Chủ đề này có 7 trả lời

[lehoan]

Giả sử $N$ được chia thành $2$ tập vô hạn $A$ và $B$. Chứng minh rằng ta có thể chọn ra hai dãy $(a_i)\in A$ và $(b_i)\in B$ mà $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{a_i}{b_i}=2006$

[leecom]

Không biết giải thế này có được không:
Giả sử $\dfrac{a_{k}}{b_{k}}=a<2006$. Với mỗi lượt, giả sử ta chọn $a_{k+1}$ và $b_{k+1}$ sao cho $a< \dfrac{a_{k+1}}{b_{k+1}}<2006$, và khi đó dễ có $lim\limits_{n \rightarrow + \infty}\dfrac{a_{i}}{b_{i}}=2006.$
Bây giờ ta phải cm là chọn được.
Gọi $a_{k}, b_{k}$ bộ số cuối cùng mà ta có thể chọn được như vậy
Ta có
$a<\dfrac{x}{y}<2006 \Leftrightarrow a.y<x<y.2006 $.
Chọn $y>\dfrac{a}{2006-a}$ và $y>b_{k}$ thì $a.(y+1)<y.2006$.
Giả sử không có $a$ thỏa mãn $$. Khi đó ta xét với $y+1$, vì $y+1$ cũng không thỏa mãn nên $a.(y+1)<x<(y+1)2006.$
Cứ tiếp tục xét như vậy.
Với chú ý $a.(y+1)<y.2006$ nên tập hợp $A$ của ta là hữu hạn (bởi vì các khoảng ở vế phải của BDT giao nhau). Điều này mâu thuẫn với gt.
Do đó ta luôn có thể chọn được. ĐFCM

[manutd]

theo MU thì cách giải của leecom chưa chặt chẽ ở chỗ: chưa khẳng định được $y+1 \in B$. có đúng không hầy?

[manutd]

theo em đề này phải sửa lại là tồn tại dãy $\dfrac{x_i}{y_i}$, $i=1,2,\ldots$ thỏa mãn điều kiện: trong 2 số $x_i,y_i$ có một số thuộc $A$, một số thuộc $B$ và $\lim_{n \to \infty}\dfrac{x_i}{y_i}=2006$.

[lehoan]

theo em đề này phải sửa lại là tồn tại dãy $\dfrac{x_i}{y_i}$, $i=1,2,\ldots$ thỏa mãn điều kiện: trong 2 số $x_i,y_i$ có một số thuộc $A$, một số thuộc $B$ và $\lim_{n \to \infty}\dfrac{x_i}{y_i}=2006$.

Đề đúng đấy.

[tanlsth]

Bài này ta có thể thay $ 2006 $ bởi $ c >0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanlsth: 22-01-2007 - 19:54

[manutd]

Bài này ta có thể thay $ 2006 $ bởi $ c >0$

bạn nêu lời giải đi

[vnm]

ý tưởng của leecom hay đấy nhưng từ $a<\dfrac{a_{k+1}}{b_{k+1}}<2006$ ko khẳng định được dãy sẽ tiến tới 2006
tớ nghĩ giải thế này:giả sử khẳng định sai thì tồn tại $\varepsilon>0$ để ta có$[y(2006-\varepsilon);y(2006+\varepsilon)]\cap A=\emptyset$ với y đủ lớn thuộc B
Cố định y.Xét $I_n=[y(2006-\varepsilon)^n;y(2006+\varepsilon)^n]$
Phần giao của các khoảng này với N thuộc B và với n đủ lớn thì $I_n\cap I_{n+1}\neq \emptyset$ vậy từ lúc nào đó phần hợp của các khoảng này sẽ phủ mọi số nguyên thuộc $[n_o;\infty]$ Vậy suy ra A hữu hạn vô lí

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vnm: 12-02-2007 - 09:53