Cho A,B,C là 3 góc tam giác nhọn. Chứng minh rằng:
$(\cos A + \cos B)^2 + (\cos B + \cos C)^2 + (\cos C + \cos A)^2 \leq 3$
một bài bdt lượng giác
Bắt đầu bởi dalgsohi, 22-03-2007 - 20:25
#1
Đã gửi 22-03-2007 - 20:25
#2
Đã gửi 25-03-2007 - 09:03
Giả sử $ A \leq B \leq C$
=>$ cosA \geq cosB \geq cosC$
=>$ (cosA+cosB)^2 \leq 4cos^2A$
tương tự
$ (cosB+cosC)^2 \leq 4cos^2A$
$ (cosA+cosC)^2 \leq 4cos^2A$
Cộng vế theo vế suy ra dpcm
=>$ cosA \geq cosB \geq cosC$
=>$ (cosA+cosB)^2 \leq 4cos^2A$
tương tự
$ (cosB+cosC)^2 \leq 4cos^2A$
$ (cosA+cosC)^2 \leq 4cos^2A$
Cộng vế theo vế suy ra dpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi abels1: 25-03-2007 - 20:02
#3
Đã gửi 26-03-2007 - 20:44
chẳng hiểu gì cả, giải cho đến nơi đến chốn chứ
#4
Đã gửi 27-03-2007 - 21:16
ta có :
$ \dfrac{sinA}{sinB}+\dfrac{sinB}{sinA} \geq 2 $
$ \Leftrightarrow cosAcosB( \dfrac{sinA}{sinB}+\dfrac{sinB}{sinA}) \geq 2cosA.cosB$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} (cotgBsin2A+cotgAsin2B) \geq 2cosA.cosB$ (1)
Tương tự ta có:
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} (cotgBsin2C+cotgCsin2B) \geq 2cosC.cosB$ (2)
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} (cotgAsin2C+cotgCsin2A) \geq 2cosA.cosC$ (3)
Cộng 1,2,3 vế theo vế ta có:
$ \dfrac{1}{2}(cotgA(sin2C+sin2B)+cotgB(sin2A+sin2C)+cotgC(sin2A+sin2B)) \geq $
$2(cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA)$
$ \Leftrightarrow -cos(B+C)cos(B-C)-cos(A+C)cos(A-C)-cos(A+B)cos(A-B) \geq $
$ 2(cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA)$
$ \Leftrightarrow -(cos2A+cos2B+cos2C) \geq 2(cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA)$
$ \Leftrightarrow cos2A+cos2B+cos2C+2(cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA) \leq 0$
$ \Leftrightarrow cos^2A+cos^2B+cos^2C+2(cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA) \leq sin^2A+sin^2B+sin^2C $
$ \Leftrightarrow (cosA+cosB)^2+(cosB+cosC)^2+(cosC+cosA)^2 \leq 3 $
Mỏi tay thật..............
$ \dfrac{sinA}{sinB}+\dfrac{sinB}{sinA} \geq 2 $
$ \Leftrightarrow cosAcosB( \dfrac{sinA}{sinB}+\dfrac{sinB}{sinA}) \geq 2cosA.cosB$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} (cotgBsin2A+cotgAsin2B) \geq 2cosA.cosB$ (1)
Tương tự ta có:
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} (cotgBsin2C+cotgCsin2B) \geq 2cosC.cosB$ (2)
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} (cotgAsin2C+cotgCsin2A) \geq 2cosA.cosC$ (3)
Cộng 1,2,3 vế theo vế ta có:
$ \dfrac{1}{2}(cotgA(sin2C+sin2B)+cotgB(sin2A+sin2C)+cotgC(sin2A+sin2B)) \geq $
$2(cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA)$
$ \Leftrightarrow -cos(B+C)cos(B-C)-cos(A+C)cos(A-C)-cos(A+B)cos(A-B) \geq $
$ 2(cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA)$
$ \Leftrightarrow -(cos2A+cos2B+cos2C) \geq 2(cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA)$
$ \Leftrightarrow cos2A+cos2B+cos2C+2(cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA) \leq 0$
$ \Leftrightarrow cos^2A+cos^2B+cos^2C+2(cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA) \leq sin^2A+sin^2B+sin^2C $
$ \Leftrightarrow (cosA+cosB)^2+(cosB+cosC)^2+(cosC+cosA)^2 \leq 3 $
Mỏi tay thật..............
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi abels1: 26-08-2009 - 15:59
#5
Đã gửi 27-03-2007 - 23:49
bạn abel nhầm rồi thì phải.
phía trên bạn giả sử A<B<C rồi bên dưới lại nói A là góc lớn nhất là sao
phía trên bạn giả sử A<B<C rồi bên dưới lại nói A là góc lớn nhất là sao
THIÊN TÀI + NỖ LỰC = LÊ TRUNG HIẾU
#6
Đã gửi 28-03-2007 - 10:16
tại hôm trước vội quá ,ko để ý lắm , mình đã edit lời giải lại rồi đấy bạnbạn abel nhầm rồi thì phải.
phía trên bạn giả sử A<B<C rồi bên dưới lại nói A là góc lớn nhất là sao
#7
Đã gửi 01-04-2007 - 13:31
hay thật mà sao anh able lại có thể nghĩ đến cách xài BDT cô si để cm đọc xong cái đề em chẳng bít làm gì cả
#8
Đã gửi 01-04-2007 - 19:00
Còn cách giải nào khac không.Chứ giải kiểu này BGK chết mất!
Lên diễn đàn toán học ta phải ghi lại những bài toán hay,bài toán khó đem về nhà để cố gắng tìm tòi ra .....những quyển sách có những bài tương tự mà chép lời giải rồi post lên diễn đàn !???
#9
Đã gửi 15-04-2007 - 10:49
cách giải của mình dễ hiểu hơn . Dùng dồn biến . mời mọi người suy nghĩ .
sau một tuần nếu không ai giải mình sẽ dưad lời giải lên và xóa bài này sau.
sau một tuần nếu không ai giải mình sẽ dưad lời giải lên và xóa bài này sau.
fecma21
2K ID
T N T
2K ID
T N T
#10
Đã gửi 19-04-2007 - 19:31
Bài này sử dùng CosA + CosB = 2.Sin(C/2).Cos[(A - B)/2] <= 2.Sin(C/2). Sau đó sử dung Jensen cho f(x) = Sin^2(x). Chả biết được không nữa, dạo này lười quá .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi langtu13: 20-04-2007 - 01:34
#11
Đã gửi 26-04-2007 - 10:43
lời giải này có vẻ thiếu tự nhiên quá
ko biết cách anh fecma21 thế nào
Em giải thế này http://diendantoanho...showtopic=29909
ko biết cách anh fecma21 thế nào
Em giải thế này http://diendantoanho...showtopic=29909
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chuong_pbc: 27-04-2007 - 12:27
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh