Đến nội dung

Hình ảnh

Phương trình hàm đa thức


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 44 trả lời

#21
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết
tìm nghiệm nghuyên thì dễ!
Dùng :Định lí 1: .Nêúhttp://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x=\dfrac{p}{q} thì p là ước cuả http://dientuvietnam...mimetex.cgi?a_0, q là ước cuả http://dientuvietnam...mimetex.cgi?a_n
định lí này : việc chứng minh không cần bàn ( nó không khó ) , ta chỉ bàn về giá trị ứng dụng cuả nó
Hệ Quả :
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?{1,2,3,6,12,24,-1,-,2,-3,-6,-12,-24}
dùng máy tính thừ lại thì thấy : tất cả các số này đều không là nghiệm
Vậy nó vô nghiệm nguyên
còn nghiệm thực tính sau ....

Đời người là một hành trình...


#22
kyoshiro_hp

kyoshiro_hp

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết
[quote name='vanchanh123' date='December 06, 2006 03:43 pm']thật tuyệt
Những bài ứng  dụng số phức
Một bài : nâng số mũ cao để dọa ngươì ta ( giồng như thầy Nam Dũng nói)
Đề ( khiến cho mọi ngươì sợ .. nhưng chỉ hù dọa thôi?)

Tínhhttp://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P(x)P(x+1)=P(x^{2}+x+1)
Công nhận giải bằng bổ đề chìa khóa thì hay, nhưng bài này giải bằng số phức cũng độc đáo không kém
Gọi x là nghiệm mà có modun lớn nhất. Dễ thấy trong 2 nghiệmtồn tại một nghiệm có modun lớn hơn=>=>P(x)=....
Tạm biệt toán, tạm biệt diễn đàn.

#23
namdung

namdung

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1205 Bài viết
Trước hết, xin thông báo với mọi người là seminar sẽ được diễn ra theo đúng kế hoạch, vào sáng 17/12/2006

Thời gian: 8:00 AM - 11:00 AM
Địa điểm: Phòng 207 dãy A (Nhà 5 tầng)
Trường PTNK, 153 Nguyễn Chí Thanh, Quận 5.


1. Phương trình dạng P(f)P(g) = P(h)
(Tiếp theo)

Như đã nói ở phần cuối của bài trước, phương trình dạng P(f)P(g) = P(h) còn có thể giải bằng cách xét các nghiệm (có thể là phức) của đa thức P(x) = 0. Sau đây chúng ta xét một ví dụ như vậy:

Ví dụ: Tìm tất cả các đa thức không hằng số P(x) sao cho


Lời giải: Giả sử a là một nghiệm của P(x) = 0. Khi đó cũng là nghiệm. Thay x bằng x - 1, ta có

Vì P(a) = 0 nên ta cũng suy ra cũng là nghiệm của P(x) = 0.

Chọn a là nghiệm có modul lớn nhất (nếu có một vài nghiệm như thế thì ta chọn 1 trong chúng). Từ cách chọn ta suy ra
Áp dụng bất đẳng thức về modul, ta có


Như vậy dấu bằng phải xảy ra ở các đẳng thức trên, suy ra với s là một số dương nào đó.

Nếu thì , suy ra . Tương tự, cũng suy ra , mâu thuẫn với cách chọn a.

Vậy . Từ đó s = 1 và ta có



suy ra , suy ra a = :rolleyes: i và như vậy là thừa số của P(x). Từ đây

trong đó Q(x) là đa thức không chia hết cho . Thay vào (1), ta có Q(x) cũng thỏa mãn

Nếu như phương trình Q(x) = 0 có nghiệm thì làm tương tự như trên, nghiệm có modul lớn nhất phải là :lol: i. Nhưng điều này không thể vì không chia hết Q(x). Ta đi đến kết luận rằng Q(x) là hằng số, giả sử đó là c. Thay vào phương trình, ta được c = 1.

Như vậy tất cả các nghiệm không hằng của phương trình (1) có dạng với m là số nguyên dương.

Chú ý rằng kết luận của định lý không còn đúng nếu f và g là hai đa thức cùng bậc và có hệ số cao nhất đối nhau.

