Đến nội dung

Hình ảnh

một bài bdt lượng giác

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1
dalgsohi

dalgsohi

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết
Cho A,B,C là 3 góc tam giác nhọn. Chứng minh rằng:
$(\cos A + \cos B)^2 + (\cos B + \cos C)^2 + (\cos C + \cos A)^2 \leq 3$

#2
abels1

abels1

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết
Giả sử $ A \leq B \leq C$
=>$ cosA \geq cosB \geq cosC$
=>$ (cosA+cosB)^2 \leq 4cos^2A$
tương tự
$ (cosB+cosC)^2 \leq 4cos^2A$
$ (cosA+cosC)^2 \leq 4cos^2A$
Cộng vế theo vế suy ra dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi abels1: 25-03-2007 - 20:02


#3
newmember

newmember

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết
chẳng hiểu gì cả, giải cho đến nơi đến chốn chứ

#4
abels1

abels1

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết
ta có :

$ \dfrac{sinA}{sinB}+\dfrac{sinB}{sinA} \geq 2 $
$ \Leftrightarrow cosAcosB( \dfrac{sinA}{sinB}+\dfrac{sinB}{sinA}) \geq 2cosA.cosB$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} (cotgBsin2A+cotgAsin2B) \geq 2cosA.cosB$ (1)
Tương tự ta có:
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} (cotgBsin2C+cotgCsin2B) \geq 2cosC.cosB$ (2)
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} (cotgAsin2C+cotgCsin2A) \geq 2cosA.cosC$ (3)

Cộng 1,2,3 vế theo vế ta có:
$ \dfrac{1}{2}(cotgA(sin2C+sin2B)+cotgB(sin2A+sin2C)+cotgC(sin2A+sin2B)) \geq $
$2(cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA)$
$ \Leftrightarrow -cos(B+C)cos(B-C)-cos(A+C)cos(A-C)-cos(A+B)cos(A-B) \geq $
$ 2(cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA)$
$ \Leftrightarrow -(cos2A+cos2B+cos2C) \geq 2(cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA)$
$ \Leftrightarrow cos2A+cos2B+cos2C+2(cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA) \leq 0$
$ \Leftrightarrow cos^2A+cos^2B+cos^2C+2(cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA) \leq sin^2A+sin^2B+sin^2C $
$ \Leftrightarrow (cosA+cosB)^2+(cosB+cosC)^2+(cosC+cosA)^2 \leq 3 $

Mỏi tay thật.............. :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi abels1: 26-08-2009 - 15:59


#5
waterblue_90

waterblue_90

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết
bạn abel nhầm rồi thì phải.
phía trên bạn giả sử A<B<C rồi bên dưới lại nói A là góc lớn nhất là sao
THIÊN TÀI + NỖ LỰC = LÊ TRUNG HIẾU

#6
abels1

abels1

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết

bạn abel nhầm rồi thì phải.
phía trên bạn giả sử A<B<C rồi bên dưới lại nói A là góc lớn nhất là sao

tại hôm trước vội quá ,ko để ý lắm , mình đã edit lời giải lại rồi đấy bạn

#7
zabaka

zabaka

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết
hay thật :D mà sao anh able lại có thể nghĩ đến cách xài BDT cô si để cm :delta đọc xong cái đề em chẳng bít làm gì cả

#8
t_toan

t_toan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết
Còn cách giải nào khac không.Chứ giải kiểu này BGK chết mất!
Lên diễn đàn toán học ta phải ghi lại những bài toán hay,bài toán khó đem về nhà để cố gắng tìm tòi ra .....những quyển sách có những bài tương tự mà chép lời giải rồi post lên diễn đàn !???

#9
fecma21

fecma21

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 514 Bài viết
cách giải của mình dễ hiểu hơn . Dùng dồn biến . mời mọi người suy nghĩ .

sau một tuần nếu không ai giải mình sẽ dưad lời giải lên và xóa bài này sau.
fecma21

2K ID

T N T

#10
langtu13

langtu13

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết
Bài này sử dùng CosA + CosB = 2.Sin(C/2).Cos[(A - B)/2] <= 2.Sin(C/2). Sau đó sử dung Jensen cho f(x) = Sin^2(x). Chả biết được không nữa, dạo này lười quá :).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi langtu13: 20-04-2007 - 01:34


#11
chuong_pbc

chuong_pbc

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 370 Bài viết
lời giải này có vẻ thiếu tự nhiên quá
ko biết cách anh fecma21 thế nào
Em giải thế này http://diendantoanho...showtopic=29909

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chuong_pbc: 27-04-2007 - 12:27

Hình đã gửiHình đã gửi




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh