Chủ đề này có 7 trả lời

[NPKhánh]

$\Large \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \sqrt{tanx}dx$

[nthd]

$\Large \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \sqrt{tanx}dx$

Chúng ta cần tính một tích phân suy rộng, ta có:

Đặt $tanx=t^2(t\ge 0)$
$\large \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \sqrt{tanx}dx=\int\limits_{0}^{+\infty} td(arctgt^2)=2\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{t^2dt}{1+t^4}=\\=\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{dt}{1+t^2-t\sqrt{2}}+\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{dt}{1+t^2+t\sqrt{2}}-2\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{dt}{1+t^4} $

Lại có:

$\int \dfrac{dt}{1+t^2-t\sqrt{2}}=\sqrt{2}arctg(t\sqrt{2}-1)\\\int \dfrac{dt}{1+t^2+t\sqrt{2}}=\sqrt{2}arctg(t\sqrt{2}+1)\\\int\dfrac{dt}{1+t^4}=\dfrac{1}{4\sqrt{2}}\ln \dfrac{1-t\sqrt{2}+t^2}{1+t\sqrt{2}+t^2}+\dfrac{arctg(t\sqrt{2}-1)+arctg(t\sqrt{2}+1)}{2\sqrt{2}}$

Nên ta có $\large2\int\dfrac{t^2dt}{1+t^4}=\dfrac{arctg(t\sqrt{2}-1)+arctg(t\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\ln \dfrac{1+t\sqrt{2}+t^2}{1-t\sqrt{2}+t^2}=F(t)\rightarrow 2\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{t^2dt}{1+t^4}=\lim\limits_{c\to +\infty}[F( c )-F(0)]=\dfrac{\pi}{\sqrt{2}}$

[NPKhánh]

$\Large \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \sqrt{tanx}dx$

Nếu bài toán trên tôi không giải như bạn nthd ( đã giải đúng rồi ) mà tôi phân tích thế này xem sao nha.

$\Large \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \sqrt{tanx}dx = \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi}{4}} \sqrt{tanx}dx + {\int\limits_{\dfrac{\pi}{4}} ^{\dfrac{\pi}{2}}}\sqrt{tanx}dx$ như vậy tôi tính từng bài tích phân . Vậy liệu có được chăng?

[An Infinitesimal]

Nếu bài toán trên tôi không giải như bạn nthd ( đã giải đúng rồi ) mà tôi phân tích thế này xem sao nha.

$\Large \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \sqrt{tanx}dx = \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi}{4}} \sqrt{tanx}dx + {\int\limits_{\dfrac{\pi}{4}} ^{\dfrac{\pi}{2}}}\sqrt{tanx}dx$ như vậy tôi tính từng bài tích phân . Vậy liệu có được chăng?

Tính
$\large R=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}\sqrt{sinx}dx$
$\large R_2=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}\sqrt{cosx}dx$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 31-01-2007 - 20:25

[NPKhánh]

Bài này giải theo hai cách :
1/ phân tích như bài trên tôi nói để đưa đến cách giải THPT
2/ Giải như bạn nthd thì cũng cho ra đáp số !
$\Large P=\int\limits_{0}^{ \pi/4 } \dfrac{1}{1 + (tgx)^sqrt{2} }\,dx$

[NPKhánh]

1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta luôn có:$\large\int\limits_{0}^{n}\sqrt{x}dx<\sum_{k=1}^{n}\sqrt{k}<\int\limits_{1}^{n+1}\sqrt{x}dx$
2) Từ kết quả trên, hãy chứng minh:
a) $\large 666.6<\sum_{k=1}^{100}\sqrt{k}<676$
b) $\large\lim_{n\to +\infty}\(\dfrac{1}{\sqrt{n^3}}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{k}\)=\dfrac{2}{3}.$