Chủ đề này có 19 trả lời

[toilachinhtoi]

Trước khi nói về Chern class thì nhắc một ít về divisors và line bundle.

(local defining function) Let V be an analytic hyper-surface, then for any $p\in V$ there is a defining function f such that in a neighborhood of
p, V is the set of zeros of f.

(Divisor) A divisor D on M is a locally finite formal linear combination $D=\sum a_iV_i$ where $V_i$ are analytic irreducible hyper-surfaces. Here
"locally finite" means that for any $p\in M$ there is a neighborhood U of p such that U meets only finitely many of $V_i's$ with $a_i\not= 0$. The
set of divisors has the structure of an additive group, and denoted by $Div(M).$

If V is an analytic hyper-surface then we identify V with the divisor $\sum V_i$ where $V_i$ are irreducible components of V.

(effective) $D=\sum a_iV_i$ is called additive if $a_i\geq 0$ for all i, we write this by $D\geq 0.$

(order) If V is an irreducible analytic hyper-surface of M, $p\in V$ and f is a local defining function for V at p, and g is a fractional
function then we can write $g=f^{a}h$ where $a\in Z$, h is a fractional map that is defined at p and $h(p)\not= 0.$ Then we write $ord_{V,p}(g)=a,$
called the order of g along V at p. This number is independent of p, so we can write this common number by $ord_V(g)$ (here we have V is
irreducible, hence it is defined globally by a map f).

(divisors in sheaf terms) A divisor D on M is a global section of the quotient sheaf $M^*/O^*$ of meromorphic sheaf over holomorphic sheaf. We have
an explicit form as follows

If f is a global section of $M^*/O^*$, there exists a covering $U_{\alpha}$ of M, and meromorphic maps $f_{\alpha}$ defined over $U_{\alpha}$ such
that $f_{\alpha}/f_{\beta}$ is a holomorphic map over $U_{\alpha}\cap U_{\beta}$. Then for any irreducible analytic hyper-surface V of M we have $ord
_{V}(f_{\alpha})=ord _{V}(f_{\beta})$ if $U_{\alpha}\cap U_{\beta}\not= \emptyset.$ Then we can assign to f a divisor
$D=\sum _{V}ord_V(f_{\alpha}).V$
where V runs on all over the analytic hyper-surface V, and where we choose for each V an $\alpha$ such that $V\cap U_{\alpha}\not=\emptyset.$

Conversely, given a divisor $D=\sum _{V_i}a_iV_i$, we can find an open cover $\{U_{\alpha}\}$ of M such that in each $U_{\alpha},$ every V appearing
in D has a local defining function $g_{i_{\alpha}}.$ Then we can assign to D a global meromorphic function $f_{\alpha}=\prod _{i}g_{i\alpha}^{a_i}.$
These $f_{\alpha}$ are called local defining functions for D. We can write $D=(U_{\alpha} , f_{\alpha}).$

Then we have from above that $H^{0}(M,M^*/O^*)=Div(M).$

[quantum-cohomology]

TLCT có thể nói rõ thêm về Cartier Divisors ko? Mối quan hệ giữa Cartier and Weil Divisors, vài equivalence relation (rational, nummerical, homological relation). Quan hệ giữa Pic ( invertible sheaves or line bundles if you want) <--> Div. Define then the first Chern class as delta-functor. Việc định nghĩa lớp Chern ở higher dimension ko khó, using splitting principle splitt and some basic well-known differential geometry về connection and symmetric polynomials.

Nhưng trước khi TLCT schematically làm như vậy có thể TLCT nói lại explicite dùm phần Cohomology of Sheaves, vì nếu ko discuss cái này thì việc define Chern class maybe make no sense. Chẳng hạn TLCT dùng loại cohomology nào? (Derived functor hay Cech hay local hay gì?) Tất nhiên nếu ta dùng ko gian đủ tốt (noetherian hay quasi-compact) thì luôn tồn tại đẳng cấu giữa mấy cái Cech và Sheaf cohomology này hoặc thậm chí chỉ cần ko gian topo, nơi mà cohomology vanishing trên từng intersection vậy thì h(X) = h_cech (X) (see Ex 4.11 Chap III Hartshorne). TLCT ngoài ra có thể giải thích thêm cho mọi người hiểu rõ cụ thể hơn "Cohomology" ko? Chẳng hạn việc định nghĩa cohomology hay chasing diagramm ko thể thực hiện tùy ý trong mọi categories được, nếu tốt TLCT nêu lại Abelian Categories, Imbedding theorem của Freyd-Mitchell để suy ra Category của Sheaves Moduln, (quasi)-coherent sheaves and so on... có đủ injective objects và do đó cohomology make sense. Đây là phần algebraic.

Ở trên TLCT có trình bầy analytical, tuy nhiên ko thấy mention gì về các geometric objects, vậy có phải TLCT làm cho cả complex spaces ko? Tôi ko nghĩ complex spaces lại có thể trình bầy 1 cách đơn giản như ở trên được, cho nên tôi đoán TLCT trình bầy cho analytical varieties or complex manifolds? Bởi vì đối với 1 số complex spaces in general thì ord ko còn well-defined nữa, bởi complex spaces có thể non-irreducible và có "very wild" component. Chẳng hạn dimension ko thể định nghĩa global cho complex spaces ( in general sense), cần phải có good complex spaces, thậm chí có những không gian tệ tới mức các vành của mầm hàm ko còn là local rings and so on...

và cuối cùng thì can you say something about comparison between algbraic and analytical geometry?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 23-01-2007 - 11:30

[Alexi Laiho]

TLCT có thể nói rõ thêm về Cartier Divisors ko? Mối quan hệ giữa Cartier and Weil Divisors, vài equivalence relation (rational, nummerical, homological relation). Quan hệ giữa Pic ( invertible sheaves or line bundles if you want) <--> Div. Define then the first Chern class as delta-functor. Việc định nghĩa lớp Chern ở higher dimension ko khó, using splitting principle splitt and some basic well-known differential geometry về connection and symmetric polynomials.

Nhưng trước khi TLCT schematically làm như vậy có thể TLCT nói lại explicite dùm phần Cohomology of Sheaves, vì nếu ko discuss cái này thì việc define Chern class maybe make no sense. Chẳng hạn TLCT dùng loại cohomology nào? (Derived functor hay Cech hay local hay gì?) Tất nhiên nếu ta dùng ko gian đủ tốt (noetherian hay quasi-compact) thì luôn tồn tại đẳng cấu giữa mấy cái Cech và Sheaf cohomology này hoặc thậm chí chỉ cần ko gian topo, nơi mà cohomology vanishing trên từng intersection vậy thì h(X) = h_cech (X) (see Ex 4.11 Chap III Hartshorne). TLCT ngoài ra có thể giải thích thêm cho mọi người hiểu rõ cụ thể hơn "Cohomology" ko? Chẳng hạn việc định nghĩa cohomology hay chasing diagramm ko thể thực hiện tùy ý trong mọi categories được, nếu tốt TLCT nêu lại Abelian Categories, Imbedding theorem của Freyd-Mitchell để suy ra Category của Sheaves Moduln, (quasi)-coherent sheaves and so on... có đủ injective objects và do đó cohomology make sense. Đây là phần algebraic.

Ở trên TLCT có trình bầy analytical, tuy nhiên ko thấy mention gì về các geometric objects, vậy có phải TLCT làm cho cả complex spaces ko? Tôi ko nghĩ complex spaces lại có thể trình bầy 1 cách đơn giản như ở trên được, cho nên tôi đoán TLCT trình bầy cho analytical varieties or complex manifolds? Bởi vì đối với 1 số complex spaces in general thì ord ko còn well-defined nữa, bởi complex spaces có thể non-irreducible và có "very wild" component. Chẳng hạn dimension ko thể định nghĩa global cho complex spaces ( in general sense), cần phải có good complex spaces, thậm chí có những không gian tệ tới mức các vành của mầm hàm ko còn là local rings and so on...

và cuối cùng thì can you say something about comparison between algbraic and analytical geometry?

Tôi nghĩ việc trình bầy nhiều như vậy mà cặn kẽ là impossible. Tuy nhiên nếu nhiều người cùng tham gia thì chắc cũng có thể khả thi. Tôi mạnh dặn đề nghị QC ủng hộ mọi người 1 bài về derived functor mà cụ thể là cohomology đi.

[quantum-cohomology]

Thôi được rồi vậy thì tôi xin góp vui đôi chút về Chern classes, đổi lại Alexi trình bầy về Cohomology đi. Như đã biết Chern class đóng vai trò quan trọng trong nhiều lãnh vực của geometry và topology, vậy nên tôi sẽ đưa ra Chern class trong nhiều viewpoint khác nhau. Trước hết là trong Topo đại số:
Ta định nghĩa connecting homomorphism $\partial : H^1 ( X , \mathcal{O}^{ \large { \star }} \rightarrow H^2 ( X , \mathbb{Z} ) $ như là the first Chern class, it assigns to the equivalence class of complex line bundle L its first Chern class $c_1(L) \in H^2(X,\mathbb{Z})$. Nếu E là 1 complex vector bundle of rank r, vậy ta có 1 projective fibration $p : \mathbb{P}(E) \rightarrow X$ cũng như universal quotient bundle $p^{\large{\star}}E \rightarrow \mathcal{O}_E (1)$. Pullback của cohomology $p^{\large{\star}}: H^{\large{\star}}(X, \mathbb{Z}) \rightarrow H^{\large{\star}}(\mathbb{P}(E) , \mathbb{Z}) $ định nghĩa cho ta 1 mở rộng vành hữu hạn ( Extension of rings ). Gọi $c_1(\mathcal{O}_E (-1)) = \xi$, then we have $H^{\large{\star}}(\mathbb{P}(E),\mathbb{Z}) = \Bigoplus_{k=0}^{r-1} \xi^k \cup p^{\large{\star}}H^{\large{\star}}(X , \mathbb{Z})$. Do đó tồn tại các classes $c_i(E) \in H^{\large{\star}}(X ,\mathbb{Z})$ thỏa mãn $\xi^r + p^{\large{\star}}c_1(E) \xi^{r-1} + ... + p^{\large{\star}}c_r (E) = 0$ và ta gọi $c_i(E) \in H^{2i}(X, \mathbb{Z})$ là Chern classes của vector bundle E.
Trong hình học đại số:
Chúng ta hãy định nghĩa Chern classes trong Chow ring như sau: Với $D \in Div(X)$ ta gọi Line bundle $L = \mathcal{O}_X(D)$ và đặt $c_1(L) = [D] \in CH^{1}(X)$, với $CH^1(X)$ là the first Chow group. Xét projection fibration như trên we get finite ring homomorphism $p^{\large{\star}} : CH^{\large{\star}}(X) \rightarrow CH^{\large{\star}}(\mathbb{P}(E))$. Ta định nghĩa Chern classes thông qua Segre classes như sau: đặt $\xi = c_1(\mathcal{O}_E(1))$ và Segre class $s_k(E) = (-1)^k p_{\large{\star}}\xi^{r-1+k} \in CH^{k}(X)$. So we get the total Segre class $s(E) = \Bigsum_{k \geq 0} s_k(E) $, then set the total Chern class như là $c(E) = \dfrac{1}{s(E)}$, do đó $c_k(E)$ không gì khác hơn là homogenous part của total Chern class.
And in the viewpoint of complex geometry thì:
Nếu gọi $A^k(E)$ là không gian vector phức của các k-forms lấy giá trị trong E, ta chọn 1 connection (liên thông) $\nabla : A^k(E) \rightarrow A^{k+1}(E) $ thỏa mãn Leibniz rule: $\nabla(\alpha . e ) = d \alpha . e + (-1)^k \alpha . \nabla(e) $, với $\alpha$ là k-form, còn e là section. Điều này dẫn tới ta có 1 $A^0$-Module homomorphism $\nabla^2 : A^0(E) \rightarrow A^2(E)$ và exterior map $\wedge^k(\nabla^2) : A^0(E) \rightarrow A^{2k}(E). $, so we can define the Chern class as the cohomology classes in the complex De Rham Cohomology: $c_k(E) := [ (\dfrac{i}{2 \pi})^k Trace( \wedge^k(\nabla^2))] \in H^{2k}_{DeR}(X , \mathbb{C}) $

Sau đây xin nhường các cao thủ về Kähler Geometry vào làm vài đường về Chern class trong Dobeault Cohomology, kỹ thuật dòng, SUSY, Einstein Manifolds cho QC được lãnh giáo.
Ps: To Alexi: Nếu được xin mời Alexi làm 1 đường về Intersection Forms, Intersection theory plz!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 25-01-2007 - 00:33

[toilachinhtoi]

Hiện nay tôi hơi bận nên chưa viết được.

To QC: Nhân tiện nói về cohomology, hiện giờ tôi đang chuẩn bị về Brown và Adam theorem, khi nào xong thì sẽ post lên.

[toilachinhtoi]

Phần về định lý Brown và định lý Adam tôi sẽ trình bày trong topic khác.

Để tránh quá nhiều lý thuyết tôi xin hỏi một câu hỏi stupid như sau: Ý nghĩa của phương trình cấu trúc của $\zeta$ là gì vậy? Cụ thể hơn: Nếu áp dụng phưong trình này cho blowup M_X của một varỉety X trong một đa tạp phức M, ta biết rằng ta có thể chọn tọa độ địa phương với một tham số s sao cho s=0 tương ứng với execptional fiber E_X. Như vậy có một quan hệ nào giữa $\zeta$ và s hay không?

[quantum-cohomology]

Mình ko hiểu câu hỏi của TLCT, thứ nhất $\zeta$ là gì vậy? Thứ 2 wat do you mean by phương trình cấu trúc? Hơn nữa câu hỏi của TLCT liên quan tới Blow-up chắc chỉ là local problem.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 28-02-2007 - 23:57

[thuánpdn]

Mấy anh có sách về lý thuyết hay hay về phần mình vừa trình bày không , sách tiếng Anh cũng được . Em thấy phần này khá hay , đang rãnh rỗi muốn nghiên cứu về nó quá

[Tchoupi]

Phần anh toilachinhtoi trình bày hình như có trong Complex Geometry của Huybrechts. Phần này thì Huybrechts trình bày hay thật, ta có thể thấy được liên hệ giữa các nhóm Div(M) (Weil Divisors) , Cartier Divisors và nhóm Picard Pic(M)

Theo như em được biết : có 3 cách xây dựng lớp Chern : một là dùng toán tử Bockstein, hai là dùng liên thông , còn cách thứ 3 thì chưa biết là gì (chắc là dùng tiên đề gì đó) ? Và cả ba cách là như nhau ?

Hy vọng các anh giới thiệu cho vài đường về những kiến thức này

[toanhoc]

Cách nữa là splitting principle. Dùng liên thông là như thế nào nhỉ ?

[Tchoupi]

Cách dùng liên thông anh Thi trình bày rồi mà anh. Cách định nghĩa này dựa vào các đa thức bất biến, từ các đa thức bất biến đó tác động vào dạng độ cong (curvature form) sinh bởi liên thông. Với các đa thức khác nhau, ta nhận được các lớp đặc trưng khác nhau (Todd Class, Chern Character,...). Tham khảo chương 4, Complex Geometry của Huybrechts.

Cách dùng splitting principle em chưa biết. Cái này hình như cũng hơi trừu tượng.

[toanhoc]

À, liên thông là connection, tôi hiểu nhầm là connectedness. Splitting principle là thế này: Trước hết nếu vector bundle là orỉented thì sẽ có Euler class $\eta$ (tương ứng với Thom class ở total space). $dim(\eta) = n$ (chiều của vector bundle). Vậy nếu ta lấy line bundle thì $\eta$ có chiều 1. Vậy định nghĩa $w_1 = \eta$ cho line bundle. Đây là first Stiefel-Whitney class. Splitting principle nói rằng với vector bundle bất kỳ ta có thể pull-back nó về 1 tổng của các line bundles (tổng=Whitney sum). Vì ta muốn các SW classes là natural với pull-back và thỏa $w(\psi_1\bigoplus\cdots\bigoplus\psi_n) = w(\psi_1)\cdots w(\psi_n)$ trong đó w là total SW class nên $w(\psi)=\prod_{i}{(1+w(\psi_i))}$. Cân bằng chiều 2 vế sẽ thấy $w_k(\psi)$ hạn chế xuống k^th elementary symmetric polynomial của các $\w_1(\psi_i)$. Cách này nhìn có vẻ hình thức nhưng thật ra bên dưới là ý tưởng pull-back từ $O(n)$-bundles về $T^n$-bundle, trong đó $T^n$ là maximal torus của $O(n)$ và lý do mà symmetric polynomials xuất hiện là vì $W(O(n)/T^n) = S_n$, W ở đây là Weyl group, còn $S_n$ là symmetric group on n letters. Đây là câu chuyện về SW classes.
Bây giờ nếu lấy mod 2 cohomology thì mọi thứ đều orientable, nên mod 2 cohomology luôn có SW classes.
SW là cho real vector bundles.
Chern classes làm y chang như vậy cho complex vector bundles. Complex thi mọi thứ đều orỉentable nên Chern classes luôn tồn tại integrally. Tất nhiên, $O(n)$ thay bằng $U(n)$ và các Chern classes ở số chiều chẵn vì ta đang làm việc với $C$, ko phải $R$.

[Alexi Laiho]

Có cách xây dựng trên Motives tổng quát hơn nhiều. Fix base scheme S, xét X là 1 S-scheme cùng với 1 Grothendieck Topology, say h-Topology hoặc qfh-Topology. Gọi M là hàm tử tương ứng từ phạm trù S-scheme vào phạm trù motive (hiểu như là phạm trù đồng điều của Site with interval) $(Schm)/S \rightarrow DM(S)$. Nếu E là 1 vector bundle trên X, gọi P(E) là projectivization của nó, vậy thì ta có

$M(P(E)) = \oplus_{i=0}^{dim E - 1} M(X) (i) [2i]$ (lấy Tate twist rồi shift). Từ cái này lấy realization xuống etale topos sẽ nhận được Chern classes như trong etale cohomology, hoặc nếu Base scheme là complex field C thì GAGA sẽ ra Chern classes cho complex topology.

[toanhoc]

Alexi giải thích rõ hơn được không ? Thú thực là tôi chả hiểu gì cả. Motive định nghĩa thế nào ? Tate twist ?

[Alexi Laiho]

Làm sao mà giải thích nổi qua diễn đàn cơ chứ, chỉ giới thiệu thế thôi. Định nghĩa của motives hay Tate twist thì xem sách còn nhanh hơn. Nói chung for non-expert, thì khó explain được hết. Còn hỏi cụ tỉ vào vấn đề trên thì mới thảo luận chung với nhau được.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Alexi Laiho: 10-12-2008 - 06:09

[Tchoupi]

Nói chung nếu chưa biết thì đọc sẽ không hiểu gì, mà biết rồi thì chả nói làm gì ))

Vậy thì nguyên lý chẻ là tìm cách định nghĩa lớp Chern qua lớp Chern thứ nhất, bằng cách cắt phân thớ vector thành các line bundle.

Lý thuyết lớp đặc trưng theo em hiểu là rất khó, nên hiện giờ em cũng chưa "dại" học món này vội, còn rất nhiều món cơ bản phải luyện đã . Cám ơn các bác rất nhiều.

À, hy vọng ai đó trình bày một ít về blow-up Em sẽ cảm ơn rất nhiều

[Alexi Laiho]

Characteristic classes là lý thuyết cổ điển và kinh điển, không học nó ngay thì bao giờ mới chịu học? Blowing-up thì chắc nên tự học, chứ vác lên đây hỏi, chắc chả ai trả lời, trừ phi bạn có vài câu hỏi thú vị. Không lẽ lại ngồi trình bầy proj của đại số graded, hay là thay thế 1 điểm trên 1 mặt bằng 1 đường cong P^1... thế thì chắc là đọc sách còn chuẩn hơn là bài post ở đây.

[Tchoupi]

À, ví dụ liên quan blow-up với cohomology ? blow-up của đa tạp phức tổng quát ? Chứ blow-up tại một điểm của $C^n$ thì em biết rồi.

Cũng còn nhiều món cổ điển và kinh điển mà anh. Quan trọng hơn cả là lý thuyết lớp đặc trưng chưa được sử dụng nhiều so với các món topo đại số, topo vi phân, nhóm Lie... Mấy cái kia em thấy hay dùng hơn cả (trong ngành em đang học thôi)

[Tchoupi]

À, nhân tiện em muốn hỏi : phân thớ vector trên một không gian phức được định nghĩa như thế nào nhỉ ? Em đọc papers mà họ cứ dùng ầm ầm, đọc chả hiểu cái mô tê gì

Thêm nữa, các anh có biết ví dụ nào về không gian phức compact không? không tính các đa tạp phức compact như xuyến, xạ ảnh ...

[vuvantu]

anh AL giới thiệu qua giúp tôi về quaternion , hình như cũng ngắn gọn nhưng tôi không có sách nào nói về riêng nó ?