Chủ đề này có 3 trả lời

[euler]

Cho các số thực $x,y,z$ thuộc $[-2;2]$. Chứng minh rằng:

$$ 2(x^6+y^6+z^6)-(x^4y^2+y^4z^2+z^4x^2)\le 192$$

[luuvanthai]

Để cho đỡ loằng ngoằng ta đặt $x^{2}=a,y^{2}=b,z^{2}=c\Rightarrow 0\leq a,b,c\leq 4$

Cần cm $2(a^{3}+b^{3}+c^{3})-(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)\leq 192(*)$

Ta có $(b-4)(a^{2}-16)\geq 0\Leftrightarrow a^{2}b\geq 4b^{2}+16b-64$ (vì $0\leq a,b\leq 4$

Tương tự có $b^{2}c\geq 4b^{2}+16c-64,c^{2}a\geq 4c^{2}+16a-64$

Do đó $\sum a^{2}b\geq 16\sum a+4\sum a^{2}-192$

Ta chỉ cần cm $2(\sum a^{3})-4\sum a^{2}+16\sum a\leq 0\Leftrightarrow \sum a(a+2)(a-4)\leq 0$

Luôn đúng vì $0\leq a,b,c\leq 4$

Dấu = xảy ra khi $(a,b,c)=(4,4,4)\Rightarrow (x,y,z)=(2,2,2),(-2,-2,-2),(2,-2,2),(2,-2,-2)$ và các hoắn vị tương ứng

[Nxb]

Cho các số thực $x,y,z$ thuộc $[-2;2]$. Chứng minh rằng:

$$ 2(x^6+y^6+z^6)-(x^4y^2+y^4z^2+z^4x^2)\le 192$$

Bài này nhìn qua thấy ngay đây là hàm lồi, thử các điểm đầu mút vào là biết ngay max nó bằng mấy. Thật ra với những bất đẳng thức kiểu này cũng chẳng cần để đối xứng hay hoán vị làm gì vì đấy chưa bao giờ là bản chất của bài toán. 

[chanhquocnghiem]

Dấu đẳng thức xảy ra trong $2$ trường hợp sau :

$1)$ Giá trị tuyệt đối của $x,y$ và $z$ đều bằng $2$

$2)$ Hai trong ba số $x,y,z$ có giá trị tuyệt đối bằng $2$, số còn lại bằng $0$.