Ví dụ với phương trình hàm đa thức

có thể tìm được rằng có 2 đa thức bậc nhất, 4 đa thức bậc 2 thỏa mãn phương trình. Bài toán mô tả tất cả các nghiệm của (2) hiện nay, theo chúng tôi, vẫn còn là một bài toán mở.
Bài tập:

1. Tìm tất cả các đa thức P(x) chỉ có nghiệm thực thỏa mãn phương trình


2. Tìm ít nhất một đa thức không có nghiệm thực thỏa mãn phương trình ở bài toán 1.

#24
gianglinh

gianglinh

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 302 Bài viết
bài viết của thầy rất hay tuy là dạng bài 1 đã quen thuộc nhưng các định lý và tính chất thầy đưa ra làm em rất bất ngờ .Tuy nhiên em chưa gặp bài nào ở dạng 2 và cũng chưa nghe về phương trình Diophant cho đa thức bao giờ.Dạng 4 chắc nchỉ là những bài có đạo hàm ví dụ:
1)tìm đa thức P(x) thỏa mãn: http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f(x)^m m tự nhiên

3) đa thức P và Q hệ số thực có bậc > 1 thỏa mãn:

thì P(x)=0 Q(x)=0

P(x)=1 Q(x)=1

chứng minh P Q
n- hữu hạn số 0 < n
bạn có tin điều này không

#25
namdung

namdung

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1205 Bài viết
2. Phương trình dạng P(f)P(g) = P(h) + Q

Bây giờ chúng ta xét đến phương trình dạng

P(f)P(g) = P(h) + Q (1)

(Để tiện theo dõi và không quá rắc rối trong ký hiệu, ta đánh số lại các công thức từ 1)

trong đó f, g, h, Q là các đa thức đã cho, deg(f) + deg(g) = deg(h).

Với phương trình (1), nếu Q không đồng nhất 0 thì ta sẽ không còn tính chất "nhân tính" như dạng 1. Vì thế, việc xây dựng nghiệm trở nên khó khăn. Đây chính là khác biệt cơ bản của dạng 2 với dạng 1.

Tuy nhiên, ta vẫn có thể chứng minh được định lý duy nhất, được phát biểu như sau:

Định lý: Cho f, g, h là các đa thức không hằng thỏa mãn điều kiện deg(f) + deg(g) = deg(h), Q là một đa thức cho trước. Khi đó, với mỗi số nguyên dương n và số thực a, tồn tại nhiều nhất một đa thức P thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
i) deg(P) = n, ii) P* = a iii) P(f)P(g) = P(h) + Q

Phép chứng minh định lý này hoàn toàn tương tự với phép chứng minh định lý đã được chứng minh ở phần 1.

Sau đây là một số bài tập áp dụng (tôi sẽ trình bày chi tiết tại seminar, sau đó sẽ viết vào tài liệu gửi cho các bạn không dự seminar được)

1. Tìm tất cả các đa thức P(x) thỏa mãn phương trình



2. Tìm tất cả các đa thức P(x) thỏa mãn phương trình



3. Tìm tất cả các bộ (a, P, Q) trong đó a là hằng số thực, P, Q là các đa thức sao cho:


3. Phương trình Diophant

Là các phương trình gồm nhiều hàm, nhưng các hàm là đa thức. Phần này cho thấy đa thức so với hàm rất giống với số nguyên so với sô thực

Ví dụ 1: Chứng minh rằng không tồn tại các đa thức P(x), Q(x), S(x) sao cho



Ví dụ 2: Tìm tất cả các cặp đa thức (P, Q) thỏa mãn phương trình

P^2(x) - (x^2+1)Q^2(x) = 1

Rất mong tiếp tục nhận được đóng góp của các bạn về các dạng phương trình đa thức.

#26
thieutoan1B

thieutoan1B

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết
Thưa thầy, em thấy ta có thể tổng quát hóa ví dụ 1 trong pt Diophan thành dạng
P^n{x} +Q^n{x}=S^n{x} với nlaf số tự nhiên :delta 3

#27
namdung

namdung

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1205 Bài viết
Chính xác. Và điều đó có nghĩa là định lý Fermat cho đa thức có thể chứng minh khá dễ dàng và sơ cấp. Chỉ cần áp dụng định lý Mason-Stothers là xong.

(bạn có thể xem về định lý Mason ở đây: http://mathworld.wol...nsTheorem.html)

#28
ctlhp

ctlhp

    Đức Thành

  • Thành viên
  • 375 Bài viết
thầy typed dư cái ngoặc Mason's theorem

#29
Tuan_Anh_IVO

Tuan_Anh_IVO

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết
Hu hu...
[quote]
. Phương trình dạng P(f)P(g) = P(h).
Bài toán tổng quát: Giả sử f(x), g(x) và h(x) là các đa thức thuộc R[x] đã cho thoả mãn điều kiện: deg(f) + deg(g) = deg(h). Tìm tất cả các đa thức P(x) thuộc R[x] sao cho
http://dientuvietnam...mimetex.cgi?P(x) hay x=P và x=Q là nghiệm của phương trình đó theo http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?x
Còn biến đổi này nữa chứ
(P.Q)(h(x)) = (P)(h(x)).Q(h(x)) = P(f(x)).P(g(x)).Q(f(x)).Q(g(x))
= (P.Q)(f(x)).(P.Q)(g(x)).
Mình thật sự chưa bao giờ gặp biến đổi kiểu này. Các bạn giúp mình với!!!
I amnot painter but I can paint my love

#30
gianglinh

gianglinh

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 302 Bài viết
P,Q là nghiệm tức là P và Q là đa thức thỏa mãn (1) với mọi x

với f,g là 2 hàm biến x và tương ứng là tập xác định của f và g ta có định nghĩa:

(f.g)(x)=f(x).g(x) với mọi

tương tự cho các phép tính khác
tính chất 1 của thầy tức là nếu P,Q là 2 đa thức thỏa mãn (1) thì tích của 2 đa thức đó cũng thỏa mãn (1)
n- hữu hạn số 0 < n
bạn có tin điều này không

#31
buckandbaby

buckandbaby

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 159 Bài viết
EM có bài này nghe giả thiết khá đơn giản nhưng vô hướng, không biết làm cách nào, ai chỉ giúp em với
Cmr nếu x là nghiệm thực duy nhất của thì
Thành công có 99% là mồ hôi và nước mắt

#32
1001001

1001001

    Super Theory

  • Thành viên
  • 334 Bài viết
Bài của buckbandy dùng định lí đơn giản sau.
Nếu P :Rightarrow Q[x] có nghiệm p+qa (p,q :Rightarrow Q,a :Leftrightarrow R\Q,a^2 :Leftrightarrow Q) thì cũng có nghiệm p-qa (tương tự như định lí về số phức của đa thức nhỉ!:Rightarrow). Cũng như bên số phức ta định nghĩa liên hợp của p+qa là f(p+qa)=p-qa rồi chứng minh P(f(x))=f(P(x)) là suy ra đpcm.
Đây cũng là cách để giải bài Iran 2002.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 1001001: 20-12-2006 - 05:48

My major is CS.

#33
namdung

namdung

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1205 Bài viết
Tôi nghĩ bài toán của buckdany không đúng. Tôi cũng không hiểu tại sao lại có điều kiện deg(P) > 4?

Tôi lấy ví dụ: Phương trình x^3 + x + 1 có 1 nghiệm thực duy nhất. Và nghiệm thực này không hữu tỷ.

Tôi nhân đa thức trên với x^2 + 1 thì được đa thức (x^2 + 1)(x^3 + x + 1) có 1 nghiệm thực duy nhất và có bậc 5.

Đây cũng là phải ví dụ cho "định lý" của 1001001. Thực ra điều bạn phát biểu chỉ đúng khi a là căn bậc 2 của 1 số không chính phương.

#34
thieutoan1B

thieutoan1B

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết
Thầy Dũng có thể nói thêm điều kiện của "định lý Fecma cho đa thức" là các đa thức P Q R nguyên tố với nhau từng đôi một hay là UCLN của P Q R là hằng số được không?

#35
thieutoan1B

thieutoan1B

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết
Từ định lý Fecma cho đa thức tôi nghĩ ra hai bài toán sau, mọi người cùng tham khảo
1- tìm tất cả các đa thức P,Q,R :) R[X] thỏa; P^{n} + Q^{n} = R^{n} với n là số tự nhiên >2
2- Cmr: không tồn tại các da thức P,Q,R :D Q[X] thỏa: P^{n} + Q^{n} = R^{n} với n là số tự nhiên >2

#36
namdung

namdung

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1205 Bài viết
Định lý Fermat cho đa thức phát biểu: Cho f, g, h là các đa thức đôi một nguyên tố cùng nhau (trong C[x]), ngoài ra ít nhất 1 trong chúng không đồng nhất hằng số. Khi đó đẳng thức f^n + g^n = h^n không thể xảy ra với n >= 3.

Vì thế các bài toán của bạn đưa ra đều là hệ quả của định lý trên.

#37
Jeffrey

Jeffrey

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 98 Bài viết
Thưa thầy,thầy cho em hỏi là các dạng toán về phương trình Diophant cho Đa Thức đã được nghiên cứu trên thế giới phải không ạ,dạng này em mới nghe thôi ạ?

#38
leecom

leecom

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 327 Bài viết
Thưa thầy, thầy tiếp tục chuyên đề phương trình hàm đa thức đi ạ.
The Past, The Present, and The Future...

#39
math_dn12

math_dn12

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 43 Bài viết
uh, đúng rùi.
sao THẦY ko post tiếp vậy
hic'

#40
novatena

novatena

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 24 Bài viết
Sắp đến kì thi VMO rồi, các bạn làm thử bài toán khá đẹp sau đây.

Chứng minh rằng nếu $P$ và $Q$ là hai đa thức hệ số thực, cùng bậc thỏa mãn $P(Q^2(x))=Q(P^2(x))$ thì $P=Q$ ở đây $P^2(x)=(P(x))^2$




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh