Các bạn thân mến , trong topic này mình xin giới thiệu đến các bạn về Điểm Brocard cùng những tính chất thú vị có liên quan một cách sơ lược nhất . Tuy nhiên bài viết chỉ mang tính giới thiệu do vậy các tính chất được đưa ra mà không có chứng minh của chúng . Mình mong rằng các bạn sẽ tham gia trao đổi thêm nhiều hơn đồng thời có thể giới thiệu thêm những tính chất khác mà mình chưa đưa ra được trong bài viết này hoặc tốt hơn nữa là đưa ra những chứng minh cho các bài toán liên quan ! Các bạn hãy tìm hiểu rồi sẽ thấy rất thú vị.! Mỗi tính chất của Điểm Brocard nói chung là khó nhưng nếu các bạn không chứng minh được cũng không sao .Trong quá trình tìm tòi nếu bạn có được một kết quả hoặc ý tưởng gì hay hãy post lên đây, mọi người sẽ đóng góp ý kiến .Biết đâu một tính chất mới sẽ được tìm ra ? Nào chúng ta hãy đến với điểm Brocard !!!
I. Giới thiệu chung . Gì thì gì cũng phải biết cái khái niệm như thế nào cái đã .Bạn nào bít rồi có thể bỏ qua, còn nếu chưa các bạn hãy tìm hiểu , chắc chắn sẽ bị hấp dẫn ngay từ đầu cho xem.
Cho một tam giác ABC bất kì khi đó ta đều có cách xác định hai điểm Brocard mà ta gọi là Điểm Brocard thứ nhất ( Firt Brocard Point ) và Điểm Brocard thứ hai (Second Brocard Point ) . Kí hiệu Điểm Brocard thứ nhất là $ Z_1 $ và Điểm Brocard thứ hai là $ Z_2 $ .
* Điểm Brocard thứ nhất là một điểm xác định ở miền trong tam giác ABC sao cho các góc $Z_1AB$,$Z_1BC$ và $Z_1CA$ bằng nhau và nhận giá trị là $ \omega_1 $ .
* Điểm Brocard thứ hai là một điểm xác định ở miền trong tam giác ABC sao cho các góc $Z_1AC$,$Z_1CB$ và $Z_1BA$ bằng nhau và nhận giá trị là $ \omega_2 $ .
Điểm Brocard được công bố bởi Henri Brocard , một sĩ quan quân đội Pháp , vào năm 1825 . Mặc dù vậy nó đã được tìm ra trước đó bởi nhà Hình học Jacobi vào năm 1816 . Hai điểm này có những nét tương đồng nhưng lại có sự khác biệt nhất định và điều đó đã tạo nên những tính chẩt rất hay của chúng . Ta sẽ hiểu hơn về điều này trong phần tiếp theo đây .Nhưng trước hết các bạn hãy trả lời câu hỏi sau: " Làm thế nào để dựng được điểm Brocard ? ". Hãy suy nghĩ về điều này , và đó là điều đầu tiên chúng ta cần biết về điểm brocard .
II.Những tính chất cơ bản .
Tính chất 1. Hai góc $ \omega_1 $ và $ \omega_2 $ bằng nhau , và được gọi là Góc Brocard ( Brocard angle ).
Đặt $ \omega = \omega_1 =\omega_2 $ .Khi đó ta có :
$ \omega = \widehat{Z_1AB}=\widehat{Z_1BC}=\widehat{Z_1CA} $
$ = \widehat{Z_2AC}=\widehat{Z_2CB}=\widehat{Z_2BA} $
Tính chất sau đây khá thú vị , nó được suy ngay ra từ tính chất trên .
Tính chất 2. Hai điểm $ Z_1 $ và $ Z_2 $ là hai điểm đẳng giác ( isogonal conjugates )
Sau đây là hai tính chất cũng hay nhưng khó chứng minh hơn .
Tính chất 3. Hai điểm $ Z_1 $ và $ Z_2 $ thỏa mãn :
(i) $OZ_1 = OZ_2 = R. \sqrt{\dfrac{a^4+b^4+c^4}{a^2.b^2+a^2.c^2+b^2.c^2}-1 } $,
(ii) $ \widehat{Z_1OZ_2} = 2.\omega $
Trong đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp
Tính chất 4. Gọi G là trọng tâm và K là điểm Lemoin của tam giác ABC . Khi đó ba đường $ AZ_1 $ ,$ BG $ và $ CK$ đồng quy tại $ P $ ; ba đường $ AZ_2 $ ,$ BG $ và $ CK$ đồng quy tại $ Q $ . Hơn nữa P và Q là hai điểm đẳng giác . .
Ở đây ta chú ý đến điểm K . Điểm này là điểm đẳng giác của G và có nhiều tên gọi như Điểm Lemoin (Lemoin Point ) ( Trong ngôn ngữ tiếng Anh và tiếng Pháp ) , Điểm Grebe ( trong ngôn ngữ Đức ) . Cũng do tính chất xác định trên mà K còn có cái tên là Symmedian point.
Trên đây là một số tính chất cơ bản của điểm Brocard . ? Và còn có thêm tính chất gì nữa ??? Hãy tìm hiểu rồi các bạn sẽ thấy say mê ngay thôi !!!
Phần sau đây đi sâu hơn vào một yếu tố có liên quan đến Điểm Brocard không kém phần thú vị , đó là :
Góc Brocard .
Ta có một số cách xác định góc này , những công thức đầu tiên chứng minh không quá phức tạp :
$ \cot{\omega} = \cot{A}+\cot{B}+\cot{C} .$ (1)
$ \cos^2{\omega}=\cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}$.(2)
$ \dfrac{1}{\sin^2{\omega}}= \dfrac{1}{\sin^2{A}}+\dfrac{1}{\sin^2{B}}+\dfrac{1}{\sin^2{C}}$ (3)
$ \sin{\omega}=\dfrac{2.S}{\sqrt{a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2}} $ (4)
$ \sin^2{\omega}=\dfrac{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)}{a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2}$ (5)
$ \sin^3{\omega}=\sin{(A-\omega)}.\sin{(B-\omega)}.\sin{(C-\omega)} $ (6)
Nhưng những bất đẳng thức đẹp mắt của nó lại quá khó để chứng minh :
$ \omega \leq \dfrac{1}{6}.\pi $ (7)
$ 8 \omega^3 <A.B.C $ (8)
$ \omega^3 \leq (A-\omega).(B-\omega).(C-\omega).$ (9)
AI có thể chứng minh được những bất đẳng thức này thì quả là một điều tuyệt vời và mình xin bái phục !!!
Do vấn đề thời gian cũng như năng lực bản thân mình xin dừng bài viết tại đây . Nhưng mình mong rằng sau khi đọc bài viết nhỏ này các bạn đã có thêm một chút xíu gì đó làm tăng thêm sự hiểu biết của mình .Cuối cùng ,thay cho lời kết , chúc các bạn càng ngày càng yêu Toán hơn, đặc biệt là với bộ môn Hinh Hoc .
Hãy tham gia và đóng góp ý kiến cho bài viết này !!![/color]
Thân .
PiE.
-------------------------------------------------------------------------
Bài viết này sử dụng tài liệu tại trang web www.mathworld.wolfram.com .
[color="#FF0000"]Nếu như bài viết có gì sai sót mong các bạn thứ lỗi và góp ý .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PiE: 22-01-2007 - 17:07