Chủ đề này có 13 trả lời

[NPKhánh]

Đây là bài toán đã từng post trên diễn đàn . Tuy nhiên trong diễn đàn có khá nhiều bài viết chưa theo chủ đề. Như vậy gây khó khăn cho thành viên mới . Do vậy tôi mở topic này hi vọng chúng tya chia sẻ những bài toán cơ bản về BĐT

$\Large Cho x;y;z \ge 0 & x + y + z = 1 . CMR: 0 \le xy + yz +zx - 2xyz \le \dfrac{7}{27} $

[vo thanh van]

Đây là bài thi IMO năm 1984 đề như TIG Messi nói đúng rồi đấy.
$x+y+z=1 \Rightarrow yz+xz+xy-2xyz=xy(1-z)+xz(1-y)+yz \geq 0$
C1:Xét $(1-2x)(1-2y)(1-2z)=4(xy+yz+xz)-8xyz-1 $
$ \Rightarrow xy+yz+xz-2xyz= \dfrac{1}{4} (1-2x)(1-2y)(1-2z)+ \dfrac{1}{4} \leq \dfrac{1}{4} . \dfrac{28}{27} = \dfrac{7}{27} $

[TIG Messi]

Bài này còn cách nhanh hơn là dùng định lý P.I.D vì đây là đa thức đối xứng bậc 3 nếu đồng bậc
Còn một cách chỉ dùng kiến thức THCS nữa là đồng bậc 2 vế rồi phá tung ra, hình như thu được Schur, đấy là BĐT này:

BĐT này có khá nhiều cách cm

[dtdong91]

Thêm một cách nữa là dùng pp hàm số
y(1-y)+zx-2yzx $ \dfrac{7}{27}$
Dặt t=zx =>f(t) f(o) hoặc f($ \dfrac{(1-y)^{2}}{4}$)

[vo thanh van]

Áp dụng BDT Schur

[vo thanh van]

Cách khác:Giả sử $z \leq \dfrac{1}{3}$ ,ta có:
$xy+yz+xz=xy(1-2x)+(x+y)z \leq (\dfrac{x+y}{2} )^{2}(1-2z)+(x+y)z= (\dfrac{1-z}{2} )^{2}(1-2z)+(1-2z)z= \dfrac{-2z^{3}+z^{2}+1}{4} $
Hàm số này trên đoạn [0; $\dfrac{1}{3} $] tại $z= \dfrac{1}{3} $ có $max= \dfrac{7}{27} $

[Atlantic]

Bài khác đây
Cho $a,b,c$dương và $a+b+c=1$ Chứng minh rằng: $7( ab+bc+ca)$ $2+ 9abc$

[sherlock_holmes]

BDT tương đương
$7(ab+bc+ca)(a+b+c) \leq 2(a+b+c)^3+9abc$
Bươi nó ra .
Típ theo
a, b, c dương .a+b+c=4
CM $^4\sqrt{a^3}+^4\sqrt{b^3}+^4\sqrt{c^3}$ > 2
Mình sữa đề rồi, xin lỗi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sherlock_holmes: 20-01-2007 - 18:25

[TIG Messi]

BDT tương đương
$7(ab+bc+ca)(a+b+c) \leq 2(a+b+c)^3+9abc$
Bươi nó ra .
Típ theo
a, b, c dương .a+b+c=4
CM $^4\sqrt{a^3}+^4\sqrt{b^3}+^4\sqrt{c^3}$

Chứng minh cái j` hả bạn
Nếu tìm max thì chỉ cần:

[supermember]

Bài khác đây
Cho $a,b,c$dương và $a+b+c=1$ Chứng minh rằng: $7( ab+bc+ca)$ $2+ 9abc$

Bài này sử dụng pp hàm số bậc nhất là được thui:BĐT $ \Leftrightarrow (7-c)ab+7c(1-c)-2 \leq 0 $ với 0$ \leq ab \leq \dfrac{(a+b)^2}{4}=\dfrac{(1-c)^2}{4}$

[NPKhánh]

Đùa thêm một tẹo

Cho x; y; z thay đổi trên [0;1] .CMR: $ 2(x^3 + y^3 +z^3) - (x^2y + y^2 z + z^2x) \le 3 $

[dtdong91]

Đùa thêm một tẹo

Cho x; y; z thay đổi trên [0;1] .CMR: $ 2(x^3 + y^3 +z^3) - (x^2y + y^2 z + z^2x) \le 3 $

Cũng chẳng có gì là khó khăn cả nếu ta biết rằng $ x^{3}-x^{2}y \leq 1-y^{3} $
do $ x^{2} \leq 1+y+y^{2} $

[supermember]

Cũng chẳng có gì là khó khăn cả nếu ta biết rằng $ x^{3}-x^{2}y \leq 1-y^{3} $
do $ x^{2} \leq 1+y+y^{2} $

Nhầm rùi,$ x^{3}-x^{2}y \leq 1-y^{3} $ là do $x,y \leq 1 $ và $x^3 \leq x^2y$ hoặc $y^3 \leq x^2y$

[dtdong91]

Nhầm rùi,$ x^{3}-x^{2}y \leq 1-y^{3} $ là do $x,y \leq 1 $ và $x^3 \leq x^2y$ hoặc $y^3 \leq x^2y$

Hừm mình không thấy mình nhầm cả sự thực thì vấn đề cốt lõi là ở $ x^{2} \leq 1$
CÒn những t/hợp mà Đức thì đương nhiên là hiển nhiên