Bài này hay thật, cách giải của tôi hơi có phần mò mẫm, bạn tự tìm hiểu tại sao nhé.
Gọi H,I,K là chân các đường pgiác A, trung tuyến B, đường cao C.
Theo định lý Xêva ta có : AK/KB * BH/HC = 1 suy ra KB/AK = BH/HC = c/b.
Suy ra ngay : AK = bc/(b+c) do AK+KB=c.
Vậy cosA=CK/CA=c/(b+c). Mà cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc
Suy ra :c/(b+c)=(b^2+c^2-a^2)/2bc => 2bc^2= (b+c).(b^2+c^2-a^2). (1)
Vì góc C nhọn nên cosC>0 nên c^2<a^2+b^2 => c^2-a^2<b^2 => b^2 + c^2-a^2<2b^2
=> (b+c)(b^2 + c^2-a^2)<2b^2(b+c) (2)
Từ (1),(2) suy ra : 2bc^2<2b^2(b+c) hay c^2<b^2+bc. (3)
Lại có (cosA)^2+cosA = c^2/(b+c)^2 +c/(b+c) = (2c^2+bc)/(b^2+2bc+c^2)
Từ (3) ta có : (2c^2+bc) < (b^2+2bc+c^2) suy ra (cosA)^2+cosA < 1 hay (cosA)^2 + cosA - 1<0
Giải bất pt tam thức bậc 2 ở trên ta có ngay cosA < (căn(5)-1)/2 .