Chủ đề này có 1 trả lời

[yoomit]

Tìm số nguyên tố p để phương trình sau có nghiệm nguyên:
$ 4a^2+4ab+5b^2=p$
p/s:Bạn nhớ đánh có dấu và LaTeXnhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 16-07-2011 - 09:37
Latex

[nguyenta98]

Tìm số nguyên tố p để phương trình sau có nghiệm nguyên:
$ 4a^2+4ab+5b^2=p$
p/s:Bạn nhớ đánh có dấu và LaTeXnhé.

Giải như sau:
Nhận thấy $4a^2+4ab+5b^2=p \Rightarrow (b+2a)^2+(2b)^2=p$
Thấy $(b+2a)^2+(2b)^2 \equiv 0,1 \pmod{4}$
Do đó $p \equiv 0,1 \pmod{4}$ nhưng $p$ nguyên tố nên $p \equiv 1 \pmod{4}$
Và đây chính là định lý Fermat-Euler, xem chứng minh tại đây http://vi.wikipedia....số_chính_phương
Như vậy $p \equiv 1 \pmod{4}$ thì tồn tại $x^2+y^2=p$ rõ ràng $x,y$ có một số chẵn, một số lẻ
TH1: $b$ chẵn suy ra $(2b)^2 \vdots 8$ mà $p$ lẻ nên $(b+2a)^2$ lẻ suy ra $b+2a$ lẻ mà $b$ chẵn nên suy ra mâu thuẫn
TH2: $b$ lẻ suy ra theo định lý Fermat-Euler nêu trên thì $(b+2a)^2+(2b)^2=p=x^2+y^2$ và $x,y$ có một số chẵn và một số lẻ
Giả sử $x$ lẻ và $y$ chẵn suy ra $x=b+2a$ còn $y=2b$ mà $y$ chẵn nên rõ ràng $b$ nguyên và $\dfrac{x-b}{2}=a$ mà $x,b$ lẻ nên rõ ràng $a$ nguyên
Vậy $\boxed{p=4k+1}$