Chủ đề này có 5 trả lời

[Mr. Big Problem]

Mình muốn tạo ra chủ đề này để thảo luận về những tính chất cơ bản nhất của nhóm tôpô giao hoán.

Định nghĩa: Cho G là một nhóm abel. Giả sử trên G có một tôpô T sao cho các ánh xạ
G-->G, x-->-x và
GxG-->G, (x,y)-->x+y
liên tục. Khi đó G cùng với T được gọi là một nhóm tôpô giao hoán.

Có một tính chất cơ bản suy ra từ định nghĩa nhưng mình chưa tìm ra được cách chứng minh, các bạn cùng giúp mình với.

Mệnh đề: Cho (G,+) là một nhóm tôpô giao hoán. Gọi H là giao tất cả các lân cận của 0, chứng minh rằng H là một nhóm con của G.

[Toyo]

Mệnh đề: Cho (G,+) là một nhóm tôpô giao hoán. Gọi H là giao tất cả các lân cận của 0, chứng minh rằng H là một nhóm con của G.

Gọi $H_i(i\in I)$ là họ tất cả các lân cận của $0$, như vậy $H=\cap_{i\in I}H_i$. Thấy là $0\in H$ do đó $H$ khác rỗng, ta chỉ cần chứng minh rằng với mỗi $x,y\in H$ thì $x-y\in H$. Mọi $i\in I$ tồn tại $j\in I$ sao cho $H_j-H_j\subset H_i$, mà $x-y\in H_j-H_j$ nên $x-y\in H_i$, do vậy $x-y\in H$.

[Mr. Big Problem]

Bạn có thể giải thích chi tiết hơn tại sao ta có

Mọi $i\in I$ tồn tại $j\in I$ sao cho $H_j-H_j\subset H_i$

Mình cũng tự nghĩ ra một cách chứng minh như sau.

Do 0 thuộc H nên H khác rỗng. Giả sử x,y là các phần tử bất kì thuộc H và U là một lân cận bất kì của 0, ta cần chứng minh -x và x+y thuộc U.
Vì ánh xạ g:G-->G,t-->-t là liên tục nên -U=g^(-1)(U) cũng là một lân cận của 0, do đó x thuộc -U, suy ra -x thuộc U.
Vì ánh xạ f:GxG-->G,(t,z)-->t+z là liên tục nên f^(-1)(U) là lân cận của (0,0). Do tính chất của tôpô tích, phải tồn tại các tập mở chứa 0 trong G là A1 và A2 sao cho (0,0) thuộc A1xA2 in f^(-1)(U). Khi ấy A1 là lân cận của 0 nên x thuộc A1, tương tự, y thuộc A2. Suy ra f(x,y)=x+y thuộc A1xA2 và do đó thuộc U.

[wavelet]

Bạn có thể giải thích chi tiết hơn tại sao ta có

Trích dẫn(Toyo @ Feb 12 2007, 07:48 PM) *
Mọi tồn tại sao cho

$f: G\times G\to G$ bởi $(x,y)\to x-y$ liên tục.

[Mr. Big Problem]

Tính chất sau đây mình vẫn chưa nghĩ ra cách chứng minh. Các bạn cùng thảo luận nhé.

Vẫn kí hiệu như ở mệnh đề trước, G là một nhóm tôpô giao hoán, H là giao của tất cả các lân cận của điểm 0. Chứng minh rằng G/H là không gian tôpô Hausdorff.

[atuana]

Tính chất sau đây mình vẫn chưa nghĩ ra cách chứng minh. Các bạn cùng thảo luận nhé.

Vẫn kí hiệu như ở mệnh đề trước, G là một nhóm tôpô giao hoán, H là giao của tất cả các lân cận của điểm 0. Chứng minh rằng G/H là không gian tôpô Hausdorff.

Có 1 quyển sách cực kỳ nổi tiếng về nhóm tôpô, đó là quyển Topologycal Groups của L.S.Pontryagin. Gần như toàn bộ những tính chất cơ bản về nhóm tôpô đều có trong đó. Bạn nên tìm quyển này. Ngoài ra cũng có thể tìm quyển General Topology của Bourbaki. Quyển này cũng rất tốt.