Chủ đề này có 1 trả lời

[RimanMTB]

Các bạn tính hộ mình bài này nha:
Tính S=1^k+2^k+3^k+4^k+.......+n^k
với k n
Tức là tìm công thức tổng quát theo n và k,mong các bạn giúp mình nha

[pnt]

Trước hết, yêu cầu của bạn "hơi kỳ", vì bản thân biểu thức đề bài đã là một công thức theo n và k rồi. Do đó, cần phải chỉnh sửa lại yêu cầu bài toán. Tôi chỉnh sửa yêu cầu bài toán lại là:
Cho trước một $k\in N*$, tìm một đa thức $f:R\to R$ thỏa:
$f(n)=1^k+2^k+...+n^k, \forall n\in N$
Sự xác định của đa thức f chỉ phụ thuộc vào k.
Ta thử xem xét các trường hợp đặc biệt:
*Với k=1: $f(n)=1+2+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$
Do đó $f(x)=\dfrac{x(x+1)}{2}$
*Với k=2: $f(n)=1^2+2^2+...+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
Do đó: $f(x)=\dfrac{x(x+1)(2x+1)}{6}$
*Với k=3: $f(n)=1^3+2^3+...+n^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$
Do đó: $f(x)=\dfrac{x^2(x+1)^2}{4}$
Ta thấy rằng trong cả ba trường hợp xét ở bên trên, f đều có bậc là k+1
Như vậy, ta đoán rằng f luôn có bậc là k+1 với mọi k
Để xác định được đa thức f, cần phải biết được giá trị của f tại k+2 điểm phân biệt.
Với k đã cho trước thì ta hoàn toàn xác định được
$f(1)=1^k$
$f(2)=1^k+2^k$
...
$f(k+1)=1^k+2^k+...+(k+1)^k$
Cần thêm một giá trị nữa, ta cho f(0)=0
Như vậy đã biết được giá trị của f tại k+2 điểm phân biệt 0,1,2,...,k+1
Do vậy f hoàn toàn xác định theo công thức nội suy Lagrange:
$f(x)= \sum\limits_{i=0}^{k+1}\pi\limits_{j=0,j \neq i}^{k+1}\dfrac{x-j}{i-j}f(i) $

Bây giờ ta chứng minh rằng đa thức f ở trên chính là đa thức cần tìm, tức là cần chứng minh $f(n)=1^k+2^k+...+n^k, \forall n\in N$
Đa thức f xác định như trên thỏa mãn:
$f(i+1)-f(i)=(i+1)^k, \forall$ i=0,1,2,...,k
Đặt g(x)=f(x+1)-f(x)
Khi đó g là đa thức bậc k và $g(i)=(i+1)^k$ với k+1 giá trị của i là 0,1,2,...,k
do đó $g(x) \equiv (x+1)^k$, tức là:
$f(x+1)-f(x) \equiv (x+1)^k$
Với mỗi $n \in N*$, ta có:
$f(1)-f(0)=1^k$
$f(2)-f(1)=2^k$
...
$f(n)-f(n-1)=n^k$
Cộng tất cả các đẳng thức trên lại, ta có:
$f(n)-f(0)=1^k+2^k+...+n^k$
mà f(0)=0 nên $f(n)=1^k+2^k+...+n^k$
Vậy f chính là đa thức cần tìm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pnt: 08-08-2007 - 21:59