Cho elip $(E):\frac{ x^{2} }{4}+ \frac{ y^{2} }{9} =1 $. Một góc vuông $\widehat{MON}$ quay quanh gốc tọa độ, với $M,N$ thuộc elip. Chứng minh $MN$ tiếp xúc 1 đường tròn cố định.
$M,N \in (E), \widehat{MON} = 90^o$, C/m $MN$ tiếp xúc đường tròn.
#1
Đã gửi 08-03-2007 - 17:36
#2
Đã gửi 12-01-2014 - 11:51
Cho elip $(E):\frac{ x^{2} }{4}+ \frac{ y^{2} }{9} =1 $. Một góc vuông $\widehat{MON}$ quay quanh gốc tọa độ, với $M,N$ thuộc elip. Chứng minh $MN$ tiếp xúc 1 đường tròn cố định.
Xét $2$ trường hợp :
$1)$ $M$ (và $N$) đều nằm trên các trục tọa độ :
Khi đó ta có $OM=2$ , $ON=3$ hoặc $OM=3$ , $ON=2$ $\Rightarrow MN=\sqrt{OM^2+ON^2}=\sqrt{13}$
$\Rightarrow d(O;MN)=\frac{OM.ON}{MN}=\frac{6}{\sqrt{13}}$ $\Rightarrow MN$ tiếp xúc với đường tròn $(O;\frac{6}{\sqrt{13}})$
$2)$ $M$ (và $N$) không nằm trên các trục tọa độ :
Giả sử hệ số góc của $OM$ là $k$ ($k\neq 0$) $\Rightarrow$ hệ số góc của $ON$ là $-\frac{1}{k}$
Gọi hoành độ của $M,N$ lần lượt là $m$ và $n$ $\Rightarrow$ tung độ của $M,N$ lần lượt là $km$ và $-\frac{n}{k}$
$M\in (E)\Rightarrow \frac{m^2}{4}+\frac{(km)^2}{9}=1\Rightarrow (4k^2+9)m^2=36$ (1)
$N\in (E)\Rightarrow \frac{n^2}{4}+\frac{(-\frac{n}{k})^2}{9}=1\Rightarrow (9k^2+4)n^2=36k^2$ (2)
(1),(2) $\Rightarrow (4k^2+9)k^2m^2=(9k^2+4)n^2\Rightarrow n^2=\frac{(4k^4+9k^2)m^2}{9k^2+4}$ (3)
$OM^2=x_{M}^{2}+y_{M}^{2}=m^2+k^2m^2$
$ON^2=x_{N}^{2}+y_{N}^{2}=n^2+\frac{n^2}{k^2}=\frac{(4k^4+9k^2)m^2}{9k^2+4}+\frac{(4k^2+9)m^2}{9k^2+4}$
$\Delta MON$ vuông tại $O$ $\Rightarrow MN^2=OM^2+ON^2=m^2+k^2m^2+\frac{(4k^4+9k^2)m^2}{9k^2+4}+\frac{(4k^2+9)m^2}{9k^2+4}=\frac{(13k^4+26k^2+13)m^2}{9k^2+4}$
Ta có $d(O;MN)=\frac{OM.ON}{MN}$ (vì $\Delta MON$ vuông tại $O$)
$OM^2.ON^2=m^2(k^2+1).n^2(\frac{1}{k^2}+1)=m^2n^2(k^2+2+\frac{1}{k^2})=\frac{(4k^4+9k^2)m^4}{9k^2+4}.\frac{k^4+2k^2+1}{k^2}=\frac{(4k^2+9)(k^4+2k^2+1)m^4}{9k^2+4}$
$\Rightarrow \frac{OM^2.ON^2}{MN^2}=\frac{(4k^2+9)m^2}{13}$ (4)
(1),(4) $\Rightarrow \frac{OM^2.ON^2}{MN^2}=\frac{36}{13}$ $\Rightarrow d(O;MN)=\frac{6}{\sqrt{13}}\Rightarrow MN$ tiếp xúc với đường tròn $(O;\frac{6}{\sqrt{13}})$
Vậy trong mọi trường hợp ta đều có $MN$ tiếp xúc với đường tròn cố định $(O;\frac{6}{\sqrt{13}})$
- Mrnhan yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh