Đến nội dung

Hình ảnh

Cauchy-Schwarz


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 176 trả lời

#161
Zz Isaac Newton Zz

Zz Isaac Newton Zz

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 392 Bài viết

Cho a, b, c > 0; $\sum a^{2}=1.$Chứng minh rằng:

$\sum \frac{a^{2}+1}{b^{2}+ac}\geq 6$

 

Nguồn: Sáng tác.

Ta có : $\sum \frac{a^{2}+1}{b^{2}+ac}\geq \sum \frac{a^{2}+1}{b^{2}+\frac{1}{2}(a^{2}+c^{2})}=\sum \frac{2(a^{2}+1)}{2b^{2}+a^{2}+c^{2}}=\frac{2(a^{2}+1)}{b^{2}+1}+\frac{2(b^{2}+1)}{c^{2}+1}+\frac{2(c^{2}+1)}{a^{2}+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{2^{3}(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)}{(c^{2}+1)(b^{2}+1)(a^{2}+1)}}=6.$



#162
Dragon Knight

Dragon Knight

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 37 Bài viết

Dùng BĐT Cauchy để tìm GTLN của  B biết :

$B^{2} = \frac{x-3}{x^{2}+2x+1}$


Leonhard Euler [15/4/1707 - 18/9/1783]

                  ----- Never give up -----


#163
viet9a14124869

viet9a14124869

    Trung úy

  • Thành viên
  • 903 Bài viết

Ta có $B^2=\frac{1}{16}-\frac{(x-7)^2}{16(x+1)^2}\Rightarrow B^2\leq \frac{1}{16}\Rightarrow B max =\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=7$

 

p/s ......... mình ko biết giải bằng cauchy nhưng cũng xin đóng góp cách giải này ^-^


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet9a14124869: 15-02-2017 - 22:39

                                                                    SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ

                                                                    GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?

                                                                    ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA 

                                                                    KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .


#164
Ren

Ren

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 67 Bài viết

Dùng BĐT Cauchy để tìm GTLN của  B biết :

$B^{2} = \frac{x-3}{x^{2}+2x+1}$

Một cách khác:

\[{B^2} = \frac{{x - 3}}{{{x^2} + 2x + 1}} = T <  =  > T{x^2} + 2Tx + T = x - 3\]
\[ <  =  > T{x^2} + x\left( {2T - 1} \right) + T + 3 = 0\]
\[\Delta  = 4{T^2} - 4T + 1 - 4T\left( {T + 3} \right) \ge 0 <  =  >  - 16T + 1 \ge 0\]
\[ <  =  > T \le \frac{1}{{16}} <  =  > {B^2} \le \frac{1}{4}\]
Dấu bằng khi B^2=1/4 mih shif solve ra x=7

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ren: 16-02-2017 - 17:07


#165
NHoang1608

NHoang1608

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết

Cho a, b, c là các số thực dương: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq a+b+c$

Chứng minh rằng $\frac{1}{a^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+2}+\frac{1}{c^{2}+2}\leq 1$


The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.

----- Michelangelo----


#166
viet9a14124869

viet9a14124869

    Trung úy

  • Thành viên
  • 903 Bài viết

Cho a, b, c là các số thực dương: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq a+b+c$

Chứng minh rằng $\frac{1}{a^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+2}+\frac{1}{c^{2}+2}\leq 1$

Ta có $\sum \frac{1}{a}\leq \sum a\Rightarrow ab+bc+ca\leq abc(a+b+c)\leq \frac{(ab+bc+ca)^2}{3}\Rightarrow 3\leq ab+bc+ca$

Mặt khác bất đẳng thức cần cm tương đương vs $1-\frac{2}{2+a^2}+1-\frac{2}{2+b^2}+1-\frac{2}{2+c^2}\geq 1\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{a^2+2}\geq 1$

Thật vậy $\sum \frac{a^2}{a^2+2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+6}\geq 1$ nên bất đẳng thức là đúng .

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1,.....,


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet9a14124869: 27-02-2017 - 20:44

                                                                    SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ

                                                                    GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?

                                                                    ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA 

                                                                    KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .


#167
NHoang1608

NHoang1608

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết

Ta có $\sum \frac{1}{a}=\sum a\Leftrightarrow ab+bc+ca=abc(a+b+c)\leq \frac{(ab+bc+ca)^2}{3}\Leftrightarrow 3\leq ab+bc+ca$

Mặt khác bất đẳng thức cần cm tương đương vs $1-\frac{2}{2+a^2}+1-\frac{2}{2+b^2}+1-\frac{2}{2+c^2}\geq 1\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{a^2+2}\geq 1$

Thật vậy $\sum \frac{a^2}{a^2+2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+6}\geq 1$ nên bất đẳng thức là đúng .

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

đoạn này là bé hơn hoặc bằng chứ bạn


The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.

----- Michelangelo----


#168
NHoang1608

NHoang1608

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết

Đóng góp mấy bài cho topic vui lên nha. Mấy ae rảnh thì vô làm

1)Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

   $\left ( \frac{a}{b+2c} \right )^{2}+\left ( \frac{b}{c+2a} \right )^{2}+\left ( \frac{c}{a+2b} \right )^{2}\geq \frac{1}{3}$ 

2)Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: $\left ( a+b+c+d \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d} \right )=20.$

   Tìm GTNN của $A=\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right )\left ( \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{d^{2}} \right )$

3)Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng mình rằng

   $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+3bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+3ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+3ab}}\geq\frac{9}{4}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 27-02-2017 - 20:52

The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.

----- Michelangelo----


#169
victoranh

victoranh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết

có lời giải b1 k bạn, mình tìm lâu lắm r k thấy


-----Đừng chọn sống an nhàn trong những năm tháng mà bạn "chịu khổ được"-----


#170
NHoang1608

NHoang1608

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết

có lời giải b1 k bạn, mình tìm lâu lắm r k thấy

bạn sử dụng bất đẳng thức quen thuộc $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq \frac{1}{3}\left ( x+y+z \right )^{2}$

Sau đó dùng C-S là ra nka bạn. Bạn đánh latex trình bày lời giải đăng lên cho m.n xem nka


The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.

----- Michelangelo----


#171
victoranh

victoranh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết

à nhầm, đây là bài khác, bài kia mẫu là 2a+b


-----Đừng chọn sống an nhàn trong những năm tháng mà bạn "chịu khổ được"-----


#172
victoranh

victoranh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết

    https://www.slidesha...-bt-ng-thc-c-in

 bài 96 nhé


-----Đừng chọn sống an nhàn trong những năm tháng mà bạn "chịu khổ được"-----


#173
AnhTran2911

AnhTran2911

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 230 Bài viết

Đóng góp mấy bài cho topic vui lên nha. Mấy ae rảnh thì vô làm

1)Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

   $\left ( \frac{a}{b+2c} \right )^{2}+\left ( \frac{b}{c+2a} \right )^{2}+\left ( \frac{c}{a+2b} \right )^{2}\geq \frac{1}{3}$ 

2)Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: $\left ( a+b+c+d \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d} \right )=20.$

   Tìm GTNN của $A=\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right )\left ( \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{d^{2}} \right )$

3)Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng mình rằng

   $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+3bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+3ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+3ab}}\geq\frac{9}{4}$

chựa bài 2 đi hoàng


        AQ02

                                 


#174
TrBaoChis

TrBaoChis

    Hạ sĩ

  • Banned
  • 81 Bài viết

chựa bài 2 đi hoàng

bài 2 ko phải dùng (a+b+c+d)^2/4 <= a^2+b^2+c^2+d^2 hay sao 



#175
AnhTran2911

AnhTran2911

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 230 Bài viết

Đóng góp mấy bài cho topic vui lên nha. Mấy ae rảnh thì vô làm

1)Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

   $\left ( \frac{a}{b+2c} \right )^{2}+\left ( \frac{b}{c+2a} \right )^{2}+\left ( \frac{c}{a+2b} \right )^{2}\geq \frac{1}{3}$ 

2)Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: $\left ( a+b+c+d \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d} \right )=20.$

   Tìm GTNN của $A=\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right )\left ( \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{d^{2}} \right )$

3)Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng mình rằng

   $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+3bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+3ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+3ab}}\geq\frac{9}{4}$

Rất mong bạn chữa bài sớm nhất có thể. đã lâu rồi mà chưa có thánh nào giải được. Thân.( bài 2 í)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnhTran2911: 21-04-2017 - 23:56

        AQ02

                                 


#176
TrBaoChis

TrBaoChis

    Hạ sĩ

  • Banned
  • 81 Bài viết

Đóng góp mấy bài cho topic vui lên nha. Mấy ae rảnh thì vô làm

1)Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

   $\left ( \frac{a}{b+2c} \right )^{2}+\left ( \frac{b}{c+2a} \right )^{2}+\left ( \frac{c}{a+2b} \right )^{2}\geq \frac{1}{3}$ 

2)Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: $\left ( a+b+c+d \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d} \right )=20.$

   Tìm GTNN của $A=\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right )\left ( \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{d^{2}} \right )$

3)Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng mình rằng

   $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+3bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+3ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+3ab}}\geq\frac{9}{4}$

 

-Gthiết $\Rightarrow$ $\sum$ $\frac{a+b+c}{d} $=$ 16
-theo hằng đẳng thức :$\sum$ (a+b+c-d)^2 = 4 $\sum$ a^2 và Áp dụng C-S
($\sum$ a^2)($\sum$ $\frac{1}{a^2}$ ) $=$ $\frac{1}{4}$($\sum$ (a+b+c-d)^2 )($\sum$ $\frac{1}{a^2}$) $\geq$ $\frac{1}{4}$ ($\sum$ $\frac{a+b+c-d}{d}$)^2 $=$ $\frac{1}{4}$ ($\sum$ $\frac{a+b+c}{d}$ - 4)^2 = 36
$DBXR$ $\Leftrightarrow$ ....
  
Đúng chưa Hoàng :v 
mà đm  topic này die rồi à


#177
Trinh Anh

Trinh Anh

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

45182254_1888415967946402_71151316854269

chỉ dùng cauch-schwart để chứng minh , ko dùng bất khác , hãy chứng minh , các thánh hãy vào làm đi






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh