Chủ đề này có 1 trả lời

[anhminh]

Cho tứ diện đều ABCD, Tìm mặt phẳng $(P)$ sao cho hình chiếu vuông góc của tứ diện lên $(P)$ có diện tích nhỏ nhất.

[chanhquocnghiem]

Cho tứ diện đều ABCD, Tìm mặt phẳng $(P)$ sao cho hình chiếu vuông góc của tứ diện lên $(P)$ có diện tích nhỏ nhất.

Lấy mặt phẳng $(Q)$ tùy ý.Qua điểm $O$ thuộc $(Q)$ dựng các trục $Ox$ và $Oz$ (đều nằm trên $(Q)$) vuông góc với nhau.Dựng trục $Oy$ vuông góc với $(Q)$.Ta có hệ trục tọa độ $Oxyz$.

Gọi $A',B',C',D'$ lần lượt là hình chiếu của $A,B,C,D$ trên $(Q)$ ; $S'$ là diện tích hình chiếu của tứ diện $ABCD$ trên $(Q)$ ; $a$ là độ dài cạnh tứ diện đều $ABCD$.

Gọi $\alpha$ là góc giữa cạnh $AB$ và đường cao $AH$ của tứ diện.

Dễ dàng tính được $AH=\frac{a\sqrt{6}}{3}\Rightarrow \cos \alpha =\frac{\sqrt{6}}{3}$

Xét $3$ trường hợp :

$1)$ Trong 4 điểm $A',B',C',D'$ có 1 điểm thuộc miền trong của tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm kia :

Không làm mất tính tổng quát, giả sử $A'$ nằm trong tam giác $B'C'D'$.Khi đó $\left ( \widehat{(B'C'D'),(Q)} \right )< \alpha$ và :

$S'=S_{B'C'D'}> S_{BCD}.\cos \alpha =\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{a^2\sqrt{2}}{4}$

 

$2)$ Trong 4 điểm $A',B',C',D'$ có 1 điểm nằm trên cạnh hoặc trùng với đỉnh của tam giác tạo bởi 3 điểm kia :

Giả sử $A'$ nằm trên cạnh hoặc trùng với 1 đỉnh của tam giác $B'C'D'$.Khi đó $\left ( \widehat{(B'C'D'),(Q)} \right )\leqslant \alpha$ và :

$S'=S_{B'C'D'}\geqslant S_{BCD}.\cos \alpha =\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{a^2\sqrt{2}}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi $A'$ trùng với 1 trong 3 đỉnh $B',C',D'$, hay nói cách khác, tứ diện có 1 cạnh vuông góc với $(Q)$

 

$3)$ Trong 4 điểm $A',B',C',D'$, mỗi điểm đều nằm ngoài tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm còn lại :

Khi đó, trong 4 mặt của tứ diện sẽ có 2 mặt mà hình chiếu của chúng không chồng lên nhau, giả sử đó là các mặt $ACB$ và $ACD$ và ta có $S'=S_{A'C'B'}+S_{A'C'D'}$

Dựng mp $\beta$ chứa $AC$ và vuông góc với $(Q)$, cắt $BD$ tại $E$

Ta có $V_{ABCD}=V_{BACE}+V_{DACE}$

Dựng mp $\gamma$ đi qua $B$ và song song với $(Q)$, cắt $AC$ tại $F$

$\Rightarrow V_{BACE}=V_{BAEF}+V_{BCEF}=\frac{1}{3}.S_{A'B'C'}.\left | y_A-y_F \right |+\frac{1}{3}.S_{A'B'C'}.\left | y_C-y_F \right |=\frac{1}{3}.S_{A'B'C'}.\left | y_C-y_A \right |$

Tương tự, $V_{DACE}=\frac{1}{3}.S_{A'D'C'}.\left | y_C-y_A \right |$

$\Rightarrow V_{ABCD}=V_{BACE}+V_{DACE}=\frac{1}{3}.S'.\left | y_C-y_A \right |$

$\Rightarrow S'=\frac{3V_{ABCD}}{\left | y_C-y_A \right |}=\frac{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.\frac{a\sqrt{6}}{3}}{\left | y_C-y_A \right |}= \frac{\frac{a^3\sqrt{2}}{4}}{\left | y_C-y_A \right |}$

Vì trong 4 điểm $A',B',C',D'$, mỗi điểm đều nằm ngoài tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm còn lại suy ra không có cạnh nào vuông góc với $(Q)$ $\Rightarrow \left | y_C-y_A \right |< a \Rightarrow S'> \frac{a^2\sqrt{2}}{4}$

 

So sánh 3 TH, ta thấy $S'$ đạt GTNN là $\frac{a^2\sqrt{2}}{4}$ khi $(Q)$ vuông góc với 1 trong 6 cạnh của tứ diện.

Vậy các mp $(P)$ cần tìm là tập hợp các mp vuông góc với 1 trong 6 cạnh của tứ diện.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 19-09-2015 - 21:17