Xác định tất cả các hàm số tăng thực sự $f : N$ → $N$ thỏa mãn điều kiện :
$f(n+f(n)) = 2f(n)$
#2
Đã gửi 05-04-2007 - 21:34
TamTam
-
- Thành viên
-
- 67 Bài viết
Hạ sĩ
Đợi lâu chưa có ai đưa ra ý kiến, bùn wá, đành đưa lời giải vậy.
Vì $f$ là hàm tăng thực sự nên ta có : $\large f(n+1) \geq f(n)+1 $, suy ra $\large f(n+1)-(n+1) \geq f(n)-n$ , $
$.
Xây dựng dãy $(x_n)$ như sau :
$x_0 =1, x_{n+1}=x_n+f(x_n)$ với mọi $\large n \in N$
Vì $f$ tăng thực sự nên $x_n$ tiến đến vô cùng khi $n $ tiến đến vô cùng.
$f(x_{n+1}) = f(x_n+f(x_n)) =2f(x_n)$
suy ra
$f(x_{n+1})-x_{n+1} = f(x_n)-x_n$
Từ $
$ cố định $n$, chọn số $k$ sao cho $x_k > n+1$, ta có $f(x_k)-x_k = f(n)-n \geq f(n+1)-(n+1)$, do đó $f(n)-n=f(1)-1$ mọi $\large n \in N$.
Thay vào $\large (gt)$ có $f(1)=1$. Vậy $f(n)=n$.
Vì $f$ là hàm tăng thực sự nên ta có : $\large f(n+1) \geq f(n)+1 $, suy ra $\large f(n+1)-(n+1) \geq f(n)-n$ , $
$.Xây dựng dãy $(x_n)$ như sau :
$x_0 =1, x_{n+1}=x_n+f(x_n)$ với mọi $\large n \in N$
Vì $f$ tăng thực sự nên $x_n$ tiến đến vô cùng khi $n $ tiến đến vô cùng.
$f(x_{n+1}) = f(x_n+f(x_n)) =2f(x_n)$
suy ra
$f(x_{n+1})-x_{n+1} = f(x_n)-x_n$
Từ $
$ cố định $n$, chọn số $k$ sao cho $x_k > n+1$, ta có $f(x_k)-x_k = f(n)-n \geq f(n+1)-(n+1)$, do đó $f(n)-n=f(1)-1$ mọi $\large n \in N$.Thay vào $\large (gt)$ có $f(1)=1$. Vậy $f(n)=n$.
Après la pluie, le beau temps!
#3
Đã gửi 06-04-2007 - 19:10
fecma21
-
- Thành viên
-
- 514 Bài viết
Thiếu úy
OK . lời giả của bạn sẽ có ích cho bài toán này
Tìm $\ f(x) : z -> z $ thỏa mãn
$ f(x+1) = \dfrac{f^2(x)-1}{x} $ và $ \dfrac{f(x)}{x} $ bị chặn .
Tìm $\ f(x) : z -> z $ thỏa mãn
$ f(x+1) = \dfrac{f^2(x)-1}{x} $ và $ \dfrac{f(x)}{x} $ bị chặn .
fecma21
2K ID
T N T
2K ID
T N T
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
