Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cauchy-Schwarz


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 176 trả lời

#161 Zz Isaac Newton Zz

Zz Isaac Newton Zz

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 391 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Phú Mỹ
  • Sở thích:Bất đẳng thức, Phương trình hàm, Dãy số và Thổi sáo.

Đã gửi 15-02-2017 - 20:34

Cho a, b, c > 0; $\sum a^{2}=1.$Chứng minh rằng:

$\sum \frac{a^{2}+1}{b^{2}+ac}\geq 6$

 

Nguồn: Sáng tác.

Ta có : $\sum \frac{a^{2}+1}{b^{2}+ac}\geq \sum \frac{a^{2}+1}{b^{2}+\frac{1}{2}(a^{2}+c^{2})}=\sum \frac{2(a^{2}+1)}{2b^{2}+a^{2}+c^{2}}=\frac{2(a^{2}+1)}{b^{2}+1}+\frac{2(b^{2}+1)}{c^{2}+1}+\frac{2(c^{2}+1)}{a^{2}+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{2^{3}(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)}{(c^{2}+1)(b^{2}+1)(a^{2}+1)}}=6.$



#162 Dragon Knight

Dragon Knight

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 37 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ôi Lạc Trôi Giữa Đường Phố Hà Nội
  • Sở thích:1 năm không tắm [1508]

Đã gửi 15-02-2017 - 22:24

Dùng BĐT Cauchy để tìm GTLN của  B biết :

$B^{2} = \frac{x-3}{x^{2}+2x+1}$


Leonhard Euler [15/4/1707 - 18/9/1783]

                  ----- Never give up -----


#163 viet9a14124869

viet9a14124869

    Trung úy

  • Thành viên
  • 903 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:~NGT~

Đã gửi 15-02-2017 - 22:32

Ta có $B^2=\frac{1}{16}-\frac{(x-7)^2}{16(x+1)^2}\Rightarrow B^2\leq \frac{1}{16}\Rightarrow B max =\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=7$

 

p/s ......... mình ko biết giải bằng cauchy nhưng cũng xin đóng góp cách giải này ^-^


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet9a14124869: 15-02-2017 - 22:39

                                                                    SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ

                                                                    GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?

                                                                    ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA 

                                                                    KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .


#164 Ren

Ren

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 67 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-02-2017 - 17:07

Dùng BĐT Cauchy để tìm GTLN của  B biết :

$B^{2} = \frac{x-3}{x^{2}+2x+1}$

Một cách khác:

\[{B^2} = \frac{{x - 3}}{{{x^2} + 2x + 1}} = T <  =  > T{x^2} + 2Tx + T = x - 3\]
\[ <  =  > T{x^2} + x\left( {2T - 1} \right) + T + 3 = 0\]
\[\Delta  = 4{T^2} - 4T + 1 - 4T\left( {T + 3} \right) \ge 0 <  =  >  - 16T + 1 \ge 0\]
\[ <  =  > T \le \frac{1}{{16}} <  =  > {B^2} \le \frac{1}{4}\]
Dấu bằng khi B^2=1/4 mih shif solve ra x=7

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ren: 16-02-2017 - 17:07


#165 NHoang1608

NHoang1608

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K46 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{\lim_{I\rightarrow U} Love= +\infty}$

Đã gửi 27-02-2017 - 17:42

Cho a, b, c là các số thực dương: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq a+b+c$

Chứng minh rằng $\frac{1}{a^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+2}+\frac{1}{c^{2}+2}\leq 1$


The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.

----- Michelangelo----


#166 viet9a14124869

viet9a14124869

    Trung úy

  • Thành viên
  • 903 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:~NGT~

Đã gửi 27-02-2017 - 19:42

Cho a, b, c là các số thực dương: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq a+b+c$

Chứng minh rằng $\frac{1}{a^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+2}+\frac{1}{c^{2}+2}\leq 1$

Ta có $\sum \frac{1}{a}\leq \sum a\Rightarrow ab+bc+ca\leq abc(a+b+c)\leq \frac{(ab+bc+ca)^2}{3}\Rightarrow 3\leq ab+bc+ca$

Mặt khác bất đẳng thức cần cm tương đương vs $1-\frac{2}{2+a^2}+1-\frac{2}{2+b^2}+1-\frac{2}{2+c^2}\geq 1\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{a^2+2}\geq 1$

Thật vậy $\sum \frac{a^2}{a^2+2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+6}\geq 1$ nên bất đẳng thức là đúng .

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1,.....,


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet9a14124869: 27-02-2017 - 20:44

                                                                    SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ

                                                                    GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?

                                                                    ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA 

                                                                    KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .


#167 NHoang1608

NHoang1608

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K46 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{\lim_{I\rightarrow U} Love= +\infty}$

Đã gửi 27-02-2017 - 20:31

Ta có $\sum \frac{1}{a}=\sum a\Leftrightarrow ab+bc+ca=abc(a+b+c)\leq \frac{(ab+bc+ca)^2}{3}\Leftrightarrow 3\leq ab+bc+ca$

Mặt khác bất đẳng thức cần cm tương đương vs $1-\frac{2}{2+a^2}+1-\frac{2}{2+b^2}+1-\frac{2}{2+c^2}\geq 1\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{a^2+2}\geq 1$

Thật vậy $\sum \frac{a^2}{a^2+2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+6}\geq 1$ nên bất đẳng thức là đúng .

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

đoạn này là bé hơn hoặc bằng chứ bạn


The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.

----- Michelangelo----


#168 NHoang1608

NHoang1608

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K46 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{\lim_{I\rightarrow U} Love= +\infty}$

Đã gửi 27-02-2017 - 20:51

Đóng góp mấy bài cho topic vui lên nha. Mấy ae rảnh thì vô làm

1)Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

   $\left ( \frac{a}{b+2c} \right )^{2}+\left ( \frac{b}{c+2a} \right )^{2}+\left ( \frac{c}{a+2b} \right )^{2}\geq \frac{1}{3}$ 

2)Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: $\left ( a+b+c+d \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d} \right )=20.$

   Tìm GTNN của $A=\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right )\left ( \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{d^{2}} \right )$

3)Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng mình rằng

   $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+3bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+3ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+3ab}}\geq\frac{9}{4}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 27-02-2017 - 20:52

The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.

----- Michelangelo----


#169 victoranh

victoranh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sydney
  • Sở thích:Chính Trị, Toán Học, Naruto

Đã gửi 27-02-2017 - 21:06

có lời giải b1 k bạn, mình tìm lâu lắm r k thấy


-----Đừng chọn sống an nhàn trong những năm tháng mà bạn "chịu khổ được"-----


#170 NHoang1608

NHoang1608

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K46 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{\lim_{I\rightarrow U} Love= +\infty}$

Đã gửi 27-02-2017 - 21:38

có lời giải b1 k bạn, mình tìm lâu lắm r k thấy

bạn sử dụng bất đẳng thức quen thuộc $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq \frac{1}{3}\left ( x+y+z \right )^{2}$

Sau đó dùng C-S là ra nka bạn. Bạn đánh latex trình bày lời giải đăng lên cho m.n xem nka


The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.

----- Michelangelo----


#171 victoranh

victoranh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sydney
  • Sở thích:Chính Trị, Toán Học, Naruto

Đã gửi 27-02-2017 - 21:41

à nhầm, đây là bài khác, bài kia mẫu là 2a+b


-----Đừng chọn sống an nhàn trong những năm tháng mà bạn "chịu khổ được"-----


#172 victoranh

victoranh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sydney
  • Sở thích:Chính Trị, Toán Học, Naruto

Đã gửi 27-02-2017 - 21:48

    https://www.slidesha...-bt-ng-thc-c-in

 bài 96 nhé


-----Đừng chọn sống an nhàn trong những năm tháng mà bạn "chịu khổ được"-----


#173 AnhTran2911

AnhTran2911

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 230 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên PBC , Vinh, Nghệ An.
  • Sở thích:pp

Đã gửi 10-04-2017 - 00:23

Đóng góp mấy bài cho topic vui lên nha. Mấy ae rảnh thì vô làm

1)Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

   $\left ( \frac{a}{b+2c} \right )^{2}+\left ( \frac{b}{c+2a} \right )^{2}+\left ( \frac{c}{a+2b} \right )^{2}\geq \frac{1}{3}$ 

2)Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: $\left ( a+b+c+d \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d} \right )=20.$

   Tìm GTNN của $A=\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right )\left ( \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{d^{2}} \right )$

3)Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng mình rằng

   $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+3bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+3ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+3ab}}\geq\frac{9}{4}$

chựa bài 2 đi hoàng


        AQ02

                                 


#174 TrBaoChis

TrBaoChis

    Hạ sĩ

  • Banned
  • 81 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vinh, Nghệ An

Đã gửi 10-04-2017 - 11:09

chựa bài 2 đi hoàng

bài 2 ko phải dùng (a+b+c+d)^2/4 <= a^2+b^2+c^2+d^2 hay sao 



#175 AnhTran2911

AnhTran2911

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 230 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên PBC , Vinh, Nghệ An.
  • Sở thích:pp

Đã gửi 21-04-2017 - 22:42

Đóng góp mấy bài cho topic vui lên nha. Mấy ae rảnh thì vô làm

1)Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

   $\left ( \frac{a}{b+2c} \right )^{2}+\left ( \frac{b}{c+2a} \right )^{2}+\left ( \frac{c}{a+2b} \right )^{2}\geq \frac{1}{3}$ 

2)Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: $\left ( a+b+c+d \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d} \right )=20.$

   Tìm GTNN của $A=\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right )\left ( \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{d^{2}} \right )$

3)Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng mình rằng

   $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+3bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+3ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+3ab}}\geq\frac{9}{4}$

Rất mong bạn chữa bài sớm nhất có thể. đã lâu rồi mà chưa có thánh nào giải được. Thân.( bài 2 í)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnhTran2911: 21-04-2017 - 23:56

        AQ02

                                 


#176 TrBaoChis

TrBaoChis

    Hạ sĩ

  • Banned
  • 81 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vinh, Nghệ An

Đã gửi 01-05-2017 - 23:54

Đóng góp mấy bài cho topic vui lên nha. Mấy ae rảnh thì vô làm

1)Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

   $\left ( \frac{a}{b+2c} \right )^{2}+\left ( \frac{b}{c+2a} \right )^{2}+\left ( \frac{c}{a+2b} \right )^{2}\geq \frac{1}{3}$ 

2)Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: $\left ( a+b+c+d \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d} \right )=20.$

   Tìm GTNN của $A=\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right )\left ( \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{d^{2}} \right )$

3)Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng mình rằng

   $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+3bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+3ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+3ab}}\geq\frac{9}{4}$

 

-Gthiết $\Rightarrow$ $\sum$ $\frac{a+b+c}{d} $=$ 16
-theo hằng đẳng thức :$\sum$ (a+b+c-d)^2 = 4 $\sum$ a^2 và Áp dụng C-S
($\sum$ a^2)($\sum$ $\frac{1}{a^2}$ ) $=$ $\frac{1}{4}$($\sum$ (a+b+c-d)^2 )($\sum$ $\frac{1}{a^2}$) $\geq$ $\frac{1}{4}$ ($\sum$ $\frac{a+b+c-d}{d}$)^2 $=$ $\frac{1}{4}$ ($\sum$ $\frac{a+b+c}{d}$ - 4)^2 = 36
$DBXR$ $\Leftrightarrow$ ....
  
Đúng chưa Hoàng :v 
mà đm  topic này die rồi à


#177 Trinh Anh

Trinh Anh

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 04-11-2018 - 20:46

45182254_1888415967946402_71151316854269

chỉ dùng cauch-schwart để chứng minh , ko dùng bất khác , hãy chứng minh , các thánh hãy vào làm đi






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh