Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm tất cả bộ $(x_1,x_2,...,x_n,y)\in\mathbb{N}^{n+1}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 QUANVU

QUANVU

    B&S-D

  • Hiệp sỹ
  • 4378 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-01-2007 - 14:59

Cho $n>2$ là số nguyên và $a_1,a_2,...,a_n$ là các số nguyên đôi một khác nhau. Tìm tất cả bộ $(x_1,x_2,...,x_n,y)\in\mathbb{N}^{n+1}$ sao cho $(x_1,x_2,...,x_n,y)=1$ và
$a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=yx_1$.
$a_2x_1+a_3x_2+...+a_1x_n=yx_2$.
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
$a_nx_1+a_1x_2+...+a_{n-1}x_n=yx_n$.


1728

#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2157 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 24-04-2018 - 23:08

Cho $n>2$ là số nguyên và $a_1,a_2,...,a_n$ là các số nguyên đôi một khác nhau. Tìm tất cả bộ $(x_1,x_2,...,x_n,y)\in\mathbb{N}^{n+1}$ sao cho $(x_1,x_2,...,x_n,y)=1$ và
$a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=yx_1$.
$a_2x_1+a_3x_2+...+a_1x_n=yx_2$.
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
$a_nx_1+a_1x_2+...+a_{n-1}x_n=yx_n$.

Sửa lại đề : "...$a_1,a_2,...,a_n$ là các số nguyên KHÔNG ÂM đôi một khác nhau..."

------------------------------------------------------------

Đặt $a_1+a_2+...+a_n=S$ ($S\geqslant 3$)

Xét hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix}a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=yx_1\\a_2x_1+a_3x_2+...+a_1x_n=yx_2\\a_3x_1+a_4x_2+...+a_2x_n=yx_3\\...\\a_nx_1+a_1x_2+...+a_{n-1}x_n=yx_n \end{matrix}\right.$

Cộng tất cả lại, suy ra $S(x_1+x_2+...+x_n)=y(x_1+x_2+...+x_n)$

Ta có $2$ trường hợp :

1) $x_1+x_2+...+x_n=0$ :

    Khi đó $x_1=x_2=...=x_n=0$ và $y=1$ (để thỏa mãn $(x_1,x_2,...,x_n,y)=1$)

    Ta có bộ $(0;0;0;...;0;1)$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

2) $x_1+x_2+...+x_n\neq 0$ :

    Khi đó ta có $y=S\geqslant 3$. Ta lại có $2$ trường hợp nhỏ :

    a) $\min(x_1,x_2,...,x_n)=\max(x_1,x_2,...,x_n)=m\neq 0$ (Nói cách khác $x_1=x_2=...=x_n=m\neq 0$)

        Khi đó cần chọn số nguyên dương $m$ sao cho $(m,S)=1$ (để thỏa mãn $(x_1,x_2,...,x_n,y)=1$)

        Ta có bộ $(m;m;m;...;m;S)$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

    b) $\min(x_1,x_2,...,x_n)=m_1$ ; $\max(x_1,x_2,...,x_n)=x_k=m_2$ và $m_2> m_1$

        Khi đó ta có : $a_kx_1+a_{k+1}x_2+a_{k+2}x_3+...+a_{k-1}x_n< a_kx_k+a_{k+1}x_k+a_{k+2}x_k+...+a_{k-1}x_k=Sx_k=yx_k$

        (tức là phương trình thứ $k$ của hệ không thỏa mãn)

 

Tóm lại, các bộ số thỏa mãn điều kiện đề bài là :

    + Bộ $(0;0;0;...;0;1)$

    + Các bộ có dạng $(m;m;m;...;m;S)$, trong đó $S=a_1+a_2+a_3+...+a_n$ và $m$ là số nguyên dương sao cho $(m,S)=1$


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3 NeverDiex

NeverDiex

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 61 Bài viết

Đã gửi 26-07-2019 - 10:52

Sửa lại đề : "...a1,a2,...,ana1,a2,...,an là các số nguyên KHÔNG ÂM đôi một khác nhau..."

------------------------------------------------------------

Đặt a1+a2+...+an=Sa1+a2+...+an=S (S3S⩾3)

Xét hệ phương trình :

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪a1x1+a2x2+...+anxn=yx1a2x1+a3x2+...+a1xn=yx2a3x1+a4x2+...+a2xn=yx3...anx1+a1x2+...+an1xn=yxn{a1x1+a2x2+...+anxn=yx1a2x1+a3x2+...+a1xn=yx2a3x1+a4x2+...+a2xn=yx3...anx1+a1x2+...+an−1xn=yxn

Cộng tất cả lại, suy ra S(x1+x2+...+xn)=y(x1+x2+...+xn)S(x1+x2+...+xn)=y(x1+x2+...+xn)

Ta có 22 trường hợp :

1) x1+x2+...+xn=0x1+x2+...+xn=0 :

    Khi đó x1=x2=...=xn=0x1=x2=...=xn=0 và y=1y=1 (để thỏa mãn (x1,x2,...,xn,y)=1(x1,x2,...,xn,y)=1)

    Ta có bộ (0;0;0;...;0;1)(0;0;0;...;0;1) thỏa mãn điều kiện đề bài.

2) x1+x2+...+xn0x1+x2+...+xn≠0 :

    Khi đó ta có y=S3y=S⩾3. Ta lại có 22 trường hợp nhỏ :

    a) min(x1,x2,...,xn)=max(x1,x2,...,xn)=m0min(x1,x2,...,xn)=max(x1,x2,...,xn)=m≠0 (Nói cách khác x1=x2=...=xn=m0x1=x2=...=xn=m≠0)

        Khi đó cần chọn số nguyên dương mm sao cho (m,S)=1(m,S)=1 (để thỏa mãn (x1,x2,...,xn,y)=1(x1,x2,...,xn,y)=1)

        Ta có bộ (m;m;m;...;m;S)(m;m;m;...;m;S) thỏa mãn điều kiện đề bài.

    b) min(x1,x2,...,xn)=m1min(x1,x2,...,xn)=m1 ; max(x1,x2,...,xn)=xk=m2max(x1,x2,...,xn)=xk=m2 và m2>m1m2>m1

        Khi đó ta có : akx1+ak+1x2+ak+2x3+...+ak1xn<akxk+ak+1xk+ak+2xk+...+ak1xk=Sxk=yxkakx1+ak+1x2+ak+2x3+...+ak−1xn<akxk+ak+1xk+ak+2xk+...+ak−1xk=Sxk=yxk

        (tức là phương trình thứ kk của hệ không thỏa mãn)

 

Tóm lại, các bộ số thỏa mãn điều kiện đề bài là :

    + Bộ (0;0;0;...;0;1)(0;0;0;...;0;1)

    + Các bộ có dạng (m;m;m;...;m;S)(m;m;m;...;m;S), trong đó S=a1+a2+a3+...+anS=a1+a2+a3+...+an và mm là số nguyên dương sao cho (m,S)=1


 

 




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh