Đến nội dung

Hình ảnh

Phương trình hàm đa thức


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 44 trả lời

#1
namdung

namdung

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1205 Bài viết
Các bạn thân mến,

Trong kỳ thi chọn HSG Toán quốc gia năm ngoái, có một bài phương trình hàm đa thức khá đơn giản, nhưng trên thực tế thì điểm số trung bình của bài này không cao. Đặc biệt, trong các bài giải được, những bài giải gọn gàng, xúc tích và chặt chẽ không nhiều.

Để giúp cho các bạn học sinh nắm được những kỹ thuật cơ bản trong việc giải phương trình hàm đa thức, nắm được những tính chất "then chốt" của đa thức mà ta cần vận dụng trong việc xử lý phương trình hàm đa thức, tôi dự định sẽ tổ chức một seminar về phương trình hàm đa thức với đối tượng là các bạn trẻ yêu toán, thời gian dự kiến là ngày 17/12/2006.

Nội dung sẽ gồm các mục chính sau:

1) Phương trình hàm dạng P(f(x))P(g(x)) = P(h(x))

2) Phương trình hàm dạng P(f(x))P(g(x)) = P(h(x)) + Q(x)

3) Phương trình Diophant cho đa thức

4) Phương trình hàm chứa vi phân

Để có thêm tư liệu viết bài này, tôi rất cần sự đóng góp của các bạn về các bài toán PTH đa thức cũng như các phương pháp giải. Mong nhận được sự hưởng ứng của các bạn.

Tiến độ dự kiến của các mục

1) Sẽ post ngày 2/12
2) Sẽ post ngày 4/12
3) Sẽ post ngày 7/12
4) Sẽ post ngày 9/12

Namdung

#2
ctlhp

ctlhp

    Đức Thành

  • Thành viên
  • 375 Bài viết
Seminar này online hả thầy?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ctlhp: 13-12-2006 - 21:25


#3
NangLuong

NangLuong

    Thành viên Diễn đàn Toán.

  • Hiệp sỹ
  • 2488 Bài viết
Thông báo về tổ chức và hình thức của Seminar các bạn xem ở đây nhé http://diendantoanho...=0, các thắc mắc liên quan cũng post ở chủ đề đó luôn mình sẽ giải đáp. Còn chủ đề này các bạn cố gắng chỉ dành để trao đổi chuyên môn thôi, về các vấn đề thầy Nam Dũng nêu ra hoặc là các vấn đề riêng của bạn liên quan đến chủ đề của buổi Seminar này.

#4
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

Thông báo về tổ chức và hình thức của Seminar các bạn xem ở đây nhé http://diendantoanho...=0, các thắc mắc liên quan cũng post ở chủ đề đó luôn mình sẽ giải đáp. Còn chủ đề này các bạn cố gắng chỉ dành để trao đổi chuyên môn thôi, về các vấn đề thầy Nam Dũng nêu ra hoặc là các vấn đề riêng của bạn liên quan đến chủ đề của buổi Seminar này.

Chắc chắn Em không thể trực tiếp tham gia
Chắc
Em nêu những thắc mắc của mình trên đây là hoàn toàn được ???
Đây là một vấn đề hay
Em sẽ tham gia trên đây

Đời người là một hành trình...


#5
NangLuong

NangLuong

    Thành viên Diễn đàn Toán.

  • Hiệp sỹ
  • 2488 Bài viết
Em và cả mọi người nữa cứ thoải mái nêu lên các vấn đề liên quan đến chủ đề này ở đây, chủ đề này lập ra nhằm bổ sung & chuẩn bị cho buổi seminar offline mà, buổi seminar này để tham gia trực tiếp thì phải là người sống ở TPHCM, tuy nhiên các bạn khác vẫn có thể tham gia một cách gián tiếp thông qua chủ đề này.

Thế nhé, mọi người đừng nên đặt câu hỏi lan man trong chủ đề này nữa mà tập trung vào trao đổi về vấn đề nêu ra đi :P

#6
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

Em và cả mọi người nữa cứ thoải mái nêu lên các vấn đề liên quan đến chủ đề này ở đây, chủ đề này lập ra nhằm bổ sung & chuẩn bị cho buổi seminar offline mà, buổi seminar này để tham gia trực tiếp thì phải là người sống ở TPHCM, tuy nhiên các bạn khác vẫn có thể tham gia một cách gián tiếp thông qua chủ đề này.

Thế nhé, mọi người đừng nên đặt câu hỏi lan man trong chủ đề này nữa mà tập trung vào trao đổi về vấn đề nêu ra đi :D

như vậy một số kiến thức ... có được thầy Nam Dũng Post lên không? ? ( chắc có ???)
Nhưng sao nơi đây chỉ là chuẩn bị ................
Sao vẫn thiệt thòi cho ngườ ở xa
..............
Em cảm thấy thích điều này , Giống như các nhà Toán học thời xưa đi nghe Diễn thuyết bởi một nhà toán học cao tay ...
Nhưn thật khó khăn để tham gia trực tiếp
Nhưng tham gia gián tiếp .....? là sao Anh?
chỉ tham gia trong giai đoạn chuẩn bị
... còn sau khi nó diễn ra thì ... có được biết thêm gì ko ??

Đời người là một hành trình...


#7
NangLuong

NangLuong

    Thành viên Diễn đàn Toán.

  • Hiệp sỹ
  • 2488 Bài viết
Em hãy đọc kỹ thông báo về hình thức tổ chức đã chứ http://diendantoanho...ndpost&p=134570

Anh đã viết rất đầy đủ rồi mà. Ở trong chủ đề này, chúng ta nên tập trung vào vấn đề chính của buổi Seminar mà thôi - đấy là các vấn đề Toán liên quan đến Phương trình hàm - đa thức.

#8
kyoshiro_hp

kyoshiro_hp

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết
Dạng 1 khá là quen thuộc,em thấy số phức giải được cho nhiều bài kiểu đó và rất hay,tuy không được dùng khi thi nhưng ko biết thầy có viết về nó ko. Còn phương trình Diophantus cho đa thức em mới nghe lần đầu, thầy có thể giới thiệu vài bài về dạng đó được ko ạ? Bài Iran06 này khá hay,không biết có phải dạng diophantus ko?
Tìm tất cả P(x) t/m
P(x+P(x))=P(x)+P(P(x))
Tạm biệt toán, tạm biệt diễn đàn.

#9
namdung

namdung

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1205 Bài viết
1. Phương trình dạng P(f)P(g) = P(h).

Bài toán tổng quát: Giả sử f(x), g(x) và h(x) là các đa thức thuộc R[x] đã cho thoả mãn điều kiện: deg(f) + deg(g) = deg(h). Tìm tất cả các đa thức P(x) thuộc R[x] sao cho
http://dientuvietnam...etex.cgi?(x^2 1)^k là tất cả các đa thức bậc chẵn (không đồng nhất hằng số) thoả mãn (7).

Thế còn các nghiệm của (7) có bậc lẻ? Rõ ràng đa thức không ìsinh” ra được các nghiệm bậc lẻ. Rất may mắn, ta có thể chứng minh các đa thức bậc lẻ không thể là nghiệm của (7). Để chứng minh điều này, dựa vào tính chất mọi đa thức bậc lẻ đều có ít nhất một nghiệm thực, ta chỉ cần chứng minh nếu P(x) là một đa thức không đồng nhất hằng số thoả mãn (7) thì P(x) không có nghiệm thực (đây chính là nội dung bài Vietnam MO 1990). Việc chứng minh điều này xin dành cho độc giả.

Sau đây là một số bài tập áp dụng

1. (Bulgaria 1976) Tìm tất cả các đa thức P(x) thoả mãn điều kiện
với mọi x thuộc R.

2. (TH&TT 7/2006) Tìm tất cả các đa thức có hệ số thực thoả mãn
với mọi x thuộc R.

3. (Bulgaria 1988) Tìm tất cả các đa thức P(x) không phải hằng số sao cho P với mọi x.

4. Tìm tất cả các đa thức không đồng nhất hằng số thỏa mãn điều kiện
với mọi x

Chỉ dẫn lịch sử:
+ Định lý 1.3 tôi được biết đến khi nghe một bài giảng của thầy Nguyễn Minh Đức vào dịp Bồi dưỡng giáo viên năm 1996. Sau này tôi đã dùng nó để giảng nhiều lần ở các lớp luyện đội tuyển. Định lý này thầy Đức gọi là "bài toán chìa khoá". Sau này Lê Quang Nẫm cũng đưa bài toán này vào trong cuốn "Tìm tòi và học toán" của anh.
+ Năm 2005, trong kỳ thi chọn HSG quốc gia, phương trình rất đáng ngạc nhiên là đã làm lúng túng nhiều bạn. Các bạn thường lý luận rất lằng nhằng, thiếu chính xác hoặc phán đại. Ngoài ra, có một sai sót rất thường gặp là từ việc với mọi x, P(x).Q(x) = 0 các bạn suy ra P(x) đồng nhất 0 hoặc Q(x) đồng nhất 0 một cách hết sức thoải mái mà không có lý luận gì.
+ Ngoài phương pháp đã trình bày ở trên, các phương trình đã đề cập có thể giải bằng cách xét nghiệm (thực hoặc phức) của đa thức. Chúng tôi sẽ đề cập đến vấn đề này ở các bài tiếp theo.

(Còn tiếp)

#10
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết
[quote name='namdung' date='December 03, 2006 10:57 pm']
2. (TH&TT 7/2006) Tìm tất cả các đa thức có hệ số thực thoả mãn
http://dientuvietnam...n^2 x_n 1>x_{n} )
Vây đa thức này vô nghiệm thực nên DegP(x) chẳn
Ta cm : tôn tại nhiều nhất là 1 đa thức , với bậc chẵn cho trước (lập luận không khó )
Khi đó : Ta chỉ tìm đa thức bậc hai thỏa:
http://dientuvietnam...mimetex.cgi?P(x)=x^2+bx+c
tìm b,c bằng cách đồng nhất thức
...
Khi đó ta có : các đa thức cần tìm là http://dientuvietnam...x.cgi?(x^2 bx c)^n

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 05-12-2006 - 10:25

Đời người là một hành trình...


#11
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết
bài toán :http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?IMO_{2005}
tìm f:R+http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x,y>0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 05-12-2006 - 11:30

Đời người là một hành trình...


#12
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết
Theo En thì Các bài toán về đa thức thì có thể nói dễ hơn Hàm Vì Đa thức là Trường hợp đặc biệt của hàm
Hơn nửa với đa thức ta có thể áp dụng nhiều kiếnthức như Đạo hàm ....
Ta thường thực hiện các thao tác:
*) So Sánh hệ số cao nhất , so sánh hệ số tự do
*)Hay có cả so sánh bậc nữa
VD:Tìm tất cả các đa thức : thỏa http://dientuvietnam...mimetex.cgi?P(x)=2007P'(x)P"(x)Hay
Như vậy Ta có nhiều điều thấy Đa thức "thường " dễ hơn hàm
Nhưng trên thực tế thì có những TH đặc biệt ngược lại không thầy ?
Đa thức và hàm ( đề toán tương tự nhau ) nhưng Bài toán Hàm lại dễ hơn?

P/S: có bàn về tính khả vi ????

Đời người là một hành trình...


#13
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết
Còn cả vấn đa thức nguyên, Vấn đề tính các giá trị tại đó thông qua Đa thức Trêbưsep

Đời người là một hành trình...


#14
ctlhp

ctlhp

    Đức Thành

  • Thành viên
  • 375 Bài viết
1 kĩ thuật hay sử dụng là số phức. Xét các nghỉêm fứcv

#15
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

1 kĩ thuật hay sử dụng là số phức. Xét các nghỉêm fứcv

thật tuyệt
Những bài ứng dụng số phức
Một bài : nâng số mũ cao để dọa ngươì ta ( giồng như thầy Nam Dũng nói)
Đề ( khiến cho mọi ngươì sợ .. nhưng chỉ hù dọa thôi?)

Tính khi: tồn tại các đa thức với hệ số thực thoả:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 06-12-2006 - 15:44

Đời người là một hành trình...


#16
Thanhdo

Thanhdo

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 42 Bài viết
Bạn van chanh giải một vài bài ở trên để mọi nguoiwf học tập kinh nghiêmh đi

#17
leecom

leecom

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 327 Bài viết
Hay tuyệt!
Hôm nay đã là ngày mồng 8 rồi, thầy Post tiếp các phần còn lại đi. Đúng đây là vấn đề mà em còn chưa nắm rõ.
The Past, The Present, and The Future...

#18
namdung

namdung

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1205 Bài viết
Dear các bạn,

Mấy hôm nay có việc bận đột xuất nên tiến độ post bài đã không giữ được như ban đầu. Tôi sẽ tiếp tục phần 2, 3 trong ngày hôm nay.

Tôi vẫn cần thêm một số ví dụ và bài toán khác nữa, mong nhận được sự góp sức của các bạn. Nếu có lời giải và bình luận thì càng tốt.

Riêng câu hỏi của một bạn "Có phải phương trình hàm đa thức luôn dễ hơn phương trình hàm?" (với lý do là có thêm nhiều tính chất như liên tục, khả vi, hữu hạn nghiệm, có bậc ...) thì tôi xin trả lời rằng, không phải như thế. Có lẽ điều này rất giống với xét phương trình thường với nghiệm nguyên và nghiệm thực:

Ví dụ:
1) Giải phương trình trong R và trong Z
2) Giải phương trình trong R và trong Z

Bài 1) thì giải trong Z dễ hơn trong R, còn bài 2 thì rõ ràng là ngược lại.

#19
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết
tìm nghiệm nghuyên thì dễ!
Dùng :Định lí 1: .Nêúhttp://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x=\dfrac{p}{q} thì p là ước cuả http://dientuvietnam...mimetex.cgi?a_0, q là ước cuả http://dientuvietnam...mimetex.cgi?a_n
định lí này : việc chứng minh không cần bàn ( nó không khó ) , ta chỉ bàn về giá trị ứng dụng cuả nó
Hệ Quả :
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?{1,2,3,6,12,24,-1,-,2,-3,-6,-12,-24}
dùng máy tính thừ lại thì thấy : tất cả các số này đều không là nghiệm
Vậy nó vô nghiệm nguyên
còn nghiệm thực tính sau ....

Đời người là một hành trình...


#20
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

Dear các bạn,

Mấy hôm nay có việc bận đột xuất nên tiến độ post bài đã không giữ được như ban đầu. Tôi sẽ tiếp tục phần 2, 3 trong ngày hôm nay.

Tôi vẫn cần thêm một số ví dụ và bài toán khác nữa, mong nhận được sự góp sức của các bạn. Nếu có lời giải và bình luận thì càng tốt.

Riêng câu hỏi của một bạn "Có phải phương trình hàm đa thức luôn dễ hơn phương trình hàm?" (với lý do là có thêm nhiều tính chất như liên tục, khả vi, hữu hạn nghiệm, có bậc ...) thì tôi xin trả lời rằng, không phải như thế. Có lẽ điều này rất giống với xét phương trình thường với nghiệm nguyên và nghiệm thực:

Ví dụ:
1) Giải phương trình trong R và trong Z
2) Giải phương trình trong R và trong Z

Bài 1) thì giải trong Z dễ hơn trong R, còn bài 2 thì rõ ràng là ngược lại.

Cám ơn thầy
Nhưng Em không khước từ hoàn toàn .....

Đời người là một hành trình...





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh