Đến nội dung

Brocard Point .


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
Khách- PiE_*

Khách- PiE_*
  • Khách
Giới thiệu một số tính chất của điểm Brocard .

Các bạn thân mến , trong topic này mình xin giới thiệu đến các bạn về Điểm Brocard cùng những tính chất thú vị có liên quan một cách sơ lược nhất . Tuy nhiên bài viết chỉ mang tính giới thiệu do vậy các tính chất được đưa ra mà không có chứng minh của chúng . Mình mong rằng các bạn sẽ tham gia trao đổi thêm nhiều hơn đồng thời có thể giới thiệu thêm những tính chất khác mà mình chưa đưa ra được trong bài viết này hoặc tốt hơn nữa là đưa ra những chứng minh cho các bài toán liên quan ! Các bạn hãy tìm hiểu rồi sẽ thấy rất thú vị.! Mỗi tính chất của Điểm Brocard nói chung là khó nhưng nếu các bạn không chứng minh được cũng không sao .Trong quá trình tìm tòi nếu bạn có được một kết quả hoặc ý tưởng gì hay hãy post lên đây, mọi người sẽ đóng góp ý kiến .Biết đâu một tính chất mới sẽ được tìm ra ? Nào chúng ta hãy đến với điểm Brocard !!!

I. Giới thiệu chung . Gì thì gì cũng phải biết cái khái niệm như thế nào cái đã .Bạn nào bít rồi có thể bỏ qua, còn nếu chưa các bạn hãy tìm hiểu , chắc chắn sẽ bị hấp dẫn ngay từ đầu cho xem.

Cho một tam giác ABC bất kì khi đó ta đều có cách xác định hai điểm Brocard mà ta gọi là Điểm Brocard thứ nhất ( Firt Brocard Point ) và Điểm Brocard thứ hai (Second Brocard Point ) . Kí hiệu Điểm Brocard thứ nhất là $ Z_1 $ và Điểm Brocard thứ hai là $ Z_2 $ .

* Điểm Brocard thứ nhất là một điểm xác định ở miền trong tam giác ABC sao cho các góc $Z_1AB$,$Z_1BC$ và $Z_1CA$ bằng nhau và nhận giá trị là $ \omega_1 $ .

* Điểm Brocard thứ hai là một điểm xác định ở miền trong tam giác ABC sao cho các góc $Z_1AC$,$Z_1CB$ và $Z_1BA$ bằng nhau và nhận giá trị là $ \omega_2 $ .


Điểm Brocard được công bố bởi Henri Brocard , một sĩ quan quân đội Pháp , vào năm 1825 . Mặc dù vậy nó đã được tìm ra trước đó bởi nhà Hình học Jacobi vào năm 1816 . Hai điểm này có những nét tương đồng nhưng lại có sự khác biệt nhất định và điều đó đã tạo nên những tính chẩt rất hay của chúng . Ta sẽ hiểu hơn về điều này trong phần tiếp theo đây .Nhưng trước hết các bạn hãy trả lời câu hỏi sau: " Làm thế nào để dựng được điểm Brocard ? ". Hãy suy nghĩ về điều này , và đó là điều đầu tiên chúng ta cần biết về điểm brocard .

II.Những tính chất cơ bản .


Tính chất 1. Hai góc $ \omega_1 $ và $ \omega_2 $ bằng nhau , và được gọi là Góc Brocard ( Brocard angle ).

Đặt $ \omega = \omega_1 =\omega_2 $ .Khi đó ta có :

$ \omega = \widehat{Z_1AB}=\widehat{Z_1BC}=\widehat{Z_1CA} $
$ = \widehat{Z_2AC}=\widehat{Z_2CB}=\widehat{Z_2BA} $

Tính chất sau đây khá thú vị , nó được suy ngay ra từ tính chất trên .

Tính chất 2. Hai điểm $ Z_1 $ và $ Z_2 $ là hai điểm đẳng giác ( isogonal conjugates )

Sau đây là hai tính chất cũng hay nhưng khó chứng minh hơn .

Tính chất 3. Hai điểm $ Z_1 $ và $ Z_2 $ thỏa mãn :

(i) $OZ_1 = OZ_2 = R. \sqrt{\dfrac{a^4+b^4+c^4}{a^2.b^2+a^2.c^2+b^2.c^2}-1 } $,

(ii) $ \widehat{Z_1OZ_2} = 2.\omega $

Trong đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp


Tính chất 4. Gọi G là trọng tâm và K là điểm Lemoin của tam giác ABC . Khi đó ba đường $ AZ_1 $ ,$ BG $ và $ CK$ đồng quy tại $ P $ ; ba đường $ AZ_2 $ ,$ BG $ và $ CK$ đồng quy tại $ Q $ . Hơn nữa P và Q là hai điểm đẳng giác . .

Ở đây ta chú ý đến điểm K . Điểm này là điểm đẳng giác của G và có nhiều tên gọi như Điểm Lemoin (Lemoin Point ) ( Trong ngôn ngữ tiếng Anh và tiếng Pháp ) , Điểm Grebe ( trong ngôn ngữ Đức ) . Cũng do tính chất xác định trên mà K còn có cái tên là Symmedian point.

Trên đây là một số tính chất cơ bản của điểm Brocard . ? Và còn có thêm tính chất gì nữa ??? Hãy tìm hiểu rồi các bạn sẽ thấy say mê ngay thôi !!!

Phần sau đây đi sâu hơn vào một yếu tố có liên quan đến Điểm Brocard không kém phần thú vị , đó là :

Góc Brocard .

Ta có một số cách xác định góc này , những công thức đầu tiên chứng minh không quá phức tạp :

$ \cot{\omega} = \cot{A}+\cot{B}+\cot{C} .$ (1)

$ \cos^2{\omega}=\cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}$.(2)

$ \dfrac{1}{\sin^2{\omega}}= \dfrac{1}{\sin^2{A}}+\dfrac{1}{\sin^2{B}}+\dfrac{1}{\sin^2{C}}$ (3)

$ \sin{\omega}=\dfrac{2.S}{\sqrt{a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2}} $ (4)

$ \sin^2{\omega}=\dfrac{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)}{a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2}$ (5)

$ \sin^3{\omega}=\sin{(A-\omega)}.\sin{(B-\omega)}.\sin{(C-\omega)} $ (6)

Nhưng những bất đẳng thức đẹp mắt của nó lại quá khó để chứng minh :

$ \omega \leq \dfrac{1}{6}.\pi $ (7)

$ 8 \omega^3 <A.B.C $ (8)

$ \omega^3 \leq (A-\omega).(B-\omega).(C-\omega).$ (9)


AI có thể chứng minh được những bất đẳng thức này thì quả là một điều tuyệt vời và mình xin bái phục !!!

Do vấn đề thời gian cũng như năng lực bản thân mình xin dừng bài viết tại đây . Nhưng mình mong rằng sau khi đọc bài viết nhỏ này các bạn đã có thêm một chút xíu gì đó làm tăng thêm sự hiểu biết của mình .Cuối cùng ,thay cho lời kết , chúc các bạn càng ngày càng yêu Toán hơn, đặc biệt là với bộ môn Hinh Hoc .

Hãy tham gia và đóng góp ý kiến cho bài viết này !!![/color]

Thân .

PiE.

-------------------------------------------------------------------------

Bài viết này sử dụng tài liệu tại trang web www.mathworld.wolfram.com .

[color="#FF0000"]Nếu như bài viết có gì sai sót mong các bạn thứ lỗi và góp ý
.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PiE: 22-01-2007 - 17:07


#2
hieuchuoi@

hieuchuoi@

    Thành viên lười nhác

  • Thành viên
  • 418 Bài viết
Mình xin tiếp tục:
Tính chất 5:
- Tam giác hình chiếu của 2 điểm Brocard đồng dạng với tam giác ABC.
(Về tam giác hình chiếu, xin các bạn xem trong topic Các định nghĩa, định lý... trong box này)
- Diện tích 2 tam giác hình chiếu của 2 điểm Brocard là bằng nhau
Hệ quả 5.1: Khoảng cách từ O tới 2 điểm Brocard là bằng nhau. (Như trong bài của bạn PiE đã viết)
Hệ quả này dễ dàng suy ra từ công thức tính diện tích tam giác hình chiếu.
Tính chất 6. 2 điểm Brocard, điểm Lemoine và tâm đường tròn ngoại tiếp của 1 tam giác đồng viên.
Việc chứng minh T.c 5, 5 và hệ quả xin dành cho các bạn, nếu không ai giải thì mình post sau.
Một BDT hay về điểm Brocard. (kí hiệu P chung cho cả 2 điểm Brocard)
$(PA+PB+PC)^2 \leq a^2+b^2+c^2$

#3
Khách- PiE_*

Khách- PiE_*
  • Khách
Thanks hieuchuoi@ rất nhiều .Cảm ơn bạn đã tham gia !!!
Bây giờ mình xin giới thiệu thêm những tính chất nữa rất hay. Nhưng trước tiên mình muốn đưa tới các bạn một số khái niệm mới có liên quan.


Tam giác Brocard .(Brocard Triangle )

Ở phần này mình xin giới thiệu đến hai khái niệm mới : Tam giác Brocard . Cũng như với Điểm Brocard , mỗi một tam giác bất kì đều xác định hai tam giác Brocard tương ứng của nó .Hai tam giác này gọi là tam giác Brocard thú nhất và Tam giác Brocard thứ hai .

Tam giác Brocard thứ nhất .(Firt Brocard Triangle ).
Cho tam giác $ A_1A_2A_3 $ , $Z_1 $ và $ Z_2 $ là hai điểm Brocard của tam giác này . Gọi $ B_1 $ là điểm gặp nhau của các tia $ A_2Z_1 $ và $ A_3Z_2 $ ; $ B_2 $ là điểm gặp nhau của các tia $ A_3Z_1 $ và $ A_1Z_2 $ ; $ B_3 $ là điểm gặp nhau của các tia $ A_1Z_1 $ và $ A_2Z_2 $ . Tam giác $ B_1B_2B_3 $ được gọi là Tam giác Brocard thứ nhất (Firt Brocard triangle ) .

Tam giác Brocard thứ hai .(Second Brocard triangle )
Cho tam giác $ A_1A_2A_3$ , $Z_1 $ và $ Z_2 $ là hai điểm Brocard của tam giác này . Gọi $ c_1 $ ,$ c_2$ ,$ c_3 $ lần lượt là các đường tròn đi qua các cặp đỉnh $ A_2 $ và $ A_3 $ , $ A_3 $ và $ A_1 $, $ A_1 $ và $ A_2 $ và chúng cùng đi qua Điểm Brocard thứ nhất $ Z_1 $ .Gọi $ c_1' $ ,$ c_2'$ ,$ c_3' $ lần lượt là các đường tròn đi qua các cặp đỉnh $ A_3 $ và $ A_1 $ , $ A_1 $ và $ A_2 $, $ A_2 $ và $ A_3 $ và chúng cùng đi qua Điểm Brocard thứ hai $ Z_2 $ . Hai đường tròn $ c_1$ và $ c_1' $ giao nhau tại $ A_3 $ và $ C_1 $ ,hai đường tròn $ c_2$ và $ c_2' $ giao nhau tại $ A_2 $ và $ C_2 $ ,hai đường tròn $ c_3$ và $ c_3' $ giao nhau tại $ A_3 $ và $ C_3 $ .Tam giác $ C_1C_2C_3 $ được xác định như trên được gọi là Tam giác Brocard thứ hai .(Second Brocard triangle )

Với các Định nghĩa như trên chúng ta có thêm một số tính chất sau:

Tính chất 7 .Tam giác Brocard thứ nhất và Tam giác Brocard thứ hai của một tam giác đồng dạng .

Tính chất 8.Tam giác $ A_1,A_2A_3 $ có Tam giác Brocard thứ nhất $ B_1B_2B_3 $ và Tam giác Brocard thứ hai $ C_1C_2C_3 $ thỏa mãn $ B_1C_1 $ , $ B_2C_2 $ và $ B_3C_3 $ cùng đi qua Trọng tâm $ G $ của tam giác đó .

Trước khi nêu tính chất tiếp theo mình muốn các bạn đến với khái niệm của Đường tròn Brocard .

Đường tròn Brocard .(Brocard Circle )

Đường tròn đi qua hai điểm Brocard của một tam giác , điểm Lemoin và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó được goi là Đường tròn Brocard .(Brocard circle ) của tam giác đó .

Nếu tam giác có ba cạnh a , b, c thì Bán kính đường tròn Brocard của tam giác đó cho bởi công thức :

$ R_B=\dfrac{abc.\sqrt{a^4+b^4+c^4-a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2}}{(a^2+b^2+c^2)\sqrt{(a+b+c).(-a+b+c).(a-b+c).(a+b-c)}}=\dfrac{R.\sqrt{1-4sin^2{\omega}}}{2.cos{\omega}}$

Trong đó $ R $ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác trên và $ \omega $ là Góc Brocard . ,

Một số tính chất có liên quan đến đường tròn Brocard .

Tính chất 9 . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp , K là điểm Lemoin của một tam giác và $ Z_1Z_2 $ là hai điểm Brocard của tam giác đó . Khi đó $ KO$ chính là Đường kính của Đường tròn Brocard . Hơn nữa , $Z_1Z_2 $ vuông góc với $ KO $ .

KO được gọi là Đường thẳng Brocard .( Line Brocard )

Tính chất 10. Đường tròn Brocard cũng chính là đường tròn ngoại tiếp hai tam giác Tam giác Brocard thứ nhất và Tam giác Brocard thứ hai .

Tính chất 11.Cho tam giác $ A_1,A_2A_3 $ có Tam giác Brocard thứ hai là $ C_1C_2C_3 $ .Khi đó $ C_1 $,$ C_2 $,$ C_3 $ tương ứng là giao điểm của $ A_1K $ , $ A_2K $ , $ A_3K $ với Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ A_1,A_2A_3 $.Trong đó $ K $ là Điểm Lemoin của tam giác $ A_1,A_2A_3 $ .

Tính chất 12.Cho tam giác $ A_1,A_2A_3 $ có Tam giác Brocard thứ hai là $ C_1C_2C_3 $ và $ K $ là điểm Lemoin của tam giác này . $ P_1 $,$ P_2 $,$ P_3 $ tương ứng là giao điểm của $ A_1K $ , $ A_2K $ , $ A_3K $ với Đường tròn ngoại tiếp tam giác .Khi đó $ C_1 $,$ C_2 $,$ C_3 $ tương ứng là trung điểm của các đoạn $ A_1P_1 $, $ A_2P_2 $ và $ A_3P_3 $ .


Chúc các bạn vui vẻ .
PiE.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PiE: 15-01-2007 - 16:02


#4
manutd

manutd

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 609 Bài viết
MU góp ý một chút là Các bạn nên gửi bài kèm theo hình vẽ để giúp người đọc hiểu dễ dàng hơn. Bài này đọc xong thì xóa đi cũng được. :D
không thể online nhiều được nữa, hẹn gặp lại diễn đàn trong một ngày gần đây

#5
Khách- PiE_*

Khách- PiE_*
  • Khách
Bác Manutd em cũng muốn vẽ hình lắm đấy nhưng mà chẳng biết làm sao cả , ai đưa hộ lên thì tốt quá..


Chứng minh rằng $ \cot{\omega_1}= \cot{A}+ \cot{B} +\cot{C} $ .

Thật vậy : Gọi $ O_c$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ AZ_1B $ và $ R_c $ là bán kính đường tròn đó .
ta có $ \cot{\omega_1}= \dfrac{\cos{\omega_1}}{\sin{\omega_1}} =\dfrac{AZ_1^2+AB^2-Z_1B^2}{2.AZ_1.AB. \dfrac{Z_1B}{2R_c}} = \dfrac{ AZ_1^2+AB^2-Z_1B^2 }{ 2.AZ_1.Z_1B.\sin{AZ_1B}} = \dfrac{AZ_1^2+AB^2-Z_1B^2}{2.AZ_1.Z_1B.\sin{B}} = \dfrac{AZ_1^2+AB^2-BZ_1^2}{4.[Z_1AB]}$
ở đây $ [Z_1AB] $ là diện tích tam giác Z_1AB .
Tương tự ta có
$ \cot{\omega_1}= \dfrac{AZ_1^2+AB^2-BZ_1^2}{4.[Z_1AB]}= \dfrac{BZ_1^2+BC^2-CZ_1^2}{4.[Z_1BC]}= \dfrac{CZ_1^2+CA^2-AZ_1^2}{4.[Z_1AB]} = \dfrac{AB^2+BC^2+CA^2}{4.[ABC]} $

Cũng như trên ta có : $ \cot{\omega_2}= \dfrac{AB^2+BC^2+CA^2}{4.[ABC]} $

Từ đó suy ra $ \omega_1=\omega_2 $


Tiếp theo mình nêu lên một đẳng thức khá đẹp mới tìm được .

Chứng minh rằng :

$c.ZA^2+a.ZB^2+b.ZC^2+(a+c) .ZA.ZB+(b+a) .ZB.ZC+(c+b) .ZC.ZA=b^2.c+c^2.a+a^2.b$

Trong đó , Z là Điểm Brocard thứ nhất , thỏa mãn :$ \widehat{ZAB}=\widehat{ZBC}=\widehat{ZCA} $


Gọi $ X_a $ là giao điểm của tia AZ với đường tròn ngoại tiếp tam giác ZBC , đường tròn này tiếp xúc với AC tại C .
Ta dễ thấy rằng hai tam giác $BCX_a$ và $ ABC $ đồng dạng .
Suy ra :
$ \dfrac{X_aC}{BC}= \dfrac{BC}{AB} \Rightarrow X_aC=\dfrac{a^2}{c} $ .(1)
$ \dfrac{X_aB}{BC}= \dfrac{CA}{AB} \Rightarrow X_aB=\dfrac{a.b}{c} $ .(2)
Do tứ giác ZBX_aC nội tiếp nên theo ĐỊnh lí Ptoleme ta có (kết hợp với (1) và (2) ):
$ ZX_a.BC=ZB.X_aC+ZC.X_aB \Rightarrow ZX_a= \dfrac{ZB.\dfrac{a^2}{c}+ZC.\dfrac{a.b}{c}}{a}\Rightarrow ZX_a= \dfrac{a.ZB+b.ZC}{c}$ (3)
Bây giờ ta thấy rằng hai tam giác $ AZC $ và $ ACX_a$ đồng dạng do đó :
$ \dfrac{AX_a}{AC}=\dfrac{AC}{ZA} \Rightarrow AX_a=\dfrac{b^2}{ZA}$(4)
Từ (3) và(4) ta suy ra :
$ \dfrac{b^2}{ZA}=ZA+ZX_a=ZA+\dfrac{a.ZB+b.ZC}{c} \Rightarrow b^2.c=c.ZA^2+a.ZA.ZB+b.ZA.ZC $
Vậy :$ c.ZA^2+a.ZA.ZB+b.ZA.ZC =b^2.c $
Tương tự :
$ a.ZB^2+b.ZB.ZC+c.ZB.ZA =c^2.a $
$ b.ZC^2+c.ZC.ZA+a.ZC.ZB =a^2.b $

Cộng ba phương trình trên ta suy ra :
$ c.ZA^2+a.ZB^2+b.ZC^2+(a+c) .ZA.ZB+(b+a) .ZB.ZC+(c+b) .ZC.ZA=b^2.c+c^2.a+a^2.b$
Đpcm .
.

PiE.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PiE: 15-01-2007 - 00:28


#6
QHHH

QHHH

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 98 Bài viết
Cho $\Omega_1$ là điểm Brocard thứ 1 thì đường tròn ngoại tiếp $\Omega_1BC$ sẽ tiếp xúc AB tại B, điều này trông có vẻ tầm thường xong rất ý nghĩa vì như vậy $\Omega_1$ là điểm đồng quy của 3 đường tròn qua BC tx với AB tại B, qua CA tx với BC tại C qua AB tx CA tại A, đây là cơ sở cho việc mở rộng điểm Brocard cho đa giác, có bạn nào biết về điểm Brocrad cho tứ giác hãy post thử cái.

#7
Khách- PiE_*

Khách- PiE_*
  • Khách
Lâu lâu à mà lâu lắm rồi mới có một bạn trả lời topic này . Hichic . PiE cũng bận nên không có thời gian nghiên cứu thêm . Tạ lỗi cùng các bạn .
Hướng làm mở rộng của QHH mình đã thử nghĩ rồi . Không phải tứ giác nào cũng có Điểm Brocard như thế đâu , PiE đã thử tìm điều kiện cho tứ giác để có tính chất đó nhưng kì thực chẳng đi đến đâu cả . Bạn nào có kết quả gì thì nhào vô đi nào . Đó cũng là một bài toán ý nghĩa đấy chứ nhỉ ?

#8
QHHH

QHHH

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 98 Bài viết
Tất nhiên là phải cần đk của tứ giác chứ, một bài toán tương tự cho đa giác đã có và được giải quyết ở 1 bài báo mà mình không nhớ nổi xong tư tưởng của nó khá đơn giản ta có thể xét các tia tạo với cạnh các góc= nhau =$\omega$ các tia này sẽ tạo thành 1 tam giác $\Delta(\omega)$ Brocrad point là TH $\Delta(0)$, việc khảo sát diện tích tam giác này theo $\omega$ là việc làm thú vị, ta có thể tiếp tục đ/n như vậy với bộ ba đt Ceva chúng sẽ lần lượt tạo với các cạnh góc $\omega_a,\omega_b,\omega_c$ ta đã biết đk đồng quy có thể viết dưới dạng sin và nó sẽ làm hàm ba biến $f(\omega_a,\omega_b,\omega_c)$ công việc của ta là khảo sát hàm và cm nó= 1, ta có thể làm tương tự cho đa giác, đây là mình nói ý tưởng thôi còn công việc cụ thể là đã có bài báo viết rồi, và đ/k có điểm Brocard cho đa giác là có rồi nhưng nói chung là phức tạp.

Hôm nay đọc qua thấy nhiều người chê toán sơ cấp quá, ngay cả mấy đứa bạn mình cũng đang học Đh thôi mà cũng khinh toán sơ cấp, nói chung toán sơ cấp chỉ có đs là đúng sơ cấp thôi còn những tư tưởng của hh hoàn toàn khác càng học nhiều toán cc mình càng thấy tư tưởng về hh là quá cần và quá đẹp, nói chung là để hiểu được cái hay của một bài hh cả cao cấp lẫn sơ cấp thì không phải ai học qua cũng phán được.

#9
QHHH

QHHH

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 98 Bài viết
Hôm qua mình xin lại được đứa bạn bài báo ấy nên attach lên đây, nói chung ngôn ngữ không sơ cấp lắm nhưng THPT đọc hiểu được, bạn nào có thời gian dịch TV và post lại lên nhé!

File gửi kèm



#10
lyxuansang91

lyxuansang91

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 145 Bài viết

Hôm qua mình xin lại được đứa bạn bài báo ấy nên attach lên đây, nói chung ngôn ngữ không sơ cấp lắm nhưng THPT đọc hiểu được, bạn nào có thời gian dịch TV và post lại lên nhé!

Bạn ơi bạn có thể viết rõ ở đây được ko bởi vì diễn đàn đang trong tình trạng ko download được . Nếu được thì cho mình link xin cảm ơn .Thanks nhiều
<span style='color: #FF8C00'><strong class='bbc'><em class='bbc'><span style='font-size: 36px;'>Em muốn học giỏi toán</span></em></strong></span>




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh