Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

$ \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{S- a_i} < \sqrt[n]{\dfrac{S}{P}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 song_ha

song_ha

    Sống là chiến đấu

  • Pre-Member
  • 321 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:VIỆT_NAM
  • Sở thích: dạy con học toán&lt;br&gt; làm toán&lt;br&gt; AC MILAN

Đã gửi 03-04-2005 - 00:14

Cho $n\geq 3$ và $a_k> 0, k = 1,2,...,n$. Đặt $S= \sum\limits_{i=1}^{n}a_i; P= a_1.a_2...a_n$
Chứng minh rằng:
$$ \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{S- a_i} < \sqrt[n]{\dfrac{S}{P}}$$
<span style='color:red'>...Này sông cứ chảy như ngày ấy
Có người đi quên mất lối về.....</span>

#2 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 16-01-2013 - 15:49

Cho $n\geq 3$ và $a_k> 0, k = 1,2,...,n$. Đặt $S= \sum\limits_{i=1}^{n}a_i; P= a_1.a_2...a_n$
Chứng minh rằng:
$$ \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{S- a_i} < \sqrt[n]{\dfrac{S}{P}}$$


Thật buồn khi bất đẳng thức này là sai!

Cho $a_1=a_2=...=a_n$ , bất đẳng thức trên viết lại là

$$\dfrac{n}{(n-1)a_1} < \sqrt[n]{\dfrac{n}{a_1^{n-1}}}$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{n}{(n-1)\sqrt[n]{a_1}}<\sqrt[n]{n}$$

Chọn $a_1=\dfrac{1}{n}$

Vậy bất đẳng thức tương đương với $\dfrac{n}{n-1}<1 $ mâu thuẫn !

Ta có thể sửa lại đề bài để được bài toán đúng là:

$$ \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{S- a_i} < \sqrt[n-1]{\dfrac{S}{P}}$$

Tuy nhiên, xin nghĩ khác đi một tí và ta "chế" được một bài toán khác hay hơn nhiều.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Tìm $n \in \mathbb{N},n>1 $ sao cho tồn tại bộ $n$ số thực dương $a_i \;, i \in \{1,...,n\}$ sao cho

$$\sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{S- a_i} = \sqrt[n-1]{\dfrac{S}{P}}$$

Với $S= \sum\limits_{i=1}^{n}a_i\;;\;\; P= a_1.a_2...a_n$
|~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Với $n=2$ , rõ ràng ta luôn có $$\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}=\sqrt[1]{\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}} \;\;, \forall (a_1;a_2) \in {\mathbb{R}_+^*}^2 $$

Vậy $n=2$ luôn có vô số bộ 2 số dương thỏa yêu cầu.

Với $n\ge 3$ ta chứng minh rằng

$$\sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{S- a_i} < \sqrt[n-1]{\dfrac{S}{P}}$$

$$\Leftrightarrow \left(\sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{S- a_i} \right)^{n-1}<\dfrac{S}{P}$$

$$\Leftrightarrow \left(\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{\sum_{k=1, k \neq i}^n a_k} \right)^{n-1}<\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{\prod_{k=1,k \neq i}^n a_i}$$

Theo $AM-GM$

$$ \left(\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{\sum_{k=1, k \neq i}^n a_k} \right)^{n-1} \le \left( \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{(n-1)\prod_{k=1,k \neq i}^n \sqrt[n-1]{a_k}} \right)^{n-1}$$

$$\le \dfrac{1}{(n-1)^{n-1}} \left(\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{\prod_{k=1,k \neq i}^n\sqrt[n-1]{a_k}} \right)^{n-1}$$

$$\le \dfrac{1}{(n-1)^{n-1}} n^{n-2} \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{\prod_{k=1,k\neq i}^na_k}$$

Ta chứng minh $n^{n-2}<(n-1)^{n-1} \;\;, \forall n\ge 3$

$$\Leftrightarrow \dfrac{\ln n}{n-1}<\dfrac{\ln (n-1)}{n-2}$$

Xét hàm số $f(x)=\dfrac{\ln x}{x-1} \;\;, x \ge 2$

$$f'(x)=\dfrac{x-1-x\ln x}{x(x-1)^2} $$

Xét $g(x)=x-1-x\ln x \;\;, x \ge 2 $

$$g'(x)=- \ln x <0 \;\;, \forall x \ge 2$$

$$ \text{Suy ra g(x) nghịch biến trên} [2;+\infty) \Rightarrow g(x) \le g(2)<0 $$

$$\Rightarrow f'(x)<0 \;\;, \forall x \ge 2 $$

suy ra $f(x)$ giảm ngặt trên $[2;+\infty)$

Vậy $\forall n \ge 2 \;, f(n)<f(n-1) $ tức $\dfrac{\ln n}{n-1}<\dfrac{\ln (n-1)}{n-2}$

Vậy ta đã cm được $$ \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{S- a_i} < \sqrt[n-1]{\dfrac{S}{P}} \;\;\;, \forall n \ge 3$$

Kết luận : $n=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 16-01-2013 - 15:57

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#3 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-02-2013 - 20:07

Chấm bài:
phudinhgioihan: 10 điểm + 5 điểm mở rộng = 15 điểm

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh