Chủ đề này có 8 trả lời

[gianglc]

$\large\left\{ \begin{array}{l} 0 < b \leq a\leq 4 \\ a+b\leq 7 \\ 2\leq x\leq 3\leq y \end{array} \right.$
Tìm Min của
$\large\dfrac{2x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{2}{y}}{a^2+b^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gianglc: 20-02-2007 - 15:29

[fecma21]

bài này dễ thật

$ BT = \dfrac{2.x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}}{a^2+b^2} $

$ M = a^2+b^2 \leq 4^2+4^2 = 32 $ do $ 0 < a,b \leq 4 $

$ T = (2.x+\dfrac{1}{x})+(y+\dfrac{1}{y}) $ tìm min T là xong ?

2 cái bt kia đều có min tại biên tức là $ f(x) = 2.x+\dfrac{1}{x} \geq \dfrac{9}{2} $

vì $ x \geq 2 $ và $ F'(x) = 2-\dfrac{1}{x^2} = \dfrac{2.x^2-1}{x^4} > 0 $

hoặc khônng biến đổi cũng được mà.

tương tự với biểu thức y nhé .

[gianglc]

trong chủ đề tìm Min . khi đánh giá mẫu anh cho dấu bằng khi a = b= 4 trong khi gt có $\large a +b \leq 7$ nên sai.

[fecma21]

OK , anh xin lỗi nhé , hôm anh đọc anh quên mất cái $ a+b \leq 7 $ , sửa cho em luôn đây

$ 0 < b \leq a \leq 4 $ và $ a+b \leq 7 = 4+3 $

nên $ a^2+b^2 \leq 4^2+3^2 = 25 $ OK ( BDT KARAMATA đây mà )

em có thể cm trực tiếp là do $ a \leq 4 $ nên đặt a=4-x ( $ x \geq 0 $ ; do a+b=7 nên b = 3+x ;

ta thấy gay là x<1 vì nếu x>1 thì a<3 ; => b>4 => a<b vô lí

=> $ a^2+b^2 = (4-x)^2+(3+x)^2 = 4^2+3^2-2.x+2.x^2 = 25+x.(x-1) \leq 25 $ dấu = khi x=0;

[gianglc]

Bài nữa nè:
Cho a,b,c > 0
Cho
A= $\large\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}$+$\large \dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ca}$+$\large\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}$
CMR $\large A\geq 1
$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gianglc: 23-02-2007 - 20:28

[dtdong91]

Bài nữa nè:
Cho a,b,c > 0
CMR
$\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+ \dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}} \geq 1$

Đề là thế này phải ko nhỉ dịch mãi mới ra
Bài này mình nhớ đã có nhiều người pót rùi ,cũng không dễ lắm
Để mọi người làm thử nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dtdong91: 23-02-2007 - 20:11

[ConanKudo]

Mấy cái bài căn thức ở mẫu này thì Holder thịt ngay
Đặt VT là A
$B=\sum(a^2+8bc)a$
$=>A^2B \geq (a+b+c)^3$
Giờ chứng minh $B \leq (a+b+c)^3$
hay$\sum c(a-b)^2 \geq 0$ (Xong rùi!)

[dtdong91]

cách khác dùng U.C.T
Chuẩn hóa a+b+c=3
$ \sum \dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}} \geq \sum \dfrac{a}{\sqrt{a^2+2(b+c)^2}}=\sum \dfrac{a}{\sqrt{a^2+2(3-a)^2}}$
Đến dây bật thêm AM-GM phát nữa rùi dùng U.C.T thui

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dtdong91: 24-02-2007 - 13:17

[vo thanh van]

Bài này cũng có thể dùng AM-GM mà,dễ hơn nhiều,lúc nào rảnh thì mình sẽ post sau.Cái cách cm bằng Holder của Vũ đã rất quen thuộc (theo như trong cuốn Sáng tạo)