Cho $n>2$ là số nguyên và $a_1,a_2,...,a_n$ là các số nguyên đôi một khác nhau. Tìm tất cả bộ $(x_1,x_2,...,x_n,y)\in\mathbb{N}^{n+1}$ sao cho $(x_1,x_2,...,x_n,y)=1$ và
$a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=yx_1$.
$a_2x_1+a_3x_2+...+a_1x_n=yx_2$.
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
$a_nx_1+a_1x_2+...+a_{n-1}x_n=yx_n$.
Tìm tất cả bộ $(x_1,x_2,...,x_n,y)\in\mathbb{N}^{n+1}$
#1
Đã gửi 18-01-2007 - 14:59
- Tea Coffee, Minhnksc và PhanThai0301 thích
#2
Đã gửi 24-04-2018 - 23:08
Cho $n>2$ là số nguyên và $a_1,a_2,...,a_n$ là các số nguyên đôi một khác nhau. Tìm tất cả bộ $(x_1,x_2,...,x_n,y)\in\mathbb{N}^{n+1}$ sao cho $(x_1,x_2,...,x_n,y)=1$ và
$a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=yx_1$.
$a_2x_1+a_3x_2+...+a_1x_n=yx_2$.
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
$a_nx_1+a_1x_2+...+a_{n-1}x_n=yx_n$.
Sửa lại đề : "...$a_1,a_2,...,a_n$ là các số nguyên KHÔNG ÂM đôi một khác nhau..."
------------------------------------------------------------
Đặt $a_1+a_2+...+a_n=S$ ($S\geqslant 3$)
Xét hệ phương trình :
$\left\{\begin{matrix}a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=yx_1\\a_2x_1+a_3x_2+...+a_1x_n=yx_2\\a_3x_1+a_4x_2+...+a_2x_n=yx_3\\...\\a_nx_1+a_1x_2+...+a_{n-1}x_n=yx_n \end{matrix}\right.$
Cộng tất cả lại, suy ra $S(x_1+x_2+...+x_n)=y(x_1+x_2+...+x_n)$
Ta có $2$ trường hợp :
1) $x_1+x_2+...+x_n=0$ :
Khi đó $x_1=x_2=...=x_n=0$ và $y=1$ (để thỏa mãn $(x_1,x_2,...,x_n,y)=1$)
Ta có bộ $(0;0;0;...;0;1)$ thỏa mãn điều kiện đề bài.
2) $x_1+x_2+...+x_n\neq 0$ :
Khi đó ta có $y=S\geqslant 3$. Ta lại có $2$ trường hợp nhỏ :
a) $\min(x_1,x_2,...,x_n)=\max(x_1,x_2,...,x_n)=m\neq 0$ (Nói cách khác $x_1=x_2=...=x_n=m\neq 0$)
Khi đó cần chọn số nguyên dương $m$ sao cho $(m,S)=1$ (để thỏa mãn $(x_1,x_2,...,x_n,y)=1$)
Ta có bộ $(m;m;m;...;m;S)$ thỏa mãn điều kiện đề bài.
b) $\min(x_1,x_2,...,x_n)=m_1$ ; $\max(x_1,x_2,...,x_n)=x_k=m_2$ và $m_2> m_1$
Khi đó ta có : $a_kx_1+a_{k+1}x_2+a_{k+2}x_3+...+a_{k-1}x_n< a_kx_k+a_{k+1}x_k+a_{k+2}x_k+...+a_{k-1}x_k=Sx_k=yx_k$
(tức là phương trình thứ $k$ của hệ không thỏa mãn)
Tóm lại, các bộ số thỏa mãn điều kiện đề bài là :
+ Bộ $(0;0;0;...;0;1)$
+ Các bộ có dạng $(m;m;m;...;m;S)$, trong đó $S=a_1+a_2+a_3+...+a_n$ và $m$ là số nguyên dương sao cho $(m,S)=1$
- nhungvienkimcuong và Minhnksc thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#3
Đã gửi 26-07-2019 - 10:52
Sửa lại đề : "...a1,a2,...,ana1,a2,...,an là các số nguyên KHÔNG ÂM đôi một khác nhau..."
------------------------------------------------------------
Đặt a1+a2+...+an=Sa1+a2+...+an=S (S⩾3S⩾3)
Xét hệ phương trình :
⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩a1x1+a2x2+...+anxn=yx1a2x1+a3x2+...+a1xn=yx2a3x1+a4x2+...+a2xn=yx3...anx1+a1x2+...+an−1xn=yxn{a1x1+a2x2+...+anxn=yx1a2x1+a3x2+...+a1xn=yx2a3x1+a4x2+...+a2xn=yx3...anx1+a1x2+...+an−1xn=yxn
Cộng tất cả lại, suy ra S(x1+x2+...+xn)=y(x1+x2+...+xn)S(x1+x2+...+xn)=y(x1+x2+...+xn)
Ta có 22 trường hợp :
1) x1+x2+...+xn=0x1+x2+...+xn=0 :
Khi đó x1=x2=...=xn=0x1=x2=...=xn=0 và y=1y=1 (để thỏa mãn (x1,x2,...,xn,y)=1(x1,x2,...,xn,y)=1)
Ta có bộ (0;0;0;...;0;1)(0;0;0;...;0;1) thỏa mãn điều kiện đề bài.
2) x1+x2+...+xn≠0x1+x2+...+xn≠0 :
Khi đó ta có y=S⩾3y=S⩾3. Ta lại có 22 trường hợp nhỏ :
a) min(x1,x2,...,xn)=max(x1,x2,...,xn)=m≠0min(x1,x2,...,xn)=max(x1,x2,...,xn)=m≠0 (Nói cách khác x1=x2=...=xn=m≠0x1=x2=...=xn=m≠0)
Khi đó cần chọn số nguyên dương mm sao cho (m,S)=1(m,S)=1 (để thỏa mãn (x1,x2,...,xn,y)=1(x1,x2,...,xn,y)=1)
Ta có bộ (m;m;m;...;m;S)(m;m;m;...;m;S) thỏa mãn điều kiện đề bài.
b) min(x1,x2,...,xn)=m1min(x1,x2,...,xn)=m1 ; max(x1,x2,...,xn)=xk=m2max(x1,x2,...,xn)=xk=m2 và m2>m1m2>m1
Khi đó ta có : akx1+ak+1x2+ak+2x3+...+ak−1xn<akxk+ak+1xk+ak+2xk+...+ak−1xk=Sxk=yxkakx1+ak+1x2+ak+2x3+...+ak−1xn<akxk+ak+1xk+ak+2xk+...+ak−1xk=Sxk=yxk
(tức là phương trình thứ kk của hệ không thỏa mãn)
Tóm lại, các bộ số thỏa mãn điều kiện đề bài là :
+ Bộ (0;0;0;...;0;1)(0;0;0;...;0;1)
+ Các bộ có dạng (m;m;m;...;m;S)(m;m;m;...;m;S), trong đó S=a1+a2+a3+...+anS=a1+a2+a3+...+an và mm là số nguyên dương sao cho (m,S)=1
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh