Chủ đề này có 7 trả lời

[QUANVU]

Cho $A$ là vành với $2^n+1$ phần tử, ở đó $n$ là một số nguyên dương. Đặt $M=\{k\in\mathbb{Z}|k\geq 2, x^k=x\forall x\in A\}$. Chứng minh rằng hai mệnh đề sau tương đương:

a)$A$ là một trường.

b)$M$ khác rỗng và phần tử nhỏ nhất trong nó là $2^n+1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QUANVU: 06-01-2007 - 10:16

[nemo]

Cho $A$ là vành với $2^n+1$ phần tử, ở đó $n$ là một số nguyên dương. Đặt $M=\{k\in\mathbb{Z}|k\geq 2, x^k=x\forall x\in A\}$. Chứng minh rằng hai mệnh đề sau tương đương:

a)$A$ là một trường.

b)$M$ khác rỗng và phần tử nhỏ nhất trong nó là $2^n+1$.

Nếu dùng định lý Jacobson (Vành R với tính chất với mọi r thuộc R, tồn tại n>1 sao cho r^n=r thì R giao hoán), bài toán không còn phức tạp.

a)->b) gần như hiển nhiên vì nếu min(M)<|card(A)| thì |card(A)|<2^n+1 (!!)

b)->a) Do A đã giao hoán, chỉ cần chứng tỏ A không có ước 0 (mà điều này suy ra từ gt b)) ta sẽ suy ra A có đơn vị (do A là integer ring hữu hạn), và từ A có đơn vị suy tiếp rằng mỗi phần tử của A đều khả nghịch, do đó A là trường.

[ComGeo]

Nếu dùng định lý Jacobson (Vành R với tính chất với mọi r thuộc R, tồn tại n>1 sao cho r^n=r thì R giao hoán), bài toán không còn phức tạp.

b)->a) Do A đã giao hoán, chỉ cần chứng tỏ A không có ước 0 (mà điều này suy ra từ gt b)) ta sẽ suy ra A có đơn vị (do A là integer ring hữu hạn), và từ A có đơn vị suy tiếp rằng mỗi phần tử của A đều khả nghịch, do đó A là trường.

Chẳng cần phải đao to búa lớn như thế đâu: Vì phần tử nhỏ nhất của M là 2^n+1 nên phải có một phần tử a của R sao cho 2^n+1 là số k nhỏ nhất thỏa mãn: a^k=a. Lúc đó {a^i|i=1..k-1} là tập hợp tất cả phần tử khác không của R. That's all !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ComGeo: 02-02-2007 - 12:50

[nemo]

Chẳng cần phải đao to búa lớn như thế đâu: Vì phần tử nhỏ nhất của M là 2^n+1 nên phải có một phần tử a của R sao cho 2^n+1 là số k nhỏ nhất thỏa mãn: a^k=a. Lúc đó {a^i|i=1..k-1} là tập hợp tất cả phần tử khác không của R. That's all !

Tất nhiên, dùng một định lý mạnh như đl Jacobson sẽ làm mất hết ý cái hay của bài toán.

Bạn nói rõ hơn tại sao $a^i \neq a^j$ với $i \neq j$ !?

[ComGeo]

Tất nhiên, dùng một định lý mạnh như đl Jacobson sẽ làm mất hết ý cái hay của bài toán.

Bạn nói rõ hơn tại sao $a^i \neq a^j$ với $i \neq j$ !?

Giả sử $1 \leq i<j \leq k-1 $ sao cho $ a^i = a^j $, nhân cả hai vế cho $ a^{k-j}$ ta có $a^{i+k-j} = a^k=a $. Cái này mâu thuẫn với giả thiết k là nhỏ nhất thỏa mãn $a^k=a$

[noproof]

Có thể "ý nghĩa" bài tập là đưa ra một tiêu chuẩn để xem khi nào một vành có 2^n+1 phần tử là một trường. Nhưng có lẽ trước khi kiểm tra 2 điều kiện a) và b) thì mình nên kiểm tra xem vành này có phải là có 9 phần tử không (chắc là dễ kiểm tra hơn). Nếu vành này không phải là vành có 9 phần tử thì chắc chắn nó không thể là một trường vì phương trình 2^n+1=p^m chỉ có nghiệm là n=3, m=2 (Suy ra từ Catalan's conjecture, cái này đã được chứng minh )

[Ham_Toan]

Có thể "ý nghĩa" bài tập là đưa ra một tiêu chuẩn để xem khi nào một vành có 2^n+1 phần tử là một trường. Nhưng có lẽ trước khi kiểm tra 2 điều kiện a) và b) thì mình nên kiểm tra xem vành này có phải là có 9 phần tử không (chắc là dễ kiểm tra hơn). Nếu vành này không phải là vành có 9 phần tử thì chắc chắn nó không thể là một trường vì phương trình 2^n+1=p^m chỉ có nghiệm là n=3, m=2 (Suy ra từ Catalan's conjecture, cái này đã được chứng minh )

Ghê wa, dung Dinh ly Jacopsen la dao to bua lon, dinh ly Catalan con ghe hon. Nhung co dieu Khang dinh duoc so phan tu cua truong !
Hay. !

[toanhoc]

To Noproof: Bạn có thể nói thêm về Catalan's conjecture cùng chứng minh không ?
Cám ơn