Chủ đề này có 4 trả lời

[Alexi Laiho]

Gửi ngài Faltings,
Vô cùng cảm ơn sự trả lời nhanh của ngài, những nhận xét của ngài về lý thuyết motives thuộc về kiểu thông thường, nó xuất phát từ hầu hết các nhánh toán học truyền thống nhằm hướng tới sự nghiên cứu và những chú ý trong các hoàn cảnh toán học và mối tổng thể chung. Về mặt này nó cho phép chúng ta hy vọng không chỉ 1 sự hiểu biết về 1 lãnh vực còn nhiều bí ẩn chưa khám phá, mà còn cho phép chúng ta 1 cái nhìn vững chắc bằng những phép chứng minh đúng đắn. Cách suy nghĩ này làm tôi có cảm giác tâm lý về 1 sự ngăn cản lớn về việc khám phá ra các sức mạnh tiềm tàng trong toán học và cũng như việc phát triển toán học theo những nghĩa thông thường, đó là cách nhìn đủ sự xuyên suốt để có thể tự nó chứng minh được bản thân nó. Kinh nghiệm trong việc làm toán của tôi đã chỉ ra cho tôi rằng, phép chứng minh từ cách nhìn như thế này thường thoát ra khỏi con đường ban đầu chứ không phải ngược lại, và ngoài ra cách nhìn từ những con đường ban đầu sẽ xuất hiện từ những cảm giác tế nhị và cứng cổ của các thực thể cũng như khái niệm đúng đắn. Con đường dẫn dắt là 1 sự nhất quán bên trong từ những bức tranh xóa bỏ đi những hình ảnh ảo tưởng viễn hoặc, và nó hòa nhịp cùng với các hiểu biết khác.

Quay trở lại với Motives, theo những hiểu biết của tôi hiện nay thì hoàn toàn chưa có 1 lý thuyết nào về motives, 1 lý do cơ bản là không ai cố gắng phát triển 1 lý thuyết như vậy. Các chất liệu sẵn có về các mối quan hệ hiện nay trong toán học, các đối tượng đã được biến đến hiện nay được xem như là 1 sự giàu có nhưng hoàn toàn không cân xứng, nó làm cho tôi có cảm tưởng về sự trình bầy 1 bản soạn thảo công phu của 1 lý thuyết vật lý. Nó tồn tại 1 kiểu như là Yoga của motives, 1 kiểu khá thông thường và trong nhiều hoàn cảnh các khái niệm chắc chắn sẽ dẫn tới việc chỉnh sửa lại đúng đắn 1 số các mối quan hệ tổng quát, mà chúng đến này có thể chứng minh theo kiểu này hay kiểu khác, ví dụ như về công trình gần đây của ngài về 1 định lý của tác động galois lên Tate Moduln của các đa tạp abelian. Cái tên đó làm cho tôi liên tưởng đến 1 sự nghiên cứu bí mật, đối với tôi Deligne thuộc vào kiểu này phổ biến nhất. Công trình đầu tiên được công bố của Deligne về sự suy biến của các dẫy phổ Leray cho 1 ánh xạ nhẵn proper của các đa tạp đại số trên trường phức xuất hiện từ những suy nghĩ đơn giản nhất về trọng của các nhóm đối đồng điều. Vào thời điểm đó của Deligne thì đây là điều hoàn toàn khó hiểu, nhưng tới thời điểm này thì nó hoàn toàn có thể được tổng quát trên các lược đồ (tính kể từ việc chứng minh giả thuyết Weil của Deligne).

Tôi cũng hiểu rằng, sự mở rộng lý thuyết Hodge của Deligne được kéo theo rất rộng từ cái chưa thể viết được: Yoga của motives, đó là từ 1 số điều đã biết từ Yoga và đặc biệt là sự tồn tại của phép lọc (filtration) của đối đồng điều thông qua trọng và ngoài ra nó đặt nền móng chắc chắn cho tính nửa đơn của 1 số các động từ nhóm cơ bản trong khuôn khổ của cấu trúc Hodge siêu việt. Bây giờ tôi muốn nói vài lời về Yoga của hình học anabelian. Vấn đề của chúng ta là hình học đại số tuyệt đối trên 1 trường cho trước hữu hạn sinh trên trường nguyên tố. 1 ý tưởng cơ bản tổng quát đó là đối với 1 số các lược đồ anabelian X thuộc kiểu hữu hạn trên K thì hình học của X được mô tả 1 cách đầy đủ thông qua nhóm cơ bản $\pi_1 (X, \xi)$, với $\xi$
là điểm hình học với giá trị trong bao đóