$x^2+xy+\dfrac{y^2}{3}=25$
$\dfrac{y^2}{3}+z^2=9$
$z^2+xz+x^2=16$
$A=xy+2yz+3xz$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 04-09-2011 - 11:12
$x^2+xy+\dfrac{y^2}{3}=25$
$\dfrac{y^2}{3}+z^2=9$
$z^2+xz+x^2=16$
$A=xy+2yz+3xz$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 04-09-2011 - 11:12
Biết $x;y;z>0$ thõa mãn:
$\left\{\begin{matrix} x^2+xy+\dfrac{y^2}{3}=25\\ \frac{y^2}{3}+z^2=9\\ z^2+xz+x^2=16 \end{matrix}\right.$
Tính GTBT:$A=xy+2yz+3xz$
Bổ đề 1: $\bigtriangleup ABC$ có $\widehat{BAC}=120^{\circ}$ thì $ AB^2+AC.AB+AC^2 = BC^2$
Chứng minh:
Kẻ $BH\perp AC$, ta có: $\widehat{BAH}=60^{\circ}$ nên $HB=\frac{\sqrt{3}AB}{2}$,$HA=\frac{AB}{2}$ nên theo đinh lý Py-ta-go: $BH^2+HC^2=BC^2\Leftrightarrow \frac{3AB^2}{4}+\frac{AB^2}{4}+AB.AC+AC^2=BC^2\Leftrightarrow AB^2+AC.AB+AB^2=BC^2$(đpcm)
Bổ đề 2: Nếu $bigtriangle ABC$ có $\widehat{BAC}=150^{\circ}$ thì $ AB^2+\sqrt{3}AB.AC+AC^2 = BC^2$. Chứng minh tương tự bổ đề 1
Trở lại bài toán: Ta vẽ$bigtriangle ABC$vuông tại C có $AC=3, CD=4, =5$. Lấy B nằm trong tam giác sao cho $\widehat{AOB}=90^{\circ}, \widehat{BOC}=120^{\circ}, \widehat{AOC}=150^{\circ}$
Đặt $AB=\frac{y}{\sqrt{3}}, BC=z, BD=x$, theo bổ đề 1, 2, ta dễ dàng chứng minh được $x,y,z$ thỏa mãn:$\left\{\begin{matrix} x^2+xy+\dfrac{y^2}{3}=25\\ \frac{y^2}{3}+z^2=9\\ z^2+xz+x^2=16 \end{matrix}\right.$. Mà $S_{ACD}=S_{ABC}+S_{BCD}+S_{ABD}=\frac{yz}{2\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}xz}{4}+\frac{xy}{4\sqrt{3}}=6$
$\Rightarrow xy+2yz+3zx=24\sqrt{3}$
@@Raito: bạn có thể tham khảo vài dạng bổ đề như trên tại đây
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Yagami Raito: 22-02-2014 - 23:58
Tử Vụ, chàng còn nhớ không, lần đầu chúng ta gặp nhau, trời cũng mưa.
Gặp nhau dưới mưa, tựa như trong ý họa tình thơ.
Bên bờ dương liễu Giang Nam, dưới mái hiên ngói xanh, tầng tầng mưa phùn mông lung.
Lúc đó ta chỉ là một ca cơ không chút danh tiếng, mà chàng là vị Hầu gia quần là áo lượt nhàn tản.
Trong mưa gặp nhau, dây dưa cả đời.
Một đời Tang Ca như mưa bụi mông lung, vui sướng vì gặp được chàng, tan đi cũng vì chàng, bất hối.
~Tang Ca~
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh