Đ�#8221;I BIẾN ĐỂ THIẾT LẬP BĐT MỚI
Có lẽ trong quãng đời học sinh bạn đã giải rất nhiều bài toán, và trong đó hẳn cũng có những bài rất khó. Tuy nhiên, có khi nào bạn tự hỏi: tại sao mình không tự đặt ra các bài toán, để ìđố” bạn bè chẳng hạn? Nếu thắc mắc đó xuất hiện thì rất đáng mừng, đó là biểu hiện ban đầu của sự sáng tạo. Bài viết này có ý định giúp các bạn hình dung được phần nào lời giải đáp cho thắc mắc trên.Thật ra, hầu như đa phần những bài toán mà chúng ta đã gặp đều không phải là ìtừ trên trời rơi xuống”, mà thường là người ta từ một vài ý tưởng nào đó, thêm vào ít nhiều sáng tạo đặt ra. Việc các bạn có thói quen lật đi lật lại vấn đề, suy nghĩ mở rộng, đặt ra bài toán mới … sẽ giúp bạn thu được những điều quan trọng hơn lời giải rất nhiều: đó là nhận ra đâu là những kĩ thuật chính (thay vì học thuộc hết các chi tiết một cách vô nghĩa), qua đó giải thích được ìvì sao giải như vậy”, và cao hơn là ìvì sao nghĩ ra bài toán”.
Chúng ta bắt đầu với:
Bài toán 1: Cho $a,b,c>0$ .CMR: $(a+b)(b+c)(c+a)\ge{8abc}$
Đây là một bài toán rất quen thuộc nên xin không nêu lời giải ở đây. Bây giờ ta sẽ đặt bài toán khác từ bài toán quen thuộc trên.
Đặt $x=\dfrac{a}{b+c},y=\dfrac{b}{c+a},z=\dfrac{c}{a+b}$, thì BĐT ở đề bài là: $1\ge{8xyz}$. Tiếp theo, ta tìm cách thiết lập một hệ thức liên hệ giữa x,y,z . Có lẽ các bạn đều dễ dàng tìm ra:
$x+1=\dfrac{a+b+c}{b+c}$, hay: $\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{b+c}{a+b+c}$
suy ra: $\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+y}+\dfrac{1}{1+z}=2$.
Như vậy, chúng ta thu được:
Bài toán 2: Cho $x,y,z>0,\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+y}+\dfrac{1}{1+z}=2$.
CMR: $8xyz\le{1}$.
Không mấy khó khăn, ta có thể phát biểu bài toán tổng quát:
Bài toán 3: Cho $x,y,z>0$. Áp dụng bài toán 1 với $a=y+z,b=z+x,c=x+y$, ta có:$(S+x)(S+y)(S+z)\ge{8(S-x)(S-y)(S-z)}$ với $S=x+y+z$.
Mặt khác, bài toán 1 cho ta: $(S-x)(S-y)(S-z)\ge{8xyz}$, nên:
$(S+x)(S+y)(S+z)\ge{8^2xyz}$.
Kết hợp lại ta được:
Bài toán 4: $S$, ta cho $S\le{1}$ và thu được:
Bài toán 5: Cho $x+y+z\le{1}$. CMR:
$y,z$, thì BĐT cần chứng minh trở thành: $x+y+z\ge{1}$. Bây giờ ta tìm mối liên hệ giữa $x,y,z$. Con đường dưới đây có lẽ ai cũng tìm ra:
$x^2=\dfrac{a^2}{a^2+8bc}$, hay: $\dfrac{b^2}{ca}$ là bằng 1, nên: $x,y,z>0$, $x+y+z\ge{1}$.
Rõ ràng đây là một phát biểu theo dạng ìngược” của bài toán 5.
Đây là lời giải đầu tiên của tôi cho bài toán 6, và nó đã làm tôi đặc biệt thú vị. Lúc đó, tôi đã nghĩ rằng đây chính là con đường đặt ra bài toán của tác giả (tất nhiên, khi xem đáp án thì điều này có thể không đúng �#8220; rất có thể bài toán đã được đặt ra theo con đường khác, nhưng ở đây ta không đi sâu vào điều đó).
Hào hứng với kết quả trên, tôi thử dùng ìquy trình” đổi biến ở trên để ìsăm soi” BĐT dưới đây.
Bài toán 8: Cho a,b,c>0. CMR:
$x=\dfrac{abc}{b^3+c^3+abc}$, tương tự với $y,z$, thì BĐT ở trên trở thành: $x+y+z\le{1}$. Tiếp theo, ta thiết lập một hệ thức liên hệ giữa x,y,z.
Ta có: $\dfrac{b^2}{ca}$ là bằng 1, nên ta viết lại:
$(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}-\dfrac{1}{x}-1)(\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}-1)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{z}-1)=8$.
Để cho gọn, ta thay $x,y,z$ bởi nghịch đảo của chúng và đi đến:
Bài toán 9: Cho $x,y,z>1$ thỏa:$(y+z-x-1)(z+x-y-1)(x+y-z-1)=8$.
CMR: $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\le{1}$.
Để ý rằng nếu $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1$ thì $x,y,z>1$. Do đó ta phát biểu lại bài toán dưới dạng ìngược” như sau:
Bài toán 10: Cho $x,y,z>0$ thỏa: $xy+yz+zx=xyz$.
CMR: $(y+z-x-1)(z+x-y-1)(x+y-z-1)\le{8}$.
Có lẽ qua vài ví dụ nhỏ ở trên, các bạn đã đủ hình dung ra một cách ìđặt được bài toán mới”. Các bạn thấy đó, từ bài toán 1 có vẻ ìrất tầm thường”, ta có thể dẫn tới những điều không tầm thường chút nào, theo một nghĩa nào đó thì ìkhông có bài toán nào tầm thường, chỉ có những con người tầm thường làm toán mà thôi”.
Cuối cùng, xin lưu ý rằng: ìđổi biến” là một kĩ thuật rất tinh tế mà ở đây chỉ là những ý tưởng đơn giản nhất, điều đó có nghĩa là con đường sáng tạo là vô cùng, song giá trị của sự sáng tạo phụ thuộc chủ yếu vào chính các bạn.
Nếu cảm thấy hứng thú, các bạn nên suy nghĩ thêm về các bài tập dưới đây:
1)Với x,y,z như bài 1, hãy viết lại BĐT Netbit dưới đây, và so sánh với bài toán 2:
$a,b,c>0$)
2)Cho $a,b,c>0[/$
a)CMR: $(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)\le{abc}$.
b)(Trích đề thi IMO 2000)
Thêm điều kiện $abc=1$, CMR:$(a-1+\dfrac{1}{b})(b-1+\dfrac{1}{c})(c-1+\dfrac{1}{a})\le{1}$
3)(Trích đề thi trường THPT Lương Văn Chánh, Phú Yên năm học 2001-2002)
Cho $a,b,c>0$. Tìm GTNN:
$F=\dfrac{\sqrt{a^3c}}{\sqrt{b^3a}+bc}+\dfrac{\sqrt{b^3a}}{\sqrt{c^3b}+ca}+\dfrac{\sqrt{c^3b}}{\sqrt{a^3c}+ab}$
4)Cho $a,b,c$ đôi một phân biệt. CMR:
$a,b,c>0$. CMR:
$ \dfrac{1}{a^3+b^3+abc}+\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}+\dfrac{1}{c^3+a^3+abc} \le \dfrac{1}{a^3+2abc}+\dfrac{1}{b^3+2abc}+\dfrac{1}{c^3+2abc} \le$
$\le \dfrac{1}{abc} \le \dfrac{1}{2a^3+abc}+\dfrac{1}{2b^3+abc}+\dfrac{1}{2c^3+abc}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ptoleme: 11-06-2011 - 21:57
Latex