Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$M,N \in (E), \widehat{MON} = 90^o$, C/m $MN$ tiếp xúc đường tròn.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 duyenmit

duyenmit

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ba Vì -Hà Tây

Đã gửi 08-03-2007 - 17:36

Cho elip $(E):\frac{ x^{2} }{4}+ \frac{ y^{2} }{9} =1 $. Một góc vuông $\widehat{MON}$ quay quanh gốc tọa độ, với $M,N$ thuộc elip. Chứng minh $MN$ tiếp xúc 1 đường tròn cố định.



#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1901 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 12-01-2014 - 11:51

Cho elip $(E):\frac{ x^{2} }{4}+ \frac{ y^{2} }{9} =1 $. Một góc vuông $\widehat{MON}$ quay quanh gốc tọa độ, với $M,N$ thuộc elip. Chứng minh $MN$ tiếp xúc 1 đường tròn cố định.

Xét $2$ trường hợp :

$1)$ $M$ (và $N$) đều nằm trên các trục tọa độ :

Khi đó ta có $OM=2$ , $ON=3$ hoặc $OM=3$ , $ON=2$ $\Rightarrow MN=\sqrt{OM^2+ON^2}=\sqrt{13}$

$\Rightarrow d(O;MN)=\frac{OM.ON}{MN}=\frac{6}{\sqrt{13}}$ $\Rightarrow MN$ tiếp xúc với đường tròn $(O;\frac{6}{\sqrt{13}})$

 

$2)$ $M$ (và $N$) không nằm trên các trục tọa độ :

Giả sử hệ số góc của $OM$ là $k$ ($k\neq 0$) $\Rightarrow$ hệ số góc của $ON$ là $-\frac{1}{k}$

Gọi hoành độ của $M,N$ lần lượt là $m$ và $n$ $\Rightarrow$ tung độ của $M,N$ lần lượt là $km$ và $-\frac{n}{k}$

$M\in (E)\Rightarrow \frac{m^2}{4}+\frac{(km)^2}{9}=1\Rightarrow (4k^2+9)m^2=36$ (1)

$N\in (E)\Rightarrow \frac{n^2}{4}+\frac{(-\frac{n}{k})^2}{9}=1\Rightarrow (9k^2+4)n^2=36k^2$ (2)

(1),(2) $\Rightarrow (4k^2+9)k^2m^2=(9k^2+4)n^2\Rightarrow n^2=\frac{(4k^4+9k^2)m^2}{9k^2+4}$ (3)

$OM^2=x_{M}^{2}+y_{M}^{2}=m^2+k^2m^2$

$ON^2=x_{N}^{2}+y_{N}^{2}=n^2+\frac{n^2}{k^2}=\frac{(4k^4+9k^2)m^2}{9k^2+4}+\frac{(4k^2+9)m^2}{9k^2+4}$

$\Delta MON$ vuông tại $O$ $\Rightarrow MN^2=OM^2+ON^2=m^2+k^2m^2+\frac{(4k^4+9k^2)m^2}{9k^2+4}+\frac{(4k^2+9)m^2}{9k^2+4}=\frac{(13k^4+26k^2+13)m^2}{9k^2+4}$ 

Ta có $d(O;MN)=\frac{OM.ON}{MN}$ (vì $\Delta MON$ vuông tại $O$)

$OM^2.ON^2=m^2(k^2+1).n^2(\frac{1}{k^2}+1)=m^2n^2(k^2+2+\frac{1}{k^2})=\frac{(4k^4+9k^2)m^4}{9k^2+4}.\frac{k^4+2k^2+1}{k^2}=\frac{(4k^2+9)(k^4+2k^2+1)m^4}{9k^2+4}$

$\Rightarrow \frac{OM^2.ON^2}{MN^2}=\frac{(4k^2+9)m^2}{13}$ (4)

(1),(4) $\Rightarrow \frac{OM^2.ON^2}{MN^2}=\frac{36}{13}$ $\Rightarrow d(O;MN)=\frac{6}{\sqrt{13}}\Rightarrow MN$ tiếp xúc với đường tròn $(O;\frac{6}{\sqrt{13}})$

 

Vậy trong mọi trường hợp ta đều có $MN$ tiếp xúc với đường tròn cố định $(O;\frac{6}{\sqrt{13}})$


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh