Chủ đề này có 176 trả lời

[Strygwyr]

Cho 2 số thực a,b thoả mãn a > b và ab<0.
Tìm Min của A= $\left ( a-b \right )^{2}+\left ( a-b+\frac{1}{a}-\frac{1}{b} \right )^{2}$

Đặt -b=c. Vì a>b và ab>0 nên a>0, b<0 $\Rightarrow$ a,c>0Ta có : 

 

$\left ( a-b \right )^{2}+\left ( a-b+\frac{1}{a}-\frac{1}{b} \right )^{2}=(a+c)^{2}+(a+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{c})^{2}\geq(a+c)^{2}+(a+c+\frac{4}{a+c})^{2}=2(a+c)^{2}+\frac{16}{(a+c)^{2}}+8\geq 2\sqrt{32}+8=8\sqrt{2}+8$

dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a=c=\frac{\sqrt[4]{8}}{2}\Leftrightarrow a=\frac{\sqrt[4]{8}}{2},b=-\frac{\sqrt[4]{8}}{2}$

[Trang Luong]

Cho a,b dương $a^{3}+8b^{3}=1$ Tìm max $P=\sqrt[3]{1+2a^{2}}+\sqrt[3]{1+8b^{2}}$

[Strygwyr]

Cho các số thực không âm a,b,c thoả mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

Chứng minh rằng :
$\frac{a}{a^{2}+2b+3}+\frac{b}{b^{2}+2c+3}+\frac{c}{c^{2}+2a+3}\leq \frac{1}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

$a^{2}+2b+3\geq2a+2b+2\Rightarrow \sum \frac{1}{a^{2}+2b+3}\leq\sum \frac{1}{2a+2b+2}=\frac{1}{2}\sum\frac{1}{a+b+1}$

Ta lại có : $\sum\frac{b}{a+b+1}=3-\sum \frac{a+1}{a+b+1}=3-\sum \frac{(a+1)^{2}}{(a+1)(a+b+1)}$

$\leq3-\frac{(a+b+c+3)^{2}}{\sum (a+1)(a+b+1)}=3-\frac{(a+b+c+3)^{2}}{\sum(a^{2}+ab+2a+b+1)}$

$=3-\frac{(a+b+c+3)^{2}}{\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca+6(a+b+c)+a^{2}+b^{2}+c^{2}+6)}$

$=3-\frac{(a+b+c+3)^{2}}{\frac{1}{2}(a+b+c+3)^{2}}=3-2=1$

Vậy : $\sum \frac{1}{a^{2}+2b+3}\leq\frac{1}{2}\sum\frac{1}{a+b+1}\leq\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 05-04-2013 - 11:01

[Juliel]

Cho a,b dương $a^{3}+8b^{3}=1$ Tìm max $P=\sqrt[3]{1+2a^{2}}+\sqrt[3]{1+8b^{2}}$

Áp dụng BĐT $(a+b)^{3}\leq 4(a^{3}+b^{3})$

Ta có : 

$P^{3}\leq 4(2+2a^{2}+8b^{2})=8+8(a^{2}+4b^{2})\leq 8+8.\sqrt{(a^{3}+8b^{3})(a+2b)}=8+8\sqrt{a+2b}\leq 8+8.\sqrt{\sqrt[3]{4(a^{3}+8b^{3})}}=8+8.\sqrt[6]{4}\Rightarrow P\leq \sqrt[3]{8+8.\sqrt[6]{4}}$

$MaxP= \sqrt[3]{8+8.\sqrt[6]{4}}\Leftrightarrow a=\frac{1}{\sqrt[3]{2}};b=\frac{1}{\sqrt[3]{16}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 05-07-2013 - 19:31

[bachhammer]

Thử nhé:

Cho các số thực dương a; b; c. Chứng minh rằng:

$\sum\sqrt[4](2a^{4}+3b^{4})\geq \frac{1}{\sqrt[12]{5}}(\sum\sqrt[3]{2a^{3}+3b^{3}})$

[Master Key 99]

CMR:$3a^3+7b^3 \geq 9ab^2$   với mọi $a,b \geq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 31-07-2013 - 14:45

[Simpson Joe Donald]

CMR:$3a^3+7b^3 \geq 9ab^2$   với mọi $a,b \geq 0$

$$\text{AM-GM:} \ \ 3a^3+7b^3 \geq 3(a^3+b^3+b^3) \geq 9 ab^2$$

[Master Key 99]

Cho biểu thức S=a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd trong đó ad-bc=1.CMR S$\geqslant$ $\sqrt{}$3

[25 minutes]

Cho biểu thức S=a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd trong đó ad-bc=1.CMR S$\geqslant$ $\sqrt{}$3

Tham khảo ở đây

Chú ý Latex

[dinhthanhhung]

Cho biểu thức S=a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd trong đó ad-bc=1.CMR S$\geqslant$ $\sqrt{}$3

 

 Xét $4(S-\sqrt{3})=4\left [ \sum a^2+ac+bd-\sqrt{3}(ad-bc) \right ]=(a+b\sqrt{3}+2c)^2+(a\sqrt{3}-b-2d)^2\geq 0$

[lethanhson2703]

Mọi người dùng cauchy-shwarz và cộng mẫu côsi giúp mình bài này nha

 

Cho $a+b+c=1$ và $a,b,c> 0$.CMR:

$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leq \sqrt{6}$$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leq \sqrt{6}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lethanhson2703: 20-10-2013 - 09:43

[lethanhson2703]

Cho$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

CMR $\mid a+2b+3c\mid \leq \sqrt{14}$

Mọi người thử sức làm câu này nha.

Gợi ý dùng cauchy-shwarz

[25 minutes]

Mọi người dùng cauchy-shwarz và cộng mẫu côsi giúp mình bài này nha

 

Cho $a+b+c=1$ và $a,b,c> 0$.CMR:

$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leq \sqrt{6}$$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leq \sqrt{6}$

Ta có này cho nhanh $(1.\sqrt{a+b}+1.\sqrt{b+c}+1.\sqrt{c+a})^2\leqslant (1^2+1^2+1^2)(a+b+b+c+c+a)=6$

       $\Rightarrow \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leqslant \sqrt{6}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

[25 minutes]

Cho$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

CMR $\mid a+2b+3c\mid \leq \sqrt{14}$

Mọi người thử sức làm câu này nha.

Gợi ý dùng cauchy-shwarz

Sử dụng Cauchy-Schwarzt ta có 

           $\left | a+2b+3c \right |^2\leqslant (a^2+b^2+c^2)(1^2+2^2+3^2)=14$

$\Rightarrow \left | a+2b+3c \right |\leqslant \sqrt{14}$

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} a=\frac{b}{2}=\frac{c}{3}\\a^2+b^2+c^2=1 \end{matrix}\right.$

[NMDuc98]

Mình xin đóng góp:
1/Cho a,b,c$\geq 0$ thỏa mãn $ab+bc+ca> 0$ .CMR:
$\frac{a}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+ca+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}$
2/cho a,b,c $\geq 0$ .CMR:
a)$\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )^{2}\geq (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$
b)$(a^2+3)(b^2+3)(c^2+3)\geq 4(a+b+c+1)^2$
c)$4(a^2+x^2)(b^2+y^2)(c^2+z^2)\geq 3(bcx+cay+abz)^2$
d)$2(1+abc)+\sqrt{2(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}\geq (1+a)(1+b)(1+c)$
e)$\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\geq \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}$

2)  

[NMDuc98]

Cho biểu thức S=a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd trong đó ad-bc=1.CMR S$\geqslant$ $\sqrt{}$3

http://diendantoanho...2acbdgeq-sqrt3/

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DucHuyen1604: 20-10-2013 - 19:22

[hoangdaikpro]

Các bạn giải hộ mình mấy bài này với :

bài 1 :

$\forall x\geqslant 0 $

$Cmr:16x(x-1)^2\leqslant (x+1)^4$$\forall x\geqslant 0 Cmr:16x(x-1)^2\leqslant (x+1)^4$

Bài 2 :

$\forall a,b\geqslant 0$

$Cmr:4\sqrt{ab\left | a-b \right |}\leqslant (a+b)^2$

Bài 3 :

$\forall a,b,c\geqslant 0$

$Cmr:\frac{1}{a^2+bc}+ \frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ab} \leq \frac{a+b+c}{2abc}$

Bài 4 :

$\forall a\geqslant 1$

$Cmr: \sqrt{a-1}\leqslant \frac{a}{2}$

Bài 5:

$\forall a,b\geqslant 0$

$Cmr:(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\geqslant 64ab(a+b)^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangdaikpro: 30-11-2013 - 14:15

[rohupt]

Bài 4 :

$\forall a\geqslant 1$

$Cmr: \sqrt{a-1}\leqslant \frac{a}{2}$

Bài 4:

$\sqrt{a-1} \leq \frac{a}{2} \Leftrightarrow \frac{a^{2}}{4} \geq a-1 \: (a \geq 1) \Leftrightarrow a^{2} \geq 4a-4 \Leftrightarrow a^{2}-4a+4 \geq 0 \Leftrightarrow (a-2)^{2} \geq 0$

luôn đúng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi rohupt: 05-12-2013 - 23:39

[rohupt]

Cách khác: $\sqrt{a-1} \leq \frac{a}{2} \Leftrightarrow 0 \leq \frac{a-1-2\sqrt{a-1}+1}{2} \Leftrightarrow 0 \leq \frac{(\sqrt{a-1}-1)^{2}}{2} \,\:\;  Q.E.D.$

[rohupt]

Bài 5:

$\forall a,b\geqslant 0$

$Cmr:(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\geqslant 64ab(a+b)^2$

Bài 5 sai đề rồi bạn. Thử a=b=1 vào thấy vế trái nhỏ hơn hẳn vế phải.