Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc Gia Việt Nam
Năm học 2007-2008
Bài 1 Giải hệ phương trình sau:
$\{(1+\dfrac{12}{3x+y})\sqrt{x}=2\\(1-\dfrac{12}{3x+y})\sqrt{y}=6$
Bài 2 Cho các số nguyên $x,y \neq -1 $ thỏa mãn :$ \dfrac{x^4-1}{y+1}+\dfrac{y^4-1}{x+1}\in Z$
Chứng minh rằng:$ x^4y^{44}-1 \vdots (x+1)$
Bài 3 Cho B,C cố định và A là điểm di động và có H,G lần lượt là Trực tâm và trọng tâm , biết trung điểm HG thuộc BC . Tìm quỹ tích $A$
Bài 4 Cho đa giác 2007 đỉnh đều. Tìm k nhỏ nhất sao cho với mọi cách chọn k đỉnh thì tồn tại 1 tứ giác con nhận 4 đỉnh trong k đỉnh đã chọn làm đỉnh và có 3 cạnh là 3 cạnh của đa giác này
Bài 5) Tìm hàm$ f(x) $ thỏa: $f(x+y)=f(x)3^{b^y+f(y)-1}+b^x(3^{b^y+f(y)-1}-b^y)$
($ b>0 $ cho trước)
Bài 6 Cho hình thang ABCD nội tiếp (O) có đáy lớn BC,P là 1 điểm nằm trên đường thẳng BC (không nằm trong đường tròn )PA cắt (O) tại N ,Đường tròn đường kính PD cắt (O) tại E(PA không là tiếp tuyến của (O)).DE cắt BC tại M.Chứng minh MN đi qua 1 điểm cố định
Bài 7 Cho $a>2$ và $f_n(x)=a^{10}x^{n+10}+x^n+...+x+1$
Chứng minh rằng:$ f_n(x)=a$ có nghiệm dương duy nhất với mọi $n$
và gọi$ x_n$ là nghiệm thì cm: $x_n $ có giới hạn hữu hạn ... khi $n\to \infty$
Các bạn có thể tải thêm file pdf của đề thi về để tham khảo: