Chủ đề này có 22 trả lời

[t_toan]

Đề 10T THPT Tx Cao Lãnh

Bài 1:Giải phương trình:
$\sqrt{2+2x^2-x^4}+4\sqrt{1-x^2}+x^2=5$

Bài 2:Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện:
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1$Chứng minh rằng:
$\sqrt[4]{x^2+y^2+z^2} \geq \dfrac{\sqrt{(1+x)}+\sqrt{(1+y)}+\sqrt{(1+z)}}{2.\sqrt[4]{3}}$
Dấu "=" xảy ra khi nào?

Bài 3:Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện:
$\sum{\sqrt[3]{\sin\dfrac{A}{4}}}=\dfrac{3.\sqrt[3]{2\sqrt{6}-2\sqrt{2}}}{2}$
Hỏi tam giác ABC có tính chất gì?

Bài 4:
a)Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x,y) sao cho:
$\dfrac{x^2-3}{xy^2-1}$ là 1 số nguyên dương.
b)Cho x là 1 số thực sao cho $x^3-x$ và $x^4-x$ đều là các số nguyên.Chứng minh rằng x là 1 số nguyên (Trích Olympic 30-4-1999)

Bài 5:Cho tam giac ABC thỏa mãn điều kiện :Tổng 2 cạnh bất kì trừ đi 2 luôn bằng 1/2 lần tích hai cạnh đó.Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giac ABC .Tính:
$M=a.IA^2+p.(1-tan\dfrac{A}{2}.tan\dfrac{C}{2}).IB^2+r.(cot\dfrac{A}{2}+cot\dfrac{B}{2}).IC^2$

Bài 6:Cho tam giác ABC,đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC,CA,AB lần lượt tại M,N,P.
Đặt: NP=a', PM=b', MN=c'
Chứng minh rằng:
$(a^2+b^2+c^2)(\dfrac{1}{a'^2}+\dfrac{1}{b'^2}+\dfrac{1}{c'^2}) \geq 36.$
(Trích Olympic 30-4-2004)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi t_toan: 18-01-2008 - 10:46

[MyLoveIs4Ever]

Thời gian làm bài là 2 ngày nha đến 12h thứ ba là hết hạn

[t_toan]

OK.Đến hết 12h thứ ba thì cho các cao thủ khác ra tay

[MyLoveIs4Ever]

Giải nha :
2) $\large\ VT \geq \dfrac{\sqrt{x+y+z}}{\sqrt[4]3}; \sum(1+x) \leq \sqrt{3(3+\sum x)} $
TA CM:
$\large\ 2\sqrt{x+y+z} \geq \sqrt{3(3+\sum x)} $
<=> x+y+z 9 đúng do $\large\ (\sum x)(\sum\dfrac{1}{x}) \geq 9 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doanquocdung: 01-04-2007 - 21:22

[MyLoveIs4Ever]

3) B.C.S ta có $\large\ VT \leq \sqrt[3]{(sinA/4+sinB/4+sinC/4)9} $
và $\large\ sinA/4+sinB/4+sinC/4 \leq 3sin[(A+B+C)/12]=3sin(\pi/12)=sin 15= \dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4} $
=>
VT VP dấu = xảy ra khi tam giác ABC đều

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doanquocdung: 01-04-2007 - 21:28

[MyLoveIs4Ever]

4)a) Cái này mình giải ko chắc lém để mai tham khảo thèng bạn:
Ta có $\large\dfrac{x^2-3}{xy^2-1}=k $ nguyên dương.
<=> $\large\ x^2-3-kxy^2+k=0$,$\large\delta = k^2y^4-4k+12 $
Để x nguyên dương thì delta fãi biểu diễn được dưới dạng $\large\ (ky^2-\alpha)^2$ =>k fải là 3 do delta ko chưa đại lượng y^2.
Với k=3 thì $\large\ x=3y^2$ hoặc x=y=0 vậy$\large\ (x;y)=(0;0),(3\alpha^2;\alpha) $ với nguyên dương
b) giả sử x ko nguyên =>x được biểu diễn được dưới dạng $\large\ x=\dfrac{p}{q}$ với p,q nguyên và p khác tq
ta có $\large(\dfrac{p}{q})^3[\dfrac{p-q}{q}] \in N $
do p/q ko nguyên nên để số này nguyên thì $\large\dfrac{p-q}{q}=\dfrac{zq^3}{p^3} $
=>$\large\ p-q=\dfrac{zq^4}{p^3}$ nguyên=>q=Mp trái giả thiết => x nguyên
----------------------------------------------------
Hai bài này ko chắc chắn lém ai tìm ra lỗi sai PM em nha Thanks

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doanquocdung: 01-04-2007 - 21:56

[MyLoveIs4Ever]

5)Theo giả thiết thì ta có tam giác ABC fãi thỏa 1 trong 3 cái sau:

a+b=1/2ab+2
b+c=1/2bc+2
c+a=1/2ac+2
=> tam giác ABC fãi tồn tại ít nhất 1 cạnh=2 và nhiều nhất là 2 cạnh=2 nếu thỏa 1 trong 3 giả thiết trên...
Ta có $\large\ p(1-tanA/2tanC/2)=\dfrac{2R.4cosA/2cosB/2cosC/2}{2}.\dfrac{sinB/2}{cosA/2cosC/2} $=2RsinB=b.
và c=r(cotA/2+cotB/2) nên M=$\large\ aIA^2+bIB^2+cIC^2=abc$ (cái này mình đã CM rùi nha Tuấn)=2bc;=2ac;=2ab hoặcM=4a;=4b;=4c

[MyLoveIs4Ever]

6)
Ta có $\large\ a'^2=4AP^2sin^2A/2=4(p-a)^2(\dfrac{1-cosA}{2})^2=\dfrac{[b^2-(a-c)^2][c^2-(a-b)^2]}{4bc} \leq \dfrac{bc}{4} $
Cm tương tự cho 2 cái kia
$\large\ (a^2+b^2+c^2)(\dfrac{1}{a'^2}+\dfrac{1}{b'^2}+\dfrac{1}{c'^2}) \geq 4(ab+bc+ac)(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{bc}) \geq 36 $.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doanquocdung: 01-04-2007 - 22:08

[MyLoveIs4Ever]

Bài 1 chả biết làm sao nữa:
$\large\sqrt{3-(1-x^2)^2}+4\sqrt{1-x^2}+x^2-1=4 $
Đặt t=$\large\sqrt{1-x^2} $ ta có:
$\large\sqrt{3-t^4}=(2-t)^2$ đến đây chắc dùng cách giải pt bậc 4 của Ferrari wá HICHIC Bài này mình chịu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doanquocdung: 04-04-2007 - 14:46

[t_toan]

Bài 4a bạn giải thiếu nghiệm rùi đó xem lại đi,còn bài b để mình xem lại nhá!
(Ông bạn cho đê2 sao khó quá !hic hic)...đợi thứ ba nhe!

[MyLoveIs4Ever]

Đúng là hơi khó thật 2 bài số học và bài bất đẳng thức hơi trâu HIHI

[t_toan]

3) B.C.S ta có $\large\ VT \leq \sqrt[3]{(sinA/4+sinB/4+sinC/4)9} $
và $\large\ sinA/4+sinB/4+sinC/4 \leq 3sin[(A+B+C)/12]=3sin(\pi/12)=sin 15= \dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4} $
=>
VT VP dấu = xảy ra khi tam giác ABC đều

Cái đó đâu phải BĐT B.C.S hở bác.
Khi đi thi (lớp 10) đâu ai cho dùng BĐT này .Bạn phải dùng cách giải phù hợp với lớp 10 mới được.

[t_toan]

b) giả sử x ko nguyên =>x được biểu diễn được dưới dạng $\large\ x=\dfrac{p}{q}$ với p,q nguyên và p khác tq
ta có $\large(\dfrac{p}{q})^3[\dfrac{p-q}{q}] \in N $
do p/q ko nguyên nên để số này nguyên thì $\large\dfrac{p-q}{q}=\dfrac{zq^3}{p^3} $
=>$\large\ p-q=\dfrac{zq^4}{p^3}$ nguyên=>q=Mp trái giả thiết => x nguyên

Mình thấy không ổn chỗ nào ấy .Chỉ cần $(p-q)$ chia hết cho $q^4$ là được rùi mà bạn.Nhưng để suy ra điều đó thì bạn phải cm $(p^3,p-q)=1$ mới được...

[MyLoveIs4Ever]

Ờ hé mà bài 4a T liệt kê nghiệm cho D nha....bài bdt LG là bdt holder mà T(hay bdt B.C.S mở rộng) cái này có trong chương trình mà.....

[t_toan]

Sau đây là lời giải chi tiết của mình(Bác chú ý nhé)

[t_toan]

Bài 1:Đặt $y=\sqrt{1-x^2}$

Phương trình đã cho trở thành: $\sqrt{3-y^4}=(y-2)^2$

$ \Leftrightarrow$ $y^4+(y-2)^4=3$

Phương trình này đã có cách giải ở nhiều tài liệu.
Tìm được y ta suy ra x.

Kết quả: $x=\sqrt{1-(1-\sqrt{\dfrac{\sqrt{38}-6}{2}})^2 $

[t_toan]

Bài 2:
Ta có BDT hiển nhiên sau:

$x^2+y^2+z^2 \geq \dfrac{(x+y+z)^2}{3}=\dfrac{(\dfrac{x+1}{1+\dfrac{1}{x}}+\dfrac{y+1}{1+\dfrac{1}{y}}+\dfrac{z+1}{1+\dfrac{1}{z}})^2}{3} \geq \dfrac{(\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}+\sqrt{z+1})^4}{3(3+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})^2}=\dfrac{(\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}+\sqrt{z+1})^4}{3.4^2} $

Căn bậc 4 hai vế ta có được điều phải chứng minh.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=3

[t_toan]

Bài 3:Ta dễ dàng chứng minh BDT sau với a,b dương:

$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b} \leq 2.\sqrt[3]{\dfrac{a+b}{2}$

Bất đằng thức cần chứng minh tương đương với $a+b \geq \sqrt[3]{a.b}.(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b.

Áp dụng BDT trên ta có:

$\sqrt[3]{\sin\dfrac{A}{4}}+\sqrt[3]{\sin\dfrac{B}{4}} \leq 2.\sqrt[3]{\dfrac{\sin\dfrac{A}{4}+\sin\dfrac{B}{4}}{2}}= 2.\sqrt[3]{\sin\dfrac{A+B}{8}.\cos\dfrac{A-B}{8}} \leq 2.\sqrt[3]{\sin\dfrac{A+B}{8}$

Tương tự ta cũng có

$\sqrt[3]{\sin\dfrac{C}{4}}+\sqrt[3]{\sin\dfrac{\pi}{12}} \leq 2.\sqrt[3]{\sin\dfrac{C+\dfrac{\pi}{3}}{8}$

Và ta cũng có:$\sqrt[3]{\sin\dfrac{A+B}{8}}+\sqrt[3]{\sin\dfrac{C+\dfrac{\pi}{3}}{8}} \leq 2.\sqrt[3]{\sin\dfrac{\pi}{12}$

Từ đây suy ra:$\sqrt[3]{\sin\dfrac{A}{4}}+\sqrt[3]{\sin\dfrac{B}{4}} +\sqrt[3]{\sin\dfrac{C}{4}} \leq 3.\sqrt[3]{\sin\dfrac{\pi}{12}}=\dfrac{3.\sqrt{2.\sqrt{6}-2.\sqrt{2}}}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.

[t_toan]

Bài 4a:
Trường hợp 1:Xét $\dfrac{x^2-3}{x.y^2-1}=1 \Rightarrow x=2,y=1.$

Trường hợp 2:Xét $\dfrac{x^2-3}{x.y^2-1}=2 \Rightarrow $ko t?#8220;n tại x,y tự nhiên

Trường hợp 3:Xét $\dfrac{x^2-3}{x.y^2-1}=3 \Rightarrow y=t,x=3.t^2$ (t tự nhiên)

Xét trường hợp :$\dfrac{x^2-3}{x.y^2-1}=k$ với k>3. (k tự nhiên)

Hay:$x.(k.y^2-x)=k-3$


Vì k>3 nên

$x<k-3 $ (1) và

$k.y^2-x<k-3$ hay $x>k.y^2-k+3$

Từ (1) suy ra $k-3>k.y^2-k+3$

Hay $y^2<\dfrac{2.(k-3)}{k}<2$

Suy ra $y=1 \Rightarrow x=2$

Vậy pt có nghiệm $(x,y)=(2,1),(3.t^2,t)$ với t tự nhiên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi t_toan: 05-04-2007 - 11:34

[t_toan]

Bài 4b:Vì $x^3-x$ và $x^4-x$ đều là các số nguyên nên

$x^3-x^4$ cũng là số nguyên.

G/s x không là số nguyên.

Suy ra $x=\dfrac{a}{b}$ với $(a,b)=1$ hoặc $(a,b)=-1$ và b khác +1 và -1.

Suy ra $\dfrac{a^3.(b-1)}{b^3.b}$ là số nguyên. (1)

Ta dễ dàng nhận thấy $(b-a,a)=1$ (hoặc -1)

$\Rightarrow (b-a,a^3)=1$ (hoặc -1)

Vậy từ (1) ta có thể suy ra $(b-a) $chia hết cho $b^4$

$\Rightarrow b-a$ chia hết cho $b \Rightarrow a$ chia hết cho b.Trái với g/t $(a,b)=1$ hoặc -1 ,b khác +1 và -1/

Vậy x phải là 1 số nguyên.