Chủ đề này có 20 trả lời

[boy_KCT21]

Cho hàm đa thức f(x) bậc 2006 có 2006 nghiệm thực phân biệt. Chứng minh rằng tập hợp nghiệm của bất phương trình $ \dfrac{f'(x)}{f(x)}$>2007 là một khoảng có tổng đọ dài nhỏ hơn 1

[quanganhct]

không tài nào edit nó lại được , phiền mọi người đọc lại bài giải .

$ \ f(x) = \prod _{i=1} ^ {2006} (x - a_i) $
Giả sử rằng $ a _i > a _j $ với i > j . Nếu tồn tại 2 số $ a _i , a _{i+1} , a _{i+1} - a _i < 1000 $ thì ta nhân số $ k^{2006} , k >0 $vào sao cho $k(a _{i+1} - a _i) >1000 $ và $ \dfrac {1}{k}(\sum _{i=1} ^{2006} \dfrac{1}{i}) <\dfrac{1}{2000} $
tiến hành đổi biến , kx thành x
Như vậy se được đa thức $ \ f(x) = \prod _{i=1} ^ {2006} (x - a_i) $ với $a _{i+1} - a _i >2 $
$g(x) = \dfrac {f(x)}{f'(x)} = \sum _{i=1} ^{2006} \dfrac {1}{x - a _i} $
g(x) là hàm giảm trên từng khoảng $ (a _i , a _{i+1}) $ .
Dễ thấy các số bên trái a1 không phải là nghiệm . Ta lần lượt xét các khoảng bên phải của các số $ a _i$ .
Xét tại điểm $a _k $ :
đặt $ x = a _k + \varepsilon , 1 > \varepsilon >0 $ , như vậy thì :
$h(x)= (\sum _{i=1} ^{2006} \dfrac {1}{x - a _i} ) - \dfrac{1}{x - a _k} < 1$
càng lớn thì h(x) càng bé ( đang xét giữa 2 số a _k và a _k+1 )
như vậy thì buộc $ \dfrac{1}{x - a _k} > 2006 \Rightarrow \varepsilon < \dfrac{1}{2006}$
có tất cả 2006 số a _k nên tổng các khoảng đó sẽ bé hơn 1 .
Quan trọng là chọn số k lúc đổi biến , càng lớn càng tốt .

hình như lầm nhỉ , như vậy thì f(x) biến dạng mất ...

[QUANVU]

Cho hàm đa thức f(x) bậc 2006 có 2006 nghiệm thực phân biệt. Chứng minh rằng tập hợp nghiệm của bất phương trình $ \dfrac{f'(x)}{f(x)}$>2007 là một khoảng có tổng đọ dài nhỏ hơn 1

Bài trên có nét giống bài này này:

IMO 1988
Problem B1

Show that the set of real numbers x which satisfy the inequality:

1/(x - 1) + 2/(x - 2) + 3/(x - 3) + ... + 70/(x - 70) ≥ 5/4

is a union of disjoint intervals, the sum of whose lengths is 1988.

Solution
Let f(x) = 1/(x - 1) + 2/(x - 2) + 3/(x - 3) + ... + 70/(x - 70). For any integer n, n/(x - n) is strictly monotonically decreasing except at x = n, where it is discontinuous. Hence f(x) is strictly monotonically decreasing except at x = 1, 2, ... , 70. For n = any of 1, 2, ... , 70, n/(x - n) tends to plus infinity as x tends to n from above, whilst the other terms m/(x - m) remain bounded. Hence f(x) tends to plus infinity as x tends to n from above. Similarly, f(x) tends to minus infinity as x tends to n from below. Thus in each of the intervals (n, n+1) for n = 1, ... , 69, f(x) decreases monotonically from plus infinity to minus infinity and hence f(x) = 5/4 has a single foot xn. Also f(x) ≥ 5/4 for x in (n, xn] and f(x) < 5/4 for x in (xn, n+1). If x < 0, then every term is negative and hence f(x) < 0 < 5/4. Finally, as x tends to infinity, every term tends to zero, so f(x) tends to zero. Hence f(x) decreases monotonically from plus infinity to zero over the range [70, infinity]. Hence f(x) = 5/4 has a single root x70 in this range and f(x) >= 5/4 for x in (70, x70] and f(x) < 5/4 for x > x70. Thus we have established that f(x) ≥ 5/4 for x in any of the disjoint intervals (1, x1], (2, x2], ... , (70, x70] and f(x) < 5/4 elsewhere.

The total length of these intervals is (x1 - 1) + ... + (x70 - 70) = (x1 + ... + x70) - (1 + ... + 70). The xi are the roots of the 70th order polynomial obtained from 1/(x - 1) + 2/(x - 2) + 3/(x - 3) + ... + 70/(x - 70) = 5/4 by multiplying both sides by (x - 1) ... (x - 70). The sum of the roots is minus the coefficient of x69 divided by the coefficient of x70. The coefficient of x70 is simply k, and the coefficient of x69 is - (1 + 2 + ... + 70)k - (1 + ... + 70). Hence the sum of the roots is (1 + ... + 70)(1 + k)/k and the total length of the intervals is (1 + ... + 70)/k = 1/2 70·71 4/5 = 28·71 = 1988.

[quanganhct]

Ok , điều chỉnh thêm chút là được . Bây giờ thì ta đã có :
$ \sum _{i=1} ^{2006} \dfrac {1}{x - a _i} > 2007 $ có tổng độ dài khoảng nghiệm nhỏ hơn 1 .
Trở về với đa thức ban đầu , lúc chưa đổi biến , thì điều trên tương đương với :
$ \sum _{i=1} ^{2006} \dfrac {1}{x - a _i} > \dfrac{2007}{k} (1)$
Tổng độ dài khoảng nghiệm của (1) nhỏ hơn 1 .
$ \sum _{i=1} ^{2006} \dfrac {1}{x - a _i} > 2007 (2)$
Mà tập hợp nghiệm của 2 là tập con của tập hợp nghiệm bất phương trình (1) , nên hiển nhiên độ dài đoạn nghiệm sẽ nhỏ hơn 1 .

Không biết đến đây đã đúng hết chưa nhỉ ? Các bạn xem hộ với .

[Sim_Ton]

Bài toán tổng quát cho bậc n đã có trong sách "Toán nâng cao Đại số & Giải tích" của thầy Phan Huy Khải.
Mọi người có thể tìm đọc

[quanganhct]

Quan trọng là giờ có muốn cũng chả có sách mà đọc . Thế mới tức !

cuối cùng cách của mình đúng không vậy ? Không thấy ai góp ý cả .

[QUANVU]

cuối cùng cách của mình đúng không vậy ? Không thấy ai góp ý cả .

Muốn có người kiểm tra thì cậu phải viết rõ ràng chút nữa, bây giờ cậu post lại lời giải lên đây, tôi kiểm tra cho. Không mất thời gian đâu, cậu dùng copy và paste ấy

[quanganhct]

$ \ f(x) = \prod_{i=1}^{2006} (x - a_i) $
Giả sử rằng $ a _i > a _j $ với i > j . Nếu tồn tại 2 số $ a _i , a _{i+1} , a _{i+1} - a _i < 1000 $ thì ta nhân số $ k^{2006} , k >0 $vào sao cho $k(a _{i+1} - a _i) >1000 $ và $ \dfrac {1}{k}(\sum _{i=1}^{2006} \dfrac{1}{i}) <\dfrac{1}{2000} $
tiến hành đổi biến , kx thành x
Như vậy sẽ được đa thức $ \ f(x) = \prod _{i=1} ^ {2006} (x - a_i) $ với $a _{i+1} - a _i >2 $
$g(x) = \dfrac {f(x)}{f'(x)} = \sum _{i=1}^{2006} \dfrac {1}{x - a _i} $
g(x) là hàm giảm trên từng khoảng $ (a _i , a _{i+1}) $ .
Dễ thấy các số bên trái a1 không phải là nghiệm . Ta lần lượt xét các khoảng bên phải của các số $ a _i$ .
Xét tại điểm $a _k $ :
đặt $ x = a _k + \varepsilon , 1 > \varepsilon >0 $ , như vậy thì :
$h(x)= (\sum_{i=1}^{2006} \dfrac {1}{x - a _i} ) - \dfrac{1}{x - a _k} < 1$
càng lớn thì h(x) càng bé ( đang xét giữa 2 số a _k và a _k+1 )
như vậy thì buộc $ \dfrac{1}{x - a _k} > 2006 \Rightarrow \varepsilon < \dfrac{1}{2006}$
có tất cả 2006 số a _k nên tổng các khoảng đó sẽ bé hơn 1 .
Quan trọng là chọn số k lúc đổi biến , càng lớn càng tốt .
Bây giờ thì ta đã có :
$ \sum _{i=1}^{2006} \dfrac {1}{x - a _i} > 2007 $ có tổng độ dài khoảng nghiệm nhỏ hơn 1 .
Trở về với đa thức ban đầu , lúc chưa đổi biến , thì điều trên tương đương với :
$ \sum _{i=1}^{2006} \dfrac {1}{x - a _i} > \dfrac{2007}{k} (1)$
Tổng độ dài khoảng nghiệm của (1) nhỏ hơn 1 .
$ \sum _{i=1}^{2006} \dfrac {1}{x - a _i} > 2007 (2)$
Mà tập hợp nghiệm của 2 là tập con của tập hợp nghiệm bất phương trình (1) , nên hiển nhiên độ dài đoạn nghiệm sẽ nhỏ hơn 1 .

Không biết đến đây đã đúng hết chưa nhỉ ? Các bạn xem hộ với .

[QUANVU]

$h(x)= (\sum_{i=1}^{2006} \dfrac {1}{x - a _i} ) - \dfrac{1}{x - a _k} < 1$

TẠI SAO?

Mỗi bước bạn ko nói rõ mục đích nên bài toán ko phức tạp nhưng đọc cứ lùng bùng cái mắt

[fecma21]

ha ha cái bài này cái tổng của VT là bằng $\ \dfrac{2006}{2007} < 1 $

và đây là bài toán TQ : Cho đa thức f(x) bậc n có n nghiệm phân biệt và số C>0 ;

Tập hợp các giá trị x sao cho $\ \dfrac{f'(x)}{f(x)} > C $

là hợp một số hữu hạn đoạn thẳng có tổng độ dài = $\ \dfrac{n}{C} $

áp dụng cho n=2006 và C =2007 là xong ?

[QUANVU]

ha ha cái bài này cái tổng của VT là bằng $\ \dfrac{2006}{2007} < 1 $

và đây là bài toán TQ : Cho đa thức f(x) bậc n có n nghiệm phân biệt và số C>0 ;

Tập hợp các giá trị x sao cho $\ \dfrac{f'(x)}{f(x)} > C $

là hợp một số hữu hạn đoạn thẳng có tổng độ dài = $\ \dfrac{n}{C} $

áp dụng cho n=2006 và C =2007 là xong ?

Biết rồi ông tướng ạ Nhiều sách có bài này chẳng hạn: Olympic sinh viên của TRần Lưu Cường,...(Đại số)
Mình thấy cái lời giải của bạn ấy khác nên mới kiểm tra, nghe chửa

[quanganhct]

Khoảng cách giữa 2 số a _i , a _i+1 lớn hơn 10000 ( lần trước thiếu 1 số 0 ) , vì vậy :
$\sum_{i=1}^{2006} \dfrac{1}{x - a _i} - \dfrac{1}{x - a _k} < \dfrac{2004}{10000 }+\dfrac{1}{9999}$ vì a _k<x<a _k+1

[QUANVU]

Khoảng cách giữa 2 số a _i , a _i+1 lớn hơn 10000 ( lần trước thiếu 1 số 0 ) , vì vậy :
$\sum_{i=1}^{2006} \dfrac{1}{x - a _i} - \dfrac{1}{x - a _k} < \dfrac{2004}{10000 }+\dfrac{1}{9999}$ vì a _k<x<a _k+1

Rồi, thế mục đích của việc xét h(x) để làm gì? HAY là quan tâm đến VT của bất phương trình đầu trên các khoảng $(a_k,a_{k+1})$?

[quanganhct]

Mục đích xét h(x) là để chứng tỏ rằng điều kiện của là hợp lý .

[QUANVU]

Mục đích xét h(x) là để chứng tỏ rằng điều kiện của là hợp lý .

Cậu nói thế này thì không đúng với tinh thần lời giải của cậu rồi. Theo tôi hiểu thì cậu quan tâm đến khoảng $(a_k,a_{k+1})$ theo cách sau: Với mỗi $x$ thuộc khoảng đó , đặt $x=a_k+ \sigma $ , sau đó đưa ra điều kiện cần của $x$ này nếu muốn là nghiệm của b p t, và cậu thấy rằng khoảng đó có độ dài bé hơn $\dfrac{1}{2006}$, phải vậy không?

[quanganhct]

Đúng là mình quan tâm đến điều đó . Cần phải có giá trị của < 1/2006 , nhưng mà muốn chứng minh điều đó thì phải giới hạn lại đã , vậy là mình đưa ra điều kiện của , và để chứng tỏ điều kiện đó là hợp lý , mình phải xét luôn h(x) để chứng tỏ điều kiện đưa ra là hợp lý .

[QUANVU]

Đúng là mình quan tâm đến điều đó . Cần phải có giá trị của < 1/2006 , nhưng mà muốn chứng minh điều đó thì phải giới hạn lại đã , vậy là mình đưa ra điều kiện của , và để chứng tỏ điều kiện đó là hợp lý , mình phải xét luôn h(x) để chứng tỏ điều kiện đưa ra là hợp lý .

Cách làm như vậy mình thấy không chắc tập nghiệm của b p t là hợp của các khoảng.

[quanganhct]

Sao lại không chắc , rõ ràng là mình đã xét rất kỹ rồi , bên trái a1 , giữa các số a _i , vậy còn thiếu gì nữa ?

[QUANVU]

Sao lại không chắc , rõ ràng là mình đã xét rất kỹ rồi , bên trái a1 , giữa các số a _i , vậy còn thiếu gì nữa ?

Được rồi, ý tôi là tập nghiệm nó rời rạc thì sao, nhưng thôi, điều đó không xảy ra. Bây giờ bạn xem kĩ lại TH tổng quát, cái đoạn chuyển về bài toán $a_{k+1}-a_k>2$ ấy? bên duới cái mẫu phải có $kx$ chứ? Cẩn thận chỗ quan hệ giữa nghiệm của (1) và (2) đấy bạn

[quanganhct]

Có lẽ sơ hở rồi . Phải xem lại .