Đến nội dung

Hình ảnh

$g^{3}(G)\le{c\cdot{f^4(G)}}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
MrMATH

MrMATH

    Nguyễn Quốc Khánh

  • Hiệp sỹ
  • 4047 Bài viết

Tìm hằng số $C$ nhỏ nhất sao cho với mọi đồ thị hữu hạn $G$ ta có
$$g^{3}(G)\le{c\cdot{f^4(G)}}$$
trong đó $g(G)$ và $f(G)$ lần lượt là số các tứ diện, số các tam giác trong $G$



#2
nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết

cái này áp dụng công thức thpt hay thcs vậy anh?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nghiemthanhbach: 02-09-2013 - 22:36


#3
PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản trị
  • 493 Bài viết

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại hơn 2 ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng   @};- cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng   @};- sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 06/09 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng   @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.


  • LNH yêu thích
1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia! :luoi:

#4
LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết

Tìm hằng số $C$ nhỏ nhất sao cho với mọi đồ thị hữu hạn $G$ ta có
$$g^{3}(G)\le{c\cdot{f^4(G)}}$$
trong đó $g(G)$ và $f(G)$ lần lượt là số các tứ diện, số các tam giác trong $G$

Hên thiệt, đang tìm các bài tổ hợp sử dụng quy nạp thì gặp lại bài này :)) (IMO shortlist 2004 C8)

Đặt $V_1,...,V_n$ là đỉnh của $G$ và $E$ là tập cạnh của chúng.

Với mỗi $i=1,2,...,n$, đặt $A_i$ là tập hợp các đỉnh được nối với $V_i$ bằng một cạnh, $G_i$ là đồ thị con của $G$ mà tập đỉnh là $A_i$, tập cạnh là $E_i$. Đặt $v_i,e_i$ và $t_i=f\left ( G_i \right )$ là số các đỉnh, cạnh, tam giác trong $G_i$ tương ứng.

Số tứ diện và tam giác có đỉnh là $V_i$ lần lượt bằng $t_i$ và $e_i$. Vì vậy:

$\sum_{i=1}^{n}v_i=2\left | E \right |$, $\sum_{i=1}^{n}e_i=3f\left ( G \right )$, $\sum_{i=1}^{n}t_i=4g\left ( G \right )$

Vì $e_i\leq C_{v_i}^{2}\leq \frac{v_i^2}{2}$ và $e_i\leq \left | E \right |$, ta có $e_i^2\leq \frac{v_i^2\left | E \right |}{2}$

$\Leftrightarrow e_i\leq v_i \sqrt{\frac{\left | E \right |}{2}}$

$\Rightarrow 3f\left ( G \right )\leq 2\left | E \right |\sqrt{\frac{\left | E \right |}{2}}$

$\Leftrightarrow f\left ( G \right )^2\leq \frac{2\left | E \right |^3}{9}$

Vì bất đẳng thức trên đúng với mọi $G_i$, dẫn đến:

$t_i=f\left ( G_i \right )=f\left ( G_i \right )^{\frac{1}{3}}f\left ( G_i \right )^{\frac{2}{3}}\leq \left ( \frac{2}{9} \right )^{\frac{1}{3}}f\left ( G_i \right )^{\frac{1}{3}}e_i$

Suy ra:

$4g\left ( G \right )\leq 3\left ( \frac{2}{9} \right )^{\frac{1}{3}}f\left ( G \right )^\frac{4}{3}$

Hay:

$g^3\left ( G \right )\leq \frac{3}{32}f^4\left ( G \right )$

Hằng số $c$ nhỏ nhất thoả mãn là $\frac{3}{32}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $G$ là đồ thị đầy đủ :)






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh