Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Cho A là ma trận vuông cấp n. Cmr $r(A^n) = r(A^{n+1})$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1 thieutoan1B

thieutoan1B

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết

Đã gửi 24-03-2007 - 12:37

1- Cho A là ma trận vuông cấp n. Cmr $r(A^n) = r(A^{n+1})$.
2- Cho A, B là ma trận vuông cấp n thỏa AB = 0. Cmr có ít nhất một trong 2 ma trận
$A + A^{t}$, $B + B^{t}$ là suy biến.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 07-10-2013 - 06:58


#2 toanA37

toanA37

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết

Đã gửi 26-03-2007 - 22:49

Pro1: r(A) :) n. Mặt khác r(A) :D r(A^{2} :D ... =)) r(A^{n}...). Đó là một dãy các số tự nhiên giảm dần. Do đó tồn tại một số K sao cho r(A) =)) r(A^{2} :leq ... :leq r(A^{K}=r(A^{K+1}=...). Dễ thấy K :leq n. Do đó r(A^{n}=r(A^{n+1})).
Pro2: Sử dụng các tính chất cơ bản về hạng của ma trận:
+ r(A+B) :leq r(A)+r(B).
+ r(AB)+n :leq r(A)+r(B).
+ r(A) = r(A^t)
Ta có thể chứng minh được bài toán trong trường hợp n lẻ. Còn với n chẵn thì liệu bài toán còn đúng không????

#3 nguyendangson

nguyendangson

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết

Đã gửi 06-03-2010 - 17:36

Pro1: r(A) :leq n. Mặt khác r(A) :Rightarrow r(A^{2} :D ... :Rightarrow r(A^{n}...). Đó là một dãy các số tự nhiên giảm dần. Do đó tồn tại một số K sao cho r(A) :Rightarrow r(A^{2} :geq ... :geq r(A^{K}=r(A^{K+1}=...). Dễ thấy K :leq n. Do đó r(A^{n}=r(A^{n+1})).
Pro2: Sử dụng các tính chất cơ bản về hạng của ma trận:
+ r(A+B) :leq r(A)+r(B).
+ r(AB)+n :geq r(A)+r(B).
+ r(A) = r(A^t)
Ta có thể chứng minh được bài toán trong trường hợp n lẻ. Còn với n chẵn thì liệu bài toán còn đúng không????

Cai de thay k<=n cua ban co the giai thich ro rang hon duoc khong.
Neu luc do voi k >n thi A^k +1=A^k +n thi sao.

#4 nhungtuyet

nhungtuyet

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 106 Bài viết

Đã gửi 06-03-2010 - 20:06

1- Cho A là ma trận vuông cấp n. Cmr $ r(A^n) = r(A^{n+1}) $
2- Cho A, B là ma trận vuông cấp n thỏa AB = 0. Cmr có ít nhất một trong 2 ma trận
$A + A^{t}, B + B^t $ là suy biến.



Pro1: r(A) :geq n. Mặt khác $r(A) \geq r(A^{2}) \geq ... \geq r(A^{n})...)$. Đó là một dãy các số tự nhiên giảm dần. Do đó tồn tại một số K sao cho $r(A) \geq r(A^{2}) \geq ... \geq r(A^{K})=r(A^{K+1})=... $.
Dễ thấy K :Rightarrow n.
Do đó $ r(A^{n})=r(A^{n+1}) $
Pro2: Sử dụng các tính chất cơ bản về hạng của ma trận:
+ r(A+B) :Rightarrow r(A)+r(B).
+ r(AB)+n :geq r(A)+r(B).
+ r(A) = $ r(A^t)$
Ta có thể chứng minh được bài toán trong trường hợp n lẻ. Còn với n chẵn thì liệu bài toán còn đúng không????


C/m: Tồn tại k để $ A^k \geq A^{k+1} $ và $ k \leq n$
Do $ r(A) \leq r(A^2) \leq...\leq r(A^n) \leq r(A^{n+1} \leq ... $
Đây là dãy số tự nhiên giảm dần ( đến số m nào đó thì $ r(A^m)=0 $)
Nếu mà trong dãy bất đẳng thức trên có dấu bằng thì dễ suy rồi.
Trường hợp xấu nhất là dãy bdt trên đều là dấu > từ r(A) ...đến $ r(A^n) $.
Khi ấy rõ ràng $ r(A^n) = $ 1 hoặc 0.
Nếu mà $r(A^n) =0 $ :geq A=0 :leq $ r(A^{n+1})=0 $
Nếu $r(A^n) =1 $ :leq giả sử $ r(A^n)>r(A^{n+1}) $ thì $ r(A^{n+1})=0 $ :leq $ A^{n+1}=0 $
Ta c/m được nếu $ A^m=0 $ thì $ A^n =0$
:D $ A^n =0 $ :Rightarrow $ r(A^n)=0 $ (trái gt $ r(A^n)=1) $ vậy :Rightarrow $ r(A^n)=r(A^{n+1}) $
Vậy luôn có $ r(A^n)=r(A^{n+1}) $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungtuyet: 06-03-2010 - 20:10


#5 vuthanhtu_hd

vuthanhtu_hd

    Tiến sĩ Diễn Đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 1189 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:ngủ ^^

Đã gửi 06-03-2010 - 23:15

1- Cho A là ma trận vuông cấp n. Cmr r(A^n) = r(A^{n+1}).
2- Cho A, B là ma trận vuông cấp n thỏa AB = 0. Cmr có ít nhất một trong 2 ma trận
A + A^{t}, B + B^{t} là suy biến.

Bài 1 là đề thi OLP Toán,Đại số năm 1997 :Rightarrow

Nếu một ngày bạn cảm thấy buồn và muốn khóc,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi không hứa sẽ làm cho bạn cười nhưng có thể tôi sẽ khóc cùng với bạn.
Nếu một ngày bạn muốn chạy chốn tất cả hãy gọi cho tôi.
Tôi không yêu cầu bạn dừng lại nhưng tôi sẽ chạy cùng với bạn.
Và nếu một ngày nào đó bạn không muốn nghe ai nói nữa,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi sẽ đến bên bạn và chỉ im lặng.
Nhưng nếu một ngày bạn gọi đến tôi mà không thấy tôi hồi âm...
Hãy chạy thật nhanh đến bên tôi vì lúc đó tôi mới là người cần bạn.

______________________
__________________________________
Vu Thanh TuUniversity of Engineering & Technology


#6 nhungtuyet

nhungtuyet

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 106 Bài viết

Đã gửi 06-03-2010 - 23:27

Đề năm 97 là thế này:
Chứng minh rằng với 1 ma trận vuông cấp n cho trước trên trường số thực, đều tìm được số nguyên n sao cho hạng
$ r(A^k)=r(A^{k+1}) \gamma k \geq n $
Anh vuthanhtu_hd học ĐH Công nghệ à!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungtuyet: 06-03-2010 - 23:31


#7 vuthanhtu_hd

vuthanhtu_hd

    Tiến sĩ Diễn Đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 1189 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:ngủ ^^

Đã gửi 06-03-2010 - 23:40

Đề năm 97 là thế này:
Chứng minh rằng với 1 ma trận vuông cấp n cho trước trên trường số thực, đều tìm được số nguyên n sao cho hạng
$ r(A^k)=r(A^{k+1}) \gamma k \geq n $
Anh vuthanhtu_hd học ĐH Công nghệ à!

Mình mới năm thứ nhất thôi,chắc ít tuổi hơn bạn :Rightarrow

Nếu một ngày bạn cảm thấy buồn và muốn khóc,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi không hứa sẽ làm cho bạn cười nhưng có thể tôi sẽ khóc cùng với bạn.
Nếu một ngày bạn muốn chạy chốn tất cả hãy gọi cho tôi.
Tôi không yêu cầu bạn dừng lại nhưng tôi sẽ chạy cùng với bạn.
Và nếu một ngày nào đó bạn không muốn nghe ai nói nữa,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi sẽ đến bên bạn và chỉ im lặng.
Nhưng nếu một ngày bạn gọi đến tôi mà không thấy tôi hồi âm...
Hãy chạy thật nhanh đến bên tôi vì lúc đó tôi mới là người cần bạn.

______________________
__________________________________
Vu Thanh TuUniversity of Engineering & Technology


#8 nhungtuyet

nhungtuyet

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 106 Bài viết

Đã gửi 07-03-2010 - 00:20

Sao bạn đoán là ít tuổi hơn!
Nếu bạn không học trước lớp thì bằng tuổi rùi!

#9 HUS

HUS

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

Đã gửi 14-03-2010 - 22:39

không ai viết bài 2 ah? bài này chỉ đúng cho trường hợp $n$ lẻ.
giả sử $A+A^T$ là ma trận khả nghịch, thế thì $n=rank(A+A^T) \leq rankA+rankA^T=2rankA$ =>$ rankA \geq \dfrac{n}{2}$ =>$rankA \geq \dfrac{n+1}{2}$. ta có $n=n+rankAB \geq rankA+rankB \geq \dfrac{n+1}{2}+rankB$ => $rankB \leq \dfrac{n-1}{2}$
và do đó $rank(B+B^T) \leq rankB+rankB^T=2rankB \leq n-1$ suy ra $B+B^T$ suy biến. ok

#10 okbabi

okbabi

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-03-2012 - 12:58

Pro1: r(A) :leq n. Mặt khác r(A) Hình đã gửi r(A^{2} Hình đã gửi ... :leq r(A^{n}...). Đó là một dãy các số tự nhiên giảm dần. Do đó tồn tại một số K sao cho r(A) :leq r(A^{2} :leq ... :leq r(A^{K}=r(A^{K+1}=...). Dễ thấy K :leq n. Do đó r(A^{n}=r(A^{n+1})).
Pro2: Sử dụng các tính chất cơ bản về hạng của ma trận:
+ r(A+B) :leq r(A)+r(B).
+ r(AB)+n :leq r(A)+r(B).
+ r(A) = r(A^t)
Ta có thể chứng minh được bài toán trong trường hợp n lẻ. Còn với n chẵn thì liệu bài toán còn đúng không????

bài 2 chỉ chứng minh được khi n là số lẻ còn số chẳn k CM được !:P

#11 redline

redline

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 70 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 24-03-2012 - 00:00

bài 2 chỉ chứng minh được khi n là số lẻ còn số chẳn k CM được ! :P


Nói chung bài 2 sai khi $n$ là số chẵn. Ví dụ khi $n=2$ ta xét hai ma trận thực là

$A= \begin{bmatrix} -1 & 1\\ -1& 1 \end{bmatrix}$ và $B=\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 2 & 1\end{bmatrix}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redline: 24-03-2012 - 00:13


#12 redline

redline

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 70 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 24-03-2012 - 00:56

bài 2 chỉ chứng minh được khi n là số lẻ còn số chẳn k CM được ! :P


Trường hợp $n=2m$ là một số chẵn dương bất kỳ, ta xây dựng ma trận $A$ cấp $n$ sao cho $A^2=O$ và ma trận $A+A^t$ khả nghịch như sau: Gọi $E_m$ là ma trận đơn vị cấp $m$; $O_m$ là ma trận không cấp $m$. Khi đó $A$ xác định từ ma trận khối như sau:
$A= \begin{bmatrix} O_m & O_m \\ E_m & O_m \end{bmatrix}$
thỏa mã yêu cầu trên.

#13 okbabi

okbabi

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 24-03-2012 - 22:00

ừa :D




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh