Chủ đề này có 1 trả lời

[chien than]

Biết $x;y;z>0$ thõa mãn:

$x^2+xy+\dfrac{y^2}{3}=25$
$\dfrac{y^2}{3}+z^2=9$
$z^2+xz+x^2=16$

Tính GTBT:

$A=xy+2yz+3xz$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 04-09-2011 - 11:12

[Hoang Thi Thao Hien]

Biết $x;y;z>0$ thõa mãn:

$\left\{\begin{matrix} x^2+xy+\dfrac{y^2}{3}=25\\ \frac{y^2}{3}+z^2=9\\ z^2+xz+x^2=16 \end{matrix}\right.$

Tính GTBT:

$A=xy+2yz+3xz$

Bổ đề 1: $\bigtriangleup ABC$ có $\widehat{BAC}=120^{\circ}$ thì $ AB^2+AC.AB+AC^2 = BC^2$

Chứng minh:

Kẻ $BH\perp AC$, ta có: $\widehat{BAH}=60^{\circ}$ nên $HB=\frac{\sqrt{3}AB}{2}$,$HA=\frac{AB}{2}$ nên theo đinh lý Py-ta-go: $BH^2+HC^2=BC^2\Leftrightarrow \frac{3AB^2}{4}+\frac{AB^2}{4}+AB.AC+AC^2=BC^2\Leftrightarrow AB^2+AC.AB+AB^2=BC^2$(đpcm)

Bổ đề 2: Nếu $bigtriangle ABC$ có $\widehat{BAC}=150^{\circ}$ thì $ AB^2+\sqrt{3}AB.AC+AC^2 = BC^2$. Chứng minh tương tự bổ đề 1

Trở lại bài toán: Ta vẽ$bigtriangle ABC$vuông tại C có $AC=3, CD=4, =5$. Lấy B nằm trong tam giác sao cho $\widehat{AOB}=90^{\circ}, \widehat{BOC}=120^{\circ}, \widehat{AOC}=150^{\circ}$

Đặt $AB=\frac{y}{\sqrt{3}}, BC=z, BD=x$, theo bổ đề 1, 2, ta dễ dàng chứng minh được $x,y,z$ thỏa mãn:$\left\{\begin{matrix} x^2+xy+\dfrac{y^2}{3}=25\\ \frac{y^2}{3}+z^2=9\\ z^2+xz+x^2=16 \end{matrix}\right.$. Mà $S_{ACD}=S_{ABC}+S_{BCD}+S_{ABD}=\frac{yz}{2\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}xz}{4}+\frac{xy}{4\sqrt{3}}=6$

$\Rightarrow xy+2yz+3zx=24\sqrt{3}$

 

@@Raito: bạn có thể tham khảo vài dạng bổ đề như trên tại đây

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Yagami Raito: 22-02-2014 - 23:58