Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$g^{3}(G)\le{c\cdot{f^4(G)}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 MrMATH

MrMATH

    Nguyễn Quốc Khánh

  • Hiệp sỹ
  • 4047 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-04-2005 - 08:13

Tìm hằng số $C$ nhỏ nhất sao cho với mọi đồ thị hữu hạn $G$ ta có
$$g^{3}(G)\le{c\cdot{f^4(G)}}$$
trong đó $g(G)$ và $f(G)$ lần lượt là số các tứ diện, số các tam giác trong $G$



#2 nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK
  • Sở thích:Ai chơi lmht không :)

Đã gửi 02-09-2013 - 22:36

cái này áp dụng công thức thpt hay thcs vậy anh?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nghiemthanhbach: 02-09-2013 - 22:36


#3 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-09-2013 - 20:37

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại hơn 2 ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng   @};- cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng   @};- sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 06/09 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng   @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.


  • LNH yêu thích

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#4 LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũ Trụ
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 15-09-2013 - 17:20

Tìm hằng số $C$ nhỏ nhất sao cho với mọi đồ thị hữu hạn $G$ ta có
$$g^{3}(G)\le{c\cdot{f^4(G)}}$$
trong đó $g(G)$ và $f(G)$ lần lượt là số các tứ diện, số các tam giác trong $G$

Hên thiệt, đang tìm các bài tổ hợp sử dụng quy nạp thì gặp lại bài này :)) (IMO shortlist 2004 C8)

Đặt $V_1,...,V_n$ là đỉnh của $G$ và $E$ là tập cạnh của chúng.

Với mỗi $i=1,2,...,n$, đặt $A_i$ là tập hợp các đỉnh được nối với $V_i$ bằng một cạnh, $G_i$ là đồ thị con của $G$ mà tập đỉnh là $A_i$, tập cạnh là $E_i$. Đặt $v_i,e_i$ và $t_i=f\left ( G_i \right )$ là số các đỉnh, cạnh, tam giác trong $G_i$ tương ứng.

Số tứ diện và tam giác có đỉnh là $V_i$ lần lượt bằng $t_i$ và $e_i$. Vì vậy:

$\sum_{i=1}^{n}v_i=2\left | E \right |$, $\sum_{i=1}^{n}e_i=3f\left ( G \right )$, $\sum_{i=1}^{n}t_i=4g\left ( G \right )$

Vì $e_i\leq C_{v_i}^{2}\leq \frac{v_i^2}{2}$ và $e_i\leq \left | E \right |$, ta có $e_i^2\leq \frac{v_i^2\left | E \right |}{2}$

$\Leftrightarrow e_i\leq v_i \sqrt{\frac{\left | E \right |}{2}}$

$\Rightarrow 3f\left ( G \right )\leq 2\left | E \right |\sqrt{\frac{\left | E \right |}{2}}$

$\Leftrightarrow f\left ( G \right )^2\leq \frac{2\left | E \right |^3}{9}$

Vì bất đẳng thức trên đúng với mọi $G_i$, dẫn đến:

$t_i=f\left ( G_i \right )=f\left ( G_i \right )^{\frac{1}{3}}f\left ( G_i \right )^{\frac{2}{3}}\leq \left ( \frac{2}{9} \right )^{\frac{1}{3}}f\left ( G_i \right )^{\frac{1}{3}}e_i$

Suy ra:

$4g\left ( G \right )\leq 3\left ( \frac{2}{9} \right )^{\frac{1}{3}}f\left ( G \right )^\frac{4}{3}$

Hay:

$g^3\left ( G \right )\leq \frac{3}{32}f^4\left ( G \right )$

Hằng số $c$ nhỏ nhất thoả mãn là $\frac{3}{32}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $G$ là đồ thị đầy đủ :)






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh