực hiện bới ánh xạ sau
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S^n, nhưng nó không đuợc hữu hiệu lắm nếu như ta muốn cm tính định hướng.
Có thể xây dựng các Carte khác như sau, gọi j=1,...,n+1.
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?U_{j}^{+}={(http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S^n|http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?U_{j}^{-}={(http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S^n |http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\phi_{j}^{\pm}: http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?U_{j}^{\pm}-->R^n với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S^n. Ấnh xạ ngược của nó là:

Bác nào post lên vài cái định nghĩa manifold, differentiable manifold, ... đi. Em không có hứng post mấy cái này. Bữa sau em chuyển qua luôn differential forms và De Rahm Cohomology và cobordism ( mặc dù cái này đã được bàn đến ở bên topic AT).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 21-03-2005 - 21:11

[Kakalotta]

Mình xin phép được nói về khái niệm đa tạp giải tích. Đây là một khái niệm cơ bản của toán học. Hiểu mọt cách đơn gản, đa tạp là một đối tượng toán học được tạo ra bằng cách gắn các tập mở trong R^n lại với nhau. Tùy theo cách gắn như thế nào mà ta thu được các loại đa tạp tương ứng.
Ở đây ta lựa chọn cách gắn sao cho các tập mở này chuyển qua nhau một cách trơn tru. Nói theo quan điểm tóan học, một đa tạp là một không gian topo hausdorrff mà tại địa phương mỗi điểm, ta xây dựng được một phép đồng phôi xuống tập mở trên R^n.
Tuy nhiên, đấy là cách định nghĩa mang tính chất nội tại. Hiểu đơn giản hơn, đa tạp là không gian nghiệm của một hệ các phương trình mà có hạng không đổi. Hiển nhiên, theo định lý hàm ẩn, hai định nghĩa này là tương đương nhau.
Ví dụ về hình cầu. Nó một mặt có thể coi là tập nghiệm của mọt hệ phương trình hạng không đổi (x^+y^2+..+z^2=1), nhưng có thể hiểu là một không gian tạo ra bởi gắn 2 cái đĩa lại với nhau, một nửa cầu trên, một nửa cầu dưới, sao cho phép gắn là trơn.
Nếu như ai đó thích hình học đại số, có thể định nghĩa: một đa tạp trơn là một không gian vành mà địa phương, bó cấu trúc của nó đẳng cấu với đại số các hàm trơn trên một tập mở trong R^n.
Mình xin lấy ví dụ thực tế hơn về các đa tạp. Hầu hết các đối tượng xuất hiện một cách tự nhiên trong toán học và vật lý là các đa tạp. Ví dụ hình xuyến, mặt cầu....

[quantum-cohomology]

Cũng có thể xem http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S^n như là 1 CW-complex với genus = 0. Do đó ta luôn có 1 phân tích http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S^n như anh Kaka đã nói, thành 2 Hemisphere, ví dụ như http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S^2 thu được từ http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S^1 nhờ việc gắn thêm vào 2 cells.

[quantum-cohomology]

Chuyển qua Differentialform: Cho V là 1 không gian vector hữu hạn chiều, thực. Đại số Tensor định nghĩa đơn giản là TV = http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Lambda*V = TV/IV, http://dientuvietnam...mimetex.cgi?v_1 ^ http://dientuvietnam...mimetex.cgi?v_2 ^....^ http://dientuvietnam...mimetex.cgi?v_k cho các equivalent classes của http://dientuvietnam...x.cgi?e_{i_{1}} ^ http://dientuvietnam...x.cgi?e_{i_{2}} ^ ..... ^ http://dientuvietnam....cgi?e_{i_{k}}| 1 http://dientuvietnam...mimetex.cgi?i_1 < http://dientuvietnam...mimetex.cgi?i_2 <...< http://dientuvietnam...mimetex.cgi?i_k n} là 1 basis của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?C^{\infty}-Modul. Với M = http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R^m ta viết 1-Form dưới dạng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?dx^i với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?dx^i phụ thuộc vào http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\phi, local người ta có thể viết k-Form http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?i_1,i_2,...,i_n)|1 http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?i_1<http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?i_2<.....<http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?i_k m} và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?dx^{i_{2}}^...... ^ http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?dx^{i_{k}}. 1 hàm trơn f: M--->N cảm sinh 1 ánh xạ giữa các Vector bundle http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega)(a)(http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?v_1,...,v_k) = http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\lambda_1f*(http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega_1) + http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\lambda_2f*(http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega_2), với mọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\lambda_i R. (ii) f*(http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega_1^http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega_2) = f*(http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega_1)^f*(http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega_2). Bây giờ cho M là 1 đa tạp m-dim. 1 m-Form trên M (không nơi nào triệt tiêu) được gọi là 1 volume form. Đối với 1 đa tạp thì các phát biểu sau là tương đương: (i) Tồn tại 1 volume form trên M, (ii) M là định hướng, (iii) http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega là 1 volume form trên M và gọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\phi là 1 card. Vậy thì ta thu được 1 form http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Lambda^m (U x http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R^m) U x R. do đó http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?dx^n đối với 1 hàm có giá trị dương khắp mọi nơi . Gọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega = http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\theta*(http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\phi^{-1}*http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega) = (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\theta&#39;http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?dx^1^....^http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?dx^m det(http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\theta&#39;) > 0 M có 1 oriented atlas. Đảo lại gọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\lambda_i là 1 partition của 1. vậy ta nhận được 1 volume form trên M thông qua http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?dx^1^.....^http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?dx^m). Thông qua vài bước tính toán có thể chỉ ra rằng volume form nói trên không triệt tiêu tại điểm nào. Để chỉ ra rằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega là form với giá compact trong 1 lân cận của Card (U,http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\phi) chúng ta đặt http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega. Chú ý rằng tích phân cuối chính là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\lambda_i} là 1 partion của 1 đối với 1 oriented Atlas của 1 đa tạp compact M , vậy thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?d^2 = 0. Từ đó người ta có thể xây dựng được De Rham Cohomology http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H_{DR}^n, tuy nhiên khoan hãy chuyển qua cái này vội. Trước đó hãy nhắc đến định lý Stockes 1 định lý quan trọng trong giải tích cũng như Topo vi phân, Nếu M là 1 đa tạp compact và định hướng, với mọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega là 1 volume form với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega = 0 dr*http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega = 0. Theo định lý stockes suy ra 0 = http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega = http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega không triệt tiêu nên M phải là tập rỗng đpcm. Bây giờ có thể nhắc đến định nghĩa của De Rham Cohomology, thực ra chỉ cần học AT là đủ, vì cohomology của AT tổng quát hơn nhiều, tuy nhiên De Rham Cohomology lại quan trọng vì nó đóng góp lớn vào giải tích, và sau này cũng như trong các môn khó hơn nhiều ví dụ như hình học không giao hoán. Nhóm k-Cohomology http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega] --->[f*http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega] được cảm sinh một cách tự nhiên với f*g* = (gf)*.
---------
(mai viết tiếp)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 22-03-2005 - 21:32

[quantum-cohomology]

Xin moi cac cao thu giai tich´ nhay vo day. Minh moi nhan duoc 1 de tai moi´ ve Index theory, va` Operator algebra. Minh hoan toan khong biet ti gi ve lanh vuc nay, mong moi duoc thao luan cung moi nguoi. Dac biet quan tam toi´ fredhom operator, cung nhu elliptic operator, K*-homology, va` http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?E_{\infty}. Minh chi hoc pure algebraic topology, nhung nay can rat nhieu idea tu` Operator algebra, va noncommutative geometry vi´ du nhu KK-Theory.

[Kakalotta]

QC mới mạnh dạn chuyển đề tài nghiên cứu à? Chúc mừng nhé. Đừng nên vương vấn với một cái mà mình không có tình yêu làm gì, sau này khó có thể có hạnh phúc. Lãnh vực này có vẻ thú vị lắm đấy. Anh nhìn thấy cũng thấy mê. Nói thật là mình thích giải tích hơn đại số rất nhiều nhưng số phận cứ ép mình phải đi dần về đại số và hình học nên vẫn bao tiếc nuối. Cái này sau này làm Postdoc ở Berkeley thì tuyệt. Mình có biết một ông ở Berkeley làm về K lý thuyết của đại số toán tử, hình học không giao hoán, rồi thì tính KK lý thuyết song bất biến của ideal các toán tử compact. Nếu đọc thấy cái gì thú vị thì post lên đây cho anh em học hỏi.

Cuộc sống sang trang với một tình yêu mới. True love will never lie.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kakalotta: 31-03-2005 - 20:25

[quantum-cohomology]

Đúng thế anh Kaka, em hiện đang được tiếp thu đọc các bài của Connes, về Foliation and operator algebra, của Baum về Analytic K-Homology , theo như 1 proceeding của pure math volume 38 Part 1 , tiêu đề là Operator algebra and Applications. Rất hay. Có những vấn đề liên quan khá gần với homology, ví dụ như gọi L(H) là C*-algebra của tất cả các toán tử bị chặn trên 1 không gian Hilbert, K(H) là closed ideal của L(H), tập các toán tử compact trên không gian Hilbert, thì có thể định nghĩa Calkin algebra như là L(H)/K(H) là 1 C*-algebra có đơn vị. Rất hay. Từ lúc chiều khoảng 1h chiều nhận được đề tài mới, em ngồi đọc cho đến tận bây giờ là gần 3h sáng rồi. Quá tuyệt đi. Như thế trong tương lai có thể hướng nghiên cứu của anh em mình sẽ có thể khá gần nhau. Nhưng lâu rồi em làm toán xa vời thực tế, suốt ngày chỉ có category, morphism với theories, nên khả năng computation của mình trong analysis có phần nào kém đi rất nhiều. Nói chung mọi chuyện bây giờ cũng khá ổn, chỉ còn tập trung vào ngồi cầy nữa thôi, ông thầy lúc đưa tập tài liệu ông ấy nói, đề tài tốt nghiệp đh sẽ là KK-Theorie cũng như là K-Homology-theory, còn làm PhD chắc sẽ tiếp tục Fredholm operator. Mừng quá. That s right: True love will never lie and never die and i still love noncommutative geometry ( tất nhiên là hiểu đúng nghĩa hình học không giao hoán chứ không phải là noncommutative algebraic geometry <== cái này chuối).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 01-04-2005 - 06:42

[toanhoc]

Hay qua ! Quantum va Kaka xoa mu chu cho anh em ve operator algebra va index theory di. Cai dinh ly cua Atiyah va Singer noi tieng qua troi ma khong biet gi ve no thi cung xau ho.
Post cac kien thuc can ban cho anh em theo kip.
Minh ung ho het minh

[quantum-cohomology]

Về analytic K homology: ( Part 1, xem Paul Baum)
Cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?|\lambda| đủ lớn thì Index(http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Sigma là 1 compact subset của C, gọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?C(\Sigma) như là 1 C*-algebra của tất cả các hàm liên tục giá trị phức trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Sigma với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?C(\Sigma), trong đó http://dientuvietnam...in/mimetex.cgi?).
Xin mời mọi người tiếp tục tham gia post bài tiếp. Mình vẫn đang cố đọc mấy cái này cho hiểu, nên chưa giải thích được gì nhiều.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 01-04-2005 - 19:52

[quantum-cohomology]

Mình cũng chưa tiêu hóa đựoc mấy cái này, nên các bạn cũng đừng hỏi gì vội, cứ từ từ. Có lẽ tớ phải đọc lại Functional analysis. Nếu được anh Kaka ủng hộ vài bài về lý thuyết biểu diễn thì hay quá.

[quantum-cohomology]

Topological K-homology lam` viec chu yeu voi´ Spin, co´ the xem Spin(n) nhu la 1 2-sheeted cover cua SO(n), tuc´ la` p: Spin(n)-->SO(n) cam sinh p*: http://dientuvietnam...mimetex.cgi?Z_2, index cua p*(http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\epsilon khong trivial va` thuoc Kern(p), -1 thuoc http://dientuvietnam...metex.cgi?S^1}.
Nhu vay co the xem http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S^1 --- > O(n). That dung´ la` 1 cach´ nhin` nhan thong minh. Kham phuc kham phuc.
-----------
Van de nam o cho, ly´ thuyet Spin bordism cung thuoc trong generalized bordism theory va http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?E_{\infty}

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 04-04-2005 - 17:43

[quantum-cohomology]

Anh Hanh oi, cho hoi' 1 chut´ ve adjoint representation, cai´ nay` em chua hieu lam. Anh co the post len day 1 chut ve no´ duoc khong?

[toanhoc]

Quantum muon noi den adjoint representation cua Lie algebra ?

[quantum-cohomology]

Dung´ roi, cua Lie algebra

[Kakalotta]

Thực ra thì định nghĩa của cái này rất đơn giản, tuy nhiên ứng dụn của nó trong các lãnh vực lý thuyết biểu diễn, giải tích điều hòa, hình học Poisson, hình học không giao hoán thì không thể nào mà kể xiết.Vì vậy mình không dám có tham vọng trình bày một cách đầy đủ về vấn đề này. Tuy nhiên, mình cố gắng trình bày vấn đề này một cách rõ ràng nhất, để cho người ngoài chuyên môn cũng có thể dễ dàng nắm được.
Định nghĩa: Cho L là một đại số Lie, tức là một không gian véc to và được trang bị một phép toán [,]: L*L-------> L thỏa mãn quy tắc [a,b]+[b,a]=0.
[a[bc]]+[b[ca]]+[c[ab]]=0.
Ví dụ về đại số Lie: không gian tiếp xúc tại điểm e của một nhóm Li nào đó.
Khi đó ta có thể định nghĩa tác động phụ hợp của đại số Lie lên chính nó như sau:
ad(x): L----->L
ad(x)(y)=[x,y].

Ví dụ:
Nếu L là đại số Lie abel thì tác động ad là tầm thường (đưa vào 0).
Tuy nhiên, sự quan trọng của lý thuyết khong thể hiện trực tiếp ở ad mà được thể hiện ở Ad. Cụ thể hơn, ad cảm sinh tác động của nhóm Lie G tuơng ứng lên trên đại số Lie g cua nó, xác định bởi:
Ad(e^x)=e^ad(x), trong đó ad(x) là toán tử ad tác động lên g, xem như một không gian véc tơ.
Lấy đối ngẫu, ta thu được tác động của G lên trên đối ngẫu g* của đại số Lie g.
Coi G* như là một đa tạp đại số, khii đó ta có thể thác triển tích Lie của g lên trên toàn bộ vành tọa độ của g*, được xem như là đại số đối xứng của g và thu được cấu trúc của một không gian Poisson trên g*.
Khi đó theo quan điểm của hình học Poisson, chính tác động này của G (sinh bởi tác động ad) sinh ra các lá symplectic của g*.
Ví dụ: xét g=R^3 với tích [] là tích có hướng của 2 véc tơ. Khi đó g* là một không gian Poisson với các lá symplectic là các hình cầu đồng tâm o.

Khi khácviết tiếp.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kakalotta: 17-04-2005 - 11:08

[Doraemon]

Anh Kaka ơi, trong Định nghĩa còn phải thêm tính song tuyến tính của cái tích đó nữa chứ !

[quantum-cohomology]

Dung´ roi` Ad, vi` Spin(n) la` 1 nhom´ Lie, minh` khong quan tam lam´ toi´ lie algebra spin ma` chi' nhom´ Lie Spin(n), tuy nhien van chua hieu Ad, tat nhien la` formal thi` nhu the, nhung co´ nhieu dinh ly´ khong hieu lam´, tu` tu` roi minh` se post cac´ cau hoi len day.

[Kakalotta]

Một cách trình bày khác có vẻ đỡ hình thức hơn là theo kiểu giải tích.
Xét G là một nhóm Lie. Khi đó, G có tác động lên chính nó bởi tác động liên hợp:
A:G----> Aut(G) mà đưa g thành toán tử g...g^{-1}
Do các tác động này bảo toàn điểm e (hiển nhiên, why?) nên cảm sinh ra tác động đạo hàm của A(g) lên trên T_e(G)=g, gọi là tác động liên hợp.
Ad:G----> Aut(g)
Ad(g)=A(g)*
Ví dụ xét G= GL(n,G). Khi đó tác động liên hợp của nó sẽ là phép nhân liên hợp với phần tử của nhóm Lie G và Tác động phụ hợp của G lên trên đại số Lie của nó sẽ là tác động liên hợp của GL lên trên không gian tất cả các ma trận vuông.
Lấy đối ngẫu, ta thu được tác động đối phụ hợp của G lên đối ngẫu của đại số Lie g*. Người ta thường ký hiệu này là K để ghi nhớ công lao của Kostang-Kirillov.
Người ta nhận thấy rằng những K-quỹ đạo này của nhóm Lie G đóng một vai trò rất quan trọng trong việc tìm hiểu về các thông tin của nhóm G.
Cụ thể hơn, theo kết quả cua Kirillov thì đây chính là một phân loại đầy đủ các không gian Hamilton thuần nhất của nhóm Lie, sai khác một không gian phủ...Nói cách khác, tất cả các không gian phase (là các đa tạp symplectic thuần nhất, phẳng ) của các hệ cơ học cổ điển nhận nhóm Lie G làm nhóm đối xứng sẽ là phủ của các quỹ đạo này.
Đến đây, một ý tưởng xuất phát từ bên vật lý lý thuyết gợi ý rằng, nếu ta tìm các lượng tử hóa các quỹ đạo này, theo một nghĩa nào đó, ta có thể thu được một số thông tin của nhóm Lie G, cụ thể hơn là cho một mô tả về phạm trù biểu diễn của nó.

[quantum-cohomology]

Oh GL(n.R), cai nay thu vi day, minh kha quan tam toi http://dientuvietnam....cgi?GL_{ }(n,R), thuong dung de xay dung clutching functions. Ngoai ra no con co ung dung lon lao trong viec chuyen tiep analytical K-homology sang topological K-homology, cung nhu KO-homology rings.
1 bai toan nho nho' cm vui choi: cmr

[quantum-cohomology]

Rat cam on anh Kaka, sap toi em dang lam viec voi generalized bordism theory, 1 dang tuong tu kieu K-homology theory. Tuy nhien no rong hon vi no bao trum luon ca topological quantum fields theory <-- cai nay duoc hieu nhu la bordism theory. Trong do´ em gap phai rat nhieu van de lien quan toi ly thuyet bieu dien nhom Lie, vi du nhu bieu dien cua nhom Spin(n). Khong biet tu ly thuyet bieu dien nguoi ta co the tinh´ toan´ duoc cac´ dai luong spinor cua Spin khong nhi'. Cuon sach ly thuyet bieu dien cua Kirilov rat hay, tuy nhien em khong hieu gi ca.