Tìm số nguyên dương $n$ bé nhất thỏa mãn tính chất sau không tồn tại bất cứ 1 cấp số cộng nào gồm 1999 số hạng mà cấp số cộng đó chưa đúng $n$ số nguyên.
Tìm số nguyên dương $n$ bé nhất thỏa mãn tính chất
#1
Đã gửi 03-12-2006 - 18:47
#2
Đã gửi 23-09-2016 - 21:18
Tìm số nguyên dương $n$ bé nhất thỏa mãn tính chất sau không tồn tại bất cứ 1 cấp số cộng nào gồm 1999 số hạng mà cấp số cộng đó chưa đúng $n$ số nguyên.
Với $n=1$ ta dễ dàng tìm được cấp số cộng gồm $1999$ số hạng và chứa đúng $1$ số hạng nguyên (ví dụ cấp số cộng có số hạng đầu là số nguyên và công sai $d$ thỏa mãn $0< d< \frac{1}{1998}$).Vì vậy từ đây trở xuống ta chỉ xét trường hợp $n> 1$.
Trước hết nhận xét rằng nếu tồn tại cấp số cộng $A$ (có công sai $d_A$) gồm 1999 số hạng và có đúng $n$ số hạng nguyên thì $n$ số hạng đó có thể xếp thành một cấp số cộng tăng có công sai $\delta$ là số nguyên dương và khi đó cũng tồn tại cấp số cộng $B$ tăng (có công sai $d_B$) gồm 1999 số hạng có đúng $n$ số hạng nguyên, cũng là $n$ số nguyên liên tiếp (chỉ cần chọn $d_B=\frac{\left | d_A \right |}{\delta }$)
Điều đó tương đương với mệnh đề sau (tạm gọi là mệnh đề $X$)
"Nếu không tồn tại cấp số cộng $B$ tăng gồm 1999 số hạng có đúng $n$ số hạng nguyên và là $n$ số nguyên liên tiếp thì cũng không tồn tại cấp số cộng $A$ gồm 1999 số hạng có đúng $n$ số hạng nguyên"
Bây giờ ta xét một cấp số cộng tăng có công sai $d$ gồm 1999 số hạng và có đúng $n$ số hạng nguyên, cũng là $n$ số nguyên liên tiếp k ; k+1 ; ... ; k+n-1
Gọi các số hạng của cấp số cộng là $u_1,u_2,...,u_a,...,u_z,...,u_{1999}$ với ($u_a=k$ ; $u_z=k+n-1$)
Đặt $m=\left [ \frac{1998}{n-1} \right ]\Rightarrow d=\frac{1}{m}$
Vì $u_a-u_1< 1\Rightarrow p=\frac{u_a-u_1}{d}< m$
Tương tự $u_{1999}-u_z< 1\Rightarrow q=\frac{u_{1999}-u_z}{d}< m$
($m\in \mathbb{N}^*$ và $p,q\in \mathbb{N}$)
Đặt $1998=m(n-1)+r\Rightarrow r=p+q$
Vì $p< m$ và $q< m$ suy ra $r< 2m-1$
Như vậy điều kiện cần để không tồn tại cấp số cộng tăng gồm 1999 số hạng có đúng $n$ số hạng nguyên và là $n$ số nguyên liên tiếp là $r\geqslant 2m-1$
trong đó $m=\left [ \frac{1998}{n-1} \right ]$ và $r$ là số dư của phép chia 1998 cho n-1
$r\geqslant 2m-1\Rightarrow n\geqslant 64$ (vì nếu $n< 64$ thì $r< 62$ còn $m\geqslant 32$)
Dễ dàng tìm thấy $n=70$ là giá trị nhỏ nhất để $r\geqslant 2m-1$ (khi đó $m=28$ ; $r=66$)
Với $n=70$ thì không tồn tại cấp số cộng tăng gồm 1999 số hạng có đúng $70$ số hạng nguyên và là $70$ số nguyên liên tiếp và theo mệnh đề $X$ ở trên thì cũng không tồn tại cấp số cộng gồm 1999 số hạng có đúng $70$ số hạng nguyên.
Trả lời : Giá trị nhỏ nhất của $n$ cần tìm là $70$.
- I Love MC, Element hero Neos và redfox thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh