Chủ đề này có 176 trả lời

[banhgaongonngon]

Cho hỏi cách chứng minh hệ quả này với.

Áp dụng BĐT$Cauchy-Schwarz$ ta có

$\left [ \left ( \sqrt{b_{1}} \right )^{2}+\left ( \sqrt{b_{2}} \right )^{2}+...+\left ( \sqrt{b_{n}} \right )^{2} \right ]\left [ \left ( \frac{a_{1}}{\sqrt{b_{1}}} \right )^{2}+\left ( \frac{a_{2}}{\sqrt{b_{2}}} \right )^{2}+...+ \left ( \frac{a_{n}}{\sqrt{b_{n}}} \right )^{2}\right ]\geq (a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{2}$

[nguyencuong123]

Cho 2 số thực a,b thoả mãn a > b và ab<0.
Tìm Min của A= $\left ( a-b \right )^{2}+\left ( a-b+\frac{1}{a}-\frac{1}{b} \right )^{2}$

[nguyencuong123]

Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn $a+b+c= 1$ .Chứng minh rằng :
$\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\leq \frac{1}{4}$

[banhgaongonngon]

Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn $a+b+c= 1$ .Chứng minh rằng :
$\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\leq \frac{1}{4}$

Ta có $\sum \frac{ab}{c+1}=\sum \frac{ab}{(a+c)+(b+c)}\leq \frac{1}{4}\left ( \sum \frac{ab}{a+c}+\sum \frac{ab}{b+c} \right )=\frac{1}{4}(a+b+c)$

[Oral1020]

Cho 2 số thực a,b thoả mãn a > b và ab<0.
Tìm Min của A= $\left ( a-b \right )^{2}+\left ( a-b+\frac{1}{a}-\frac{1}{b} \right )^{2}$

Đại nhé.
Theo $C-S$,ta có:
$A \ge \dfrac{(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b})^2}{2} \ge 0$
Dấu $=$ chỉ xảy ra khi $a=b$ nhưng do $a;b$ trái dấu
$\Longrightarrow a=b=0$
Mà mình thấy ngay lúc đầu thì là tổng hai bình phương luôn lơn hoặc bằng $0$,suy ra ngay cũng được mà

[banhgaongonngon]

Đại nhé.
Theo $C-S$,ta có:
$A \ge \dfrac{(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b})^2}{2} \ge 0$
Dấu $=$ chỉ xảy ra khi $a=b$ nhưng do $a;b$ trái dấu
$\Longrightarrow a=b=0$
Mà mình thấy ngay lúc đầu thì là tổng hai bình phương luôn lơn hoặc bằng $0$,suy ra ngay cũng được mà

Hình như bài của e sai rồi
$ab<0\Rightarrow a,b\neq 0$

[nguyencuong123]

Cho các số thực không âm a,b,c thoả mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

Chứng minh rằng :
$\frac{a}{a^{2}+2b+3}+\frac{b}{b^{2}+2c+3}+\frac{c}{c^{2}+2a+3}\leq \frac{1}{2}$

[backieuphong]

Cho 1/x + 1/y = 1/2
Tim Max
M = $\frac{1}{x^4+y^2+2xy^2}+\frac{1}{x^2+y^4+2x^2y}$

[Zaraki]

Cho x,y,z > 2 t/m $\sum \frac{1}{x}=1$
Tìm min : $P=\left ( x-2 \right )\left ( y-2 \right )\left ( z-2 \right )$

Lời giải. Đặt $x-2=a,y-2=b,z-2=c$. Khi đó thì $\frac{1}{a+2}+ \frac{1}{b+2}+ \frac{1}{c+2}=1$.
Ta cần tìm giá trị lớn nhất $P=abc$.

Hướng 1. Từ giả thiết thì $$\begin{aligned} \frac{1}{a+2} & = \left( \frac 12- \frac{1}{b+2} \right)+ \left( \frac 12 - \frac{1}{c+2} \right) \\ & = \frac{b}{2(b+2)}+ \frac{c}{2(c+2)} \\ & \ge \sqrt{ \frac{bc}{(b+2)(c+2)}} \end{aligned}$$
Tương tự thì $\frac{1}{b+2} \ge \sqrt{ \frac{ac}{(a+2)(c+2)}}, \; \frac{1}{c+2} \ge \sqrt{ \frac{ab}{(a+2)(b+2)}}$.
Nhân ba BĐT trên ta được $P=abc \le 1$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=3$.

Hướng 2. Từ giả thiết ta suy ra $\frac{a}{a+2}+ \frac{b}{b+2}+ \frac{c}{c+2}=1$. Ta đặt $m= \frac{a}{a+2}, \; n= \frac{b}{b+2}, \; p= \frac{c}{c+2}$.
Khi đó $m+n+p=1$. Ta có $m=1- \frac{2}{a+2}= m+n+p- \frac{2}{a+2} \Rightarrow n+p= \frac{2}{a+2} \Rightarrow a= \frac{2}{n+p}-2= \frac{2m}{n+p}$.
Tương tự thì $b= \frac{2n}{p+m}, \; c= \frac{2p}{m+n}$. Bất đẳng thức trở thành $$\frac{2m}{n+p} \cdot \frac{2p}{m+n} \cdot \frac{2n}{m+p} \le 1 \Leftrightarrow (m+n)(n+p)(p+m) \ge 8mnp$$
Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng theo AM-GM.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=3$.

[Oral1020]

Mọi người làm hộ mình bài này : Cho a,b,c là độ dài 3 cạch của 1 tam giác, a+b+c=2. CMR:
$\frac{52}{27}\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc<2$

Bạn xem tại đây

[barcavodich]

Một BĐT khá đơn giản mời các bạn góp ý
Cho các số $a, b, c$ dương CMR
$\frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}+\frac{bc^2}{b^2+2c^2+a^2}+\frac{ca^2}{c^2+2a^2+b^2}\leq \frac{a+b+c}{4}$

[duong vi tuan]

Một BĐT khá đơn giản mời các bạn góp ý
Cho các số $a, b, c$ dương CMR
$\frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}+\frac{bc^2}{b^2+2c^2+a^2}+\frac{ca^2}{c^2+2a^2+b^2}\leq \frac{a+b+c}{4}$

ta thấy : $3(ab^2+bc^2+ca^2)\leq (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\Leftrightarrow \sum a(a-b)^2\geq 0$ đúng .
áp dụng bdt trên và bat dang thức sv :
$\sum \frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}\leq \sum \frac{9ab^2}{16(a^2+b^2+c^2)}+\sum \frac{ab^2}{16b^2}\leq \frac{3(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}{16(a^2+b^2+c^2)}+\frac{a+b+c}{16}=\frac{a+b+c}{4}$

[Oral1020]

Cho a,b,c > 0. Tìm min :
$P=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{b+a}}$
Ai có đáp án cho mình xin

Bạn xem và thảo luận tại đây,theo mình biết bài này không có min.Chỉ có $>2$ thôi

[Tienanh tx]

Cho 2 số thực a,b thoả mãn a > b và ab<0.
Tìm Min của A= $\left ( a-b \right )^{2}+\left ( a-b+\frac{1}{a}-\frac{1}{b} \right )^{2}$

$\oplus$ Ta có: $\left ( a-b \right )^{2}+\left ( a-b+\frac{1}{a}-\frac{1}{b} \right )^{2} = \dfrac{(a+b)^2(2a^2b^2-2ab+1)}{a^2b^2} \ge 0$ (Do $ab<0$ $\Longrightarrow$ $-2ab \ge 0$)
Dấu $"="$ $\Longleftrightarrow$ $a=b$

[nguyensidang]

các bác giúp em với em đăng bài này lên mà ko ai trả lời:
1)Cho a,b,c là các số thưc dương thoả mãn $a^{3}+b^{3}+c^{3}=3$
Tìm min của biểu thức sau:

F=$\sum \frac{bc}{a\sqrt{a}}$

2)Cho 3 số thực dương a,b,c.Thoả mãn $a^{3}+b^{3}+c^{3}=3$
Chứng minh rằng:$\sum ab(c+2)(c-1)$$\leq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyensidang: 13-03-2013 - 11:23

[ledinhmanh2202]

2) Bất đẩng thức tương đương với abc(a+b+c+3)$\leq$2(ab+bc+ca) (1)
Áp dụng BĐT Holder ta có (a+b+c)$ ^{3}$$\leq$9(a$^{3}$+b$^{3}$+c$^{3}$) suy ra a+b+c$\leq 3$
theo BĐT AM-GM ta có 3abc$\leq (a^{3}+b^{3}+c^{3})$ $\Rightarrow abc\leq $1$\Rightarrow$$6abc\leq 6abc^{\frac{2}{3}}\leq 2(ab+bc+ca)$
mà VT của (1)$\leq $6abc
Suy ra ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ledinhmanh2202: 13-03-2013 - 11:41

[ledinhmanh2202]

Tìm GTLN của A=$\sum \sqrt{\frac{2a}{b+c}}$
(với a,b,c>0)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ledinhmanh2202: 15-03-2013 - 11:47

[Oral1020]

Dự đoán là $max$ A sẽ là $3$ khi $a=b=c$
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$,ta có:
$\sqrt{1.\dfrac{2a}{b+c}} \le \dfrac{2}{1+\dfrac{b+c}{2a}}=\dfrac{4a}{2a+b+c}$
Tương tự và cộng lại,ta cần chứng minh:
$\sum \dfrac{a}{2a+b+c}$
Chuẩn hóa $a+b+c=1$,ta có:
$\sum \dfrac{a}{1+a} \le \dfrac{3}{4}$
$\Longleftrightarrow 5(ab+bc+ca)+9abc \le 2$ (Dễ thấy đúng)

[nguyensidang]

Tìm GTLN của A=$\sum \sqrt{\frac{2a}{b+c}}$
(với a,b,c>0)

em có cách khác nè:
$\sum \sqrt{\frac{2a}{b+c}}=\sum \sqrt{\frac{2a(c+a)}{(b+c)(c+a)}}\leq \sqrt{(\sum c+a)(\sum \frac{2a}{(c+a)(b+c)})}$$=\sqrt{8(a+b+c)\frac{ab+bc+ca}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$
Ta có:
$\Leftrightarrow \sum a(b-c)^{2}$
$\Leftrightarrow \sum$_sym$a^{2}b$-6abc$\geq 0$
$\Leftrightarrow 24abc+8\sum$_sym$a^{2}b$$\leq$$18abc+9\sum$_sym$a^{2}b$
8(a+b+c)(ab+bc+ca)$\leq$9(a+b)(b+c)(c+a)
$\Leftrightarrow \sqrt{8(a+b+c)\frac{ab+bc+ca}{(a+b)(b+c)(c+a)}}\leq 3$
Vậy Min A=3 xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyensidang: 16-03-2013 - 17:18

[nhatquangsin]

CM:$\sqrt{x+y}+\sqrt{z+t}\leq \sqrt{xz+yt}$

Thấy cái BĐT quen quen, đang làm bài thì tìm ra nhưng không biết cm