Chủ đề này có 39 trả lời

[NPKhánh]

Cho $a;b;c;d > 0;a \leq b \leq \ c \leq d ; bd \leq 1 .  CMR :${\frac{1}{1 +a}} + {\frac{1}{1 + b}} +{\frac{1}{1+c}} +{\frac{1}{1+d}} \leq {\frac{4}{ 1+\sqrt[4]{abcd}} }$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 16-08-2015 - 09:29

[QUANVU]

Áp dụng hai lần bổ đề: ''Nếu a,b>0 và $ab\leq 1$ thì $\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}\leq \dfrac{2}{1+\sqrt{ab}}$'' Chứng minh bổ đề này bằng biến đổi tương đương thôi

[TIG Messi]

Quy nạp ta có kết quả tổng quát hơn:
Với n số thì ta có BĐT:

[QUANVU]

Quy nạp ta có kết quả tổng quát hơn:
Với n số thì ta có BĐT:

Ừ, chắc em quy nạp theo các bước:

1)Đúng cho các n là lũy thừa của 2.
2)Đúng cho các số còn lại.

Phải nhỉ?

[TIG Messi]

Vâng, còn nếu bài này nếu dùng định lý dồn biến thì rất ngắn
Có một BĐT này cũng tương tự BĐT trên, có điều đúng với các biến dương tùy ý

Dấu bằng xảy ra khi a=b=1, bài này tổng quát lên ta có kết quả sau:

BĐT này cũng c/m bằng dồn biến là xong

[dtdong91]

Dường như BDT này áp dụng Jensen cũng ra mà
Ta có $ \dfrac{1}{1+a}$ là hàm lõm trên (0,1) (hình như thế )
Nên theo hệ quả Jensen =>dpcm

[NPKhánh]

Bài này thế nào nhỉ ?
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $F(x;y;z) = x^2y^2 + z^2 $thỏa điều kiện 4x + 2y - 3z = 0

[Huyptit]

Cho $a,b,c>0$ , $abc$ $1$và các số tự nhiên m,n thỏa mãn$m$ $n$
CMR $\dfrac{ a^{m}- a^{n} }{b}$ +$\dfrac{ b^{m}- b^{n} }{c}$ +$\dfrac{ c^{m}-c^{n} }{a}$ 0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Huyptit: 05-03-2007 - 11:45

[apollo_1994]

Dễ thấy GTNN của biểu thức là 0 xảy ra khi x=y=z=0.
Lại có 4x+2y=3z nếu cố định z,cho x tiến đến dương vô cùng thì y tiến tới âm vô cùng.Do đó không tồn tại GTLN!

[supermember]

Bài này thế nào nhỉ ?
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $F(x;y;z) = x^2y^2 + z^2 $thỏa điều kiện 4x + 2y - 3z = 0

Dễ thấy GTNN của biểu thức là 0 xảy ra khi x=y=z=0.
Lại có 4x+2y=3z nếu cố định z,cho x tiến đến dương vô cùng thì y tiến tới âm vô cùng.Do đó không tồn tại GTLN!

Nếu thay đề là $x,y,z \geq 0 $ thì sao??

[dtdong91]

Thì cũng thế cả thui
nâng x,y,z lên dương vô cùng thì F cũng tiến tới dương vô cùng ko có max

[Huyptit]

Mọi người thử giải bài này(điều kiện cho tương tự chỉ cho m=2,n=1) tức là chứng minh rằng $( a^{2}-a)/b $ $ 0$
Có thể từ đó nghĩ ra được bài trên chăng?

[ConanKudo]

Cho 10 số thực không âm:$a_1,...,a_5,b_1,...,b_5$
và :$a_i^2+b_i^2=1$(i=1,2,...,5)
và $a_1^2+a_2^2+...+a_5^2=1$
Tìm min:
$\dfrac{b_1+...+b_5}{a_1+...+a_5}$

[NAPOLE]

Cho x>0 hãy tìm giá trị nhỏ nhất của :
$f(x)=x+\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x}}$

======================================
Good luck everybody !

[supermember]

Cho x>0 hãy tìm giá trị nhỏ nhất của :
$f(x)=x+\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x}}$

======================================
Good luck everybody !

Bài này có lẽ dùng chọn điểm rơi: $x^2+\dfrac{1}{x}=x^2+\dfrac{1}{nx}+\dfrac{1}{nx}+...+\dfrac{1}{nx} \geq (n+1)\sqrt[n+1]{\dfrac{1}{n^n.x^{n-2}}}$.Khi đó dùng chọn điểm rơi để tìm min của $x+\sqrt{(n+1)\sqrt[n]{\dfrac{1}{n^n.x^{n-2}}}} $ r?#8220;i dựa vào dấu bằng để tính n.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 23-02-2007 - 12:34

[dtdong91]

Hix dùng như dức thì quá tru bò rùi
Chỉ cần xài Cauchy thui $(n^2+\dfrac{1}{n})(x^2+\dfrac{1}{x}) \geq nx+\dfrac{1}{\sqrt{nx}}$
Rùi sau đó lại dùng tiếp AM-GM là okie
$ (n+\sqrt{n^2+\dfrac{1}{n}})x+\dfrac{1}{\sqrt{2nx}}+\dfrac{1}{\sqrt{2nx}}$
Từ đó giải ra tìm n
Nhanh gọn nhẹ

[Mr Z]

Các sư phụ ơi!!! Giải dùm em bài toán này nha...
Tìm min của $A=x^{2}y + x^{2} - 4xy + 2x + 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zaizai: 24-02-2007 - 00:25

[zaizai]

thử nhẩm cái nào
$A=x^2y+x^2-4xy+2x+1=y(x^2-4x+4)+(x^2+2x+1)-4y =y(x-2)^2+(x+1)^2-4y$
Không có điều kiện cho bài này à Coi bộ nó không dễ thì phải

[Sk8ter-boi]

chắc ko tìm đc quá , cho y=-2 ; dấu của hệ số bậc cao nhất của x là âm ......

[NAPOLE]

À . Bài đó ra min là 2 khi $x=\dfrac{1}{2}$.Tui sử dụng cách giống của ducpbc