Tìm tất cả các số thực $x$ sao cho : $\cos(\cos(\cos(\cos x))))=\sin(\sin(\sin(\sin x)))$
Tìm tất cả các số thực $x$ sao cho : $\cos(\cos(\cos(\cos x))))=\sin(\sin(\sin(\sin x)))$
#1
Đã gửi 03-01-2007 - 16:33
#2
Đã gửi 29-06-2016 - 07:44
Tìm tất cả các số thực $x$ sao cho : $\cos(\cos(\cos(\cos x))))=\sin(\sin(\sin(\sin x)))$
Đặt $A=\cos x$ ; $B=\cos A$ ; $C=\cos B$ ($A\in \left [ -1;1 \right ]$ ; $B,C\in \left ( 0;1 \right ]$)
$M=\sin x$ ; $N=\sin M$ ; $P=\sin N$
Phương trình đã cho $\Leftrightarrow \cos C=\sin P=\cos\left ( \frac{\pi}{2}-P \right )$ (1)
Vì $C\in \left ( 0;1 \right ]\Rightarrow \cos C> 0\Rightarrow \sin P>0\Rightarrow M=\sin x>0$
Vậy ta có thêm các điều kiện $M,N,P\in \left ( 0;1 \right ]$
$(1)\Rightarrow C=\frac{\pi}{2}-P+2k\pi$ hoặc $C=P-\frac{\pi}{2}+2k\pi$
Kết hợp với các điều kiện $C,P\in \left ( 0;1 \right ]$, ta thấy chỉ có $C=\frac{\pi}{2}-P$ (2)
là thích hợp.
Vì $\left | A \right |\leqslant 1\Rightarrow 1\geqslant B\geqslant \cos1\Rightarrow \cos1\leqslant C\leqslant \cos(\cos1)\Rightarrow 0,54< C< 0,86$ (3)
Vì $M\in (0;1]\Rightarrow 0< N\leqslant \sin1\Rightarrow 0< P\leqslant \sin(\sin1)\Rightarrow 0< P< 0,75$ (4)
$(2),(3),(4)\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\frac{\pi}{2}-0,75< C< 0,86\\\frac{\pi}{2}-0,86< P< 0,75 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}0,82< C< 0,86\\0,71< P< 0,75 \end{matrix}\right.$
$0,82< C< 0,86\Rightarrow \arccos(\arccos0,82)< \left | A \right |\leqslant 1\Rightarrow 0,91< \left | A \right |\leqslant 1$
$\Rightarrow 0,8281< \cos^2x\leqslant 1$ (5)
$0,71< P< 0,75\Rightarrow \arcsin(\arcsin0,71)< M\leqslant 1\Rightarrow 0,90< M\leqslant 1$
$\Rightarrow 0,8100< \sin^2x\leqslant 1$ (6)
(5),(6) $\Rightarrow \cos^2x+\sin^2x> 1$ (vô lý).Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 29-06-2016 - 07:46
- mimicute54 yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh