Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Tìm số nguyên tố p để pt có nghiệm nguyên


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 yoomit

yoomit

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10 TOAN QUANG BINH

Đã gửi 04-04-2007 - 22:30

Tìm số nguyên tố p để phương trình sau có nghiệm nguyên:
$ 4a^2+4ab+5b^2=p$
p/s:Bạn nhớ đánh có dấu và LaTeXnhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 16-07-2011 - 09:37
Latex


#2 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 17-07-2012 - 16:53

Tìm số nguyên tố p để phương trình sau có nghiệm nguyên:
$ 4a^2+4ab+5b^2=p$
p/s:Bạn nhớ đánh có dấu và LaTeXnhé.

Giải như sau:
Nhận thấy $4a^2+4ab+5b^2=p \Rightarrow (b+2a)^2+(2b)^2=p$
Thấy $(b+2a)^2+(2b)^2 \equiv 0,1 \pmod{4}$
Do đó $p \equiv 0,1 \pmod{4}$ nhưng $p$ nguyên tố nên $p \equiv 1 \pmod{4}$
Và đây chính là định lý Fermat-Euler, xem chứng minh tại đây http://vi.wikipedia....số_chính_phương
Như vậy $p \equiv 1 \pmod{4}$ thì tồn tại $x^2+y^2=p$ rõ ràng $x,y$ có một số chẵn, một số lẻ
TH1: $b$ chẵn suy ra $(2b)^2 \vdots 8$ mà $p$ lẻ nên $(b+2a)^2$ lẻ suy ra $b+2a$ lẻ mà $b$ chẵn nên suy ra mâu thuẫn
TH2: $b$ lẻ suy ra theo định lý Fermat-Euler nêu trên thì $(b+2a)^2+(2b)^2=p=x^2+y^2$ và $x,y$ có một số chẵn và một số lẻ
Giả sử $x$ lẻ và $y$ chẵn suy ra $x=b+2a$ còn $y=2b$ mà $y$ chẵn nên rõ ràng $b$ nguyên và $\dfrac{x-b}{2}=a$ mà $x,b$ lẻ nên rõ ràng $a$ nguyên
Vậy $\boxed{p=4k+1}$




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh