Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cauchy-Schwarz


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 176 trả lời

#61 Stephen Hawking

Stephen Hawking

    Lính mới

  • Thành viên
  • 7 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-07-2012 - 18:22

Cho ${x_1}, {x_2}, ..., {x_n}\,\,(n \ge 2)$ là các số dương thỏa mãn:
${x_1} + {x_2} + ... + {x_n} \le k,\,\,(k\, \in {R^*}),\,b \ge 0,\,\,b{n^2} \ge a{k^2}$.
CMR: $a({x_1} + {x_2} + ... + {x_n}) + b\left( {\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} + ... + \frac{1}{{{x_n}}}} \right) \ge \frac{{b{n^2} + a{k^2}}}

{k}.$

Đặt ${x_1} + {x_2} + ... + {x_n}=m$
Áp dụng CS, AM-GM, ta có :
$VT \ge am+\dfrac{bn^2}{m} =am+\dfrac{ak^2}{4m}+\dfrac{bn^2-ak^2}{m} \ge 2ak+\dfrac{bn^2-ak^2}{k} =\dfrac{bn^2+ak^2}{k}$

#62 sieutoan99

sieutoan99

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết

Đã gửi 31-08-2012 - 08:03

Mình xin đóng góp:
1/Cho a,b,c$\geq 0$ thỏa mãn $ab+bc+ca> 0$ .CMR:
$\frac{a}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+ca+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}$
2/cho a,b,c $\geq 0$ .CMR:
a)$\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )^{2}\geq (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$
b)$(a^2+3)(b^2+3)(c^2+3)\geq 4(a+b+c+1)^2$
c)$4(a^2+x^2)(b^2+y^2)(c^2+z^2)\geq 3(bcx+cay+abz)^2$
d)$2(1+abc)+\sqrt{2(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}\geq (1+a)(1+b)(1+c)$
e)$\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\geq \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}$
☺☺☺Inequalities☺☺☺

#63 laiducthang98

laiducthang98

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 314 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 01-09-2012 - 21:54

mấy a giúp e bài này
*cho a,b =1 . CM : $a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq ab$

#64 tim1nuathatlac

tim1nuathatlac

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 298 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:lt-vp

Đã gửi 01-09-2012 - 22:04

mấy a giúp e bài này
*cho a,b =1 . CM : $a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq ab$


Chém nhanh bài này
Theo Am-Gm ta có

$\frac{\sqrt{b-1}}{b}\leq \frac{b-1+1}{2b}=\frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{a-1}}{a}\leq \frac{a-1+1}{2a}=\frac{1}{2}$

suy ra $\frac{\sqrt{b-1}}{b}+\frac{\sqrt{a-1}}{a}\leq 1\Leftrightarrow a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq ab$
Suy ra $Q.e.D$


#65 duongchelsea

duongchelsea

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 142 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-09-2012 - 22:23

Mình xin đóng góp:
1/Cho a,b,c$\geq 0$ thỏa mãn $ab+bc+ca> 0$ .CMR:
$\frac{a}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+ca+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}$

$$\sum \frac{a}{b^2+bc+c^2}=\sum \frac{a^2}{ab^2+abc+ac^2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}= \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}$$
Ta có đpcm

#66 899225

899225

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 87 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Dĩ nhiên là ở Việt Nam
  • Sở thích:Toán học là ông vua của ngành khoa học

Đã gửi 07-09-2012 - 19:49

CodeCogsEqn (24).gif

#67 HungHuynh2508

HungHuynh2508

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Cẩm Xuyên
  • Sở thích:Thậm chí ngay cả trong trò chơi của con trẻ cũng có những điều khiến nhà toán học vĩ đại nhất phải quan tâm.

Đã gửi 25-12-2012 - 18:20

Cho 3 số dương x,y,z . chứng minh
$\frac{25x}{y+z}+\frac{4y}{x+z}+\frac{9z}{x+y}>12$
Hạnh phúc là cho đi đâu chỉ nhận riêng mình!

7e3c59fbf62d4c5280e6cf2ad53cdcb8.0.gif

#68 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 01-01-2013 - 20:57

b)$(a^2+3)(b^2+3)(c^2+3)\geq 4(a+b+c+1)^2$

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có $$(a+b+c+1)^2 \le (a^2+3) \left[ 1+ \frac{(b+c+1)^2}{3} \right]$$
Bây giờ ta chỉ cần chứng minh $$\begin{array}{l} (b^2+3)(c^2+3) \ge 4 \left[ 1+ \frac{(b+c+1)^2}{3} \right] \\ \Leftrightarrow 3b^2c^2+5b^2+5c^2+11-8ab-8b-8c \ge 0 \\ \Leftrightarrow 4(b-1)^2+4(c-1)^2+(c-b)^2+3(bc-1)^2 \ge 0 \end{array}$$ đúng với $b=c=1$.
Vậy ta có đpcm. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$.
“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#69 19kvh97

19kvh97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 423 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12a1 THPT Mỹ Đức B Hà Nội
  • Sở thích:nghe nhạc,và lục lọi các bài toán

Đã gửi 01-01-2013 - 21:23

Cho 3 số dương x,y,z . chứng minh
$\frac{25x}{y+z}+\frac{4y}{x+z}+\frac{9z}{x+y}>12$

$P=\frac{25x}{y+z}+\frac{4y}{x+z}+\frac{9z}{x+y}$
suy ra $P+38=(\frac{25x}{y+z}25)+(\frac{4y}{x+z}+4)+(\frac{9z}{x+y}+9)=(x+y+z)(\frac{25}{y+z}+\frac{4}{x+z}+\frac{9}{x+y})$
Mặt khác theo bdt Schwarz ta có
$\frac{25}{y+z}+\frac{4}{x+z}+\frac{9}{x+y}\geq \frac{(5+2+3)^2}{2(x+y+z)}=\frac{50}{x+y+z}$
suy ra $P\geq 12$
dễ thấy ko xảy ra đẳng thức do $x,y,z>0$
KL: P>12

#70 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 01-01-2013 - 21:27

c)$4(a^2+x^2)(b^2+y^2)(c^2+z^2)\geq 3(bcx+cay+abz)^2$

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có $$\left[ a(cy+bz)+bcx \right]^2 \le (a^2+x^2) \left[ (cy+bz)^2+b^2c^2 \right]$$
Bất đẳng thức đưa về việc chứng minh $$\begin{array}{l} 4(b^2+y^2)(c^2+z^2) \ge 3 \left[ (cy+bz)^2+b^2c^2 \right] \\ \Leftrightarrow (bc-2yz)^2+(bz-cy)^2 \ge 0. \end{array}$$
Cái này thì dấu đẳng thức xảy ra khi $\frac{a}{cy+bz}= \frac{x}{bc}$ và $bc=2yz,bz=cy$ hay $a=\sqrt{2}x, b= \sqrt{2}y, c= \sqrt{2}z$.

a)$\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )^{2}\geq (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

Lời giải. Áp dụng BĐT Cauchy-Shwarz ta có $$(a+b+c)^2 \le \left( \frac ab+ \frac bc + \frac ca \right)(ab+bc+ca)$$
Do đó ta chỉ cần chứng minh
$$\begin{array}{l} \left( \frac 1a+ \frac 1b + \frac 1c \right)(ab+bc+ca) \le (a+b+c) \left( \frac ab + \frac bc + \frac ca \right) \\
\Leftrightarrow (ab+bc+ca)^2 \le (a+b+c)(a^2c+ab^2+c^2b) \\ \end{array}$$
Bất đẳng thức cuối đúng theo Cauchy-Shwarz.
Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$.

2/cho a,b,c $\geq 0$ .CMR:
e)$\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\geq \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} \qquad (1)$

Lời giải. $$(1) \Leftrightarrow \frac{a^5c^2+b^5a^2+c^5b^2}{abc} \ge a^3c+b^3a+c^3b$$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz thì $$a^5c^2+b^5a^2+c^5b^2= \frac{a^6c^2}{a}+ \frac{b^6a^2}{b}+ \frac{c^6b^2}{c} \ge \frac{(a^3c+b^3a+c^3b)^2}{a+b+c}$$
Do đó $\frac{a^5c^2+b^5a^2+c^5b^2}{abc} \ge \frac{(a^3c+b^3a+c^3b)^2}{abc(a+b+c)}.$ Ta chỉ cần chứng minh $$\begin{array}{l} abc(a+b+c) \le a^3c+b^3a+c^3b \\ \Leftrightarrow a+b+c \le \frac{a^2}{b}+ \frac{b^2}{c}+ \frac{c^2}{a} \end{array}$$
Bất đẳng thức cuối cũng đúng theo Cauchy-Schwarz.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 06-01-2013 - 19:51

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#71 Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 11-01-2013 - 21:45

Góp vui vài bài:
Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
CMR
$\sum \sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b+c}}\leq \sqrt{3}$

#72 Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 11-01-2013 - 21:46

Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $abc=1$. CMR
$\sum \frac{a+b+1}{a+b^{2}+c^{2}}\leq \frac{(a+1)(b+1)(c+1)+1}{a+b+c}$

#73 Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 11-01-2013 - 21:47

Cho $a,b,c>0$ .CMR
$\sum \frac{a^{3}b}{1+ab^{2}}\geq \frac{abc(a+b+c)}{1+abc}$

$\sum \frac{a^{4}}{1+a^{2}b}\geq \frac{abc(a+b+c)}{1+abc}$

#74 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 11-01-2013 - 23:23

Cho $a,b,c>0$ .CMR
$\sum \frac{a^{3}b}{1+ab^{2}}\geq \frac{abc(a+b+c)}{1+abc}$

Chia hai vế cho $abc>0$ và áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có $$\frac{a^2}{c+ab^2c}+ \frac{b^2}{a+abc^2}+ \frac{c^2}{b+a^2bc} \ge \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+abc(a+b+c)}= \frac{a+b+c}{1+abc}$$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.
“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#75 minhtuyb

minhtuyb

    Giả ngu chuyên nghiệp

  • Thành viên
  • 470 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:C. Toán 10A2 - HSGS
  • Sở thích:Doing math !!!

Đã gửi 11-01-2013 - 23:39

Cho $a,b,c>0$ .CMR
$\sum \frac{a^{3}b}{1+ab^{2}}\geq \frac{abc(a+b+c)}{1+abc}$

$\sum \frac{a^{4}}{1+a^{2}b}\geq \frac{abc(a+b+c)}{1+abc}$

Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $abc=1$. CMR
$\sum \frac{a+b+1}{a+b^{2}+c^{2}}\leq \frac{(a+1)(b+1)(c+1)+1}{a+b+c}$

Góp vui vài bài:
Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
CMR
$\sum \sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b+c}}\leq \sqrt{3}$

Mình xin đóng góp:
1/Cho a,b,c$\geq 0$ thỏa mãn $ab+bc+ca> 0$ .CMR:
$\frac{a}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+ca+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}$
2/cho a,b,c $\geq 0$ .CMR:
a)$\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )^{2}\geq (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$
b)$(a^2+3)(b^2+3)(c^2+3)\geq 4(a+b+c+1)^2$
c)$4(a^2+x^2)(b^2+y^2)(c^2+z^2)\geq 3(bcx+cay+abz)^2$
d)$2(1+abc)+\sqrt{2(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}\geq (1+a)(1+b)(1+c)$
e)$\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\geq \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}$

Tất cả những bài trên đều nằm trong quyền Cauchy-Schwarz của anh VQBC và Trần Quốc Anh.
Mong các bạn đóng góp bài từ nhiều nguồn khác nhau, hoặc tự chế bài càng tốt! Hình đã gửi
Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!

#76 barcavodich

barcavodich

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 449 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Thái Bình---HSGS
  • Sở thích:Number Theory,Analysis

Đã gửi 26-01-2013 - 15:43

Mình xin đóng góp
Cho $ x,y,z>0 $ thoả mãn $ x^{2}+y^{2}+z^{2}= 1 $
CMR $ \sum_{cyc}\frac{yz}{1+x^{2}}\leq\frac{4}{3} $

[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful


#77 duong vi tuan

duong vi tuan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 229 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quy NHơn

Đã gửi 28-01-2013 - 08:04

Mình xin đóng góp
Cho $ x,y,z>0 $ thoả mãn $ x^{2}+y^{2}+z^{2}= 1 $
CMR $ \sum_{cyc}\frac{yz}{1+x^{2}}\leq\frac{4}{3} $

$\sum \frac{yz}{1+x^2}=\sum \frac{yz}{y^2+x^2+z^2+x^2}\leq \frac{1}{4}\sum \frac{(y+z)^2}{y^2+x^2+z^2+x^2}\leq \frac{1}{4}\sum (\frac{y^2}{y^2+x^2}+\frac{z^2}{x^2+z^2})=\frac{3}{4}$
NGU
Hình đã gửi

#78 duong vi tuan

duong vi tuan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 229 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quy NHơn

Đã gửi 28-01-2013 - 08:20

Góp vui vài bài:
Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
CMR
$\sum \sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b+c}}\leq \sqrt{3}$

từ điều kiện ta có $a+b+c\leq 3$
$\sum \sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b+c}}\leq \sum \frac{\sqrt{a^2(1+b+c)}}{a+b+c}=\frac{1}{a+b+c}\sum \sqrt{a(a+ab+ac)}\leq \frac{1}{a+b+c}\sqrt{(a+b+c)(a+b+c+2(ab+bc+ca)))}\leq \frac{1}{a+b+c}\sqrt{(a+b+c)(a+b+c+2\frac{(a+b+c)^2}{3}))}=\sqrt{1+\frac{2(a+b+c)}{3}}\leq \sqrt{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duong vi tuan: 28-01-2013 - 08:20

NGU
Hình đã gửi

#79 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 28-01-2013 - 12:07

Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $abc=1$. CMR
$\sum \frac{a+b+1}{a+b^{2}+c^{2}}\leq \frac{(a+1)(b+1)(c+1)+1}{a+b+c}$

Như thế này có được không biết :wacko:
Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có $(a+b^2+c^2)(a+2) \ge (a+b+c)^2$. Do đó $$\sum \frac{a+b+1}{a+b^2+c^2} \le \frac{ \sum (a+b+1)(a+2)}{(a+b+c)^2}$$
Bây giờ ta cần chứng minh $$\sum(a+b+1)(a+2) \le (a+b+c)[(a+1)(b+1)(c+1)+1]$$
Đến đây rút gọn (chắc là ra :closedeyes: )
“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#80 GameWar48

GameWar48

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết

Đã gửi 14-02-2013 - 18:53

- Nó cũng có một số hệ quả:
1, Bất đẳng thức Schwarz:
Với hai dãy số thực $(a_{1}, a_{2}, ..., a_{m})$ và $(b_{1}, b_{2}, ..., b_{m})$ sao cho $b_{i} \geq 0$ ta luôn có bất đẳng thức:
$\dfrac{a_{1}^2}{b_{1}}+ \dfrac{a_{2}^2}{b_{2}}+...+ \dfrac{a_{m}^2}{b_{m}} \geq \dfrac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{m})^2}{b_{1}+b_{2}+...+b_{m}}$

Cho hỏi cách chứng minh hệ quả này với.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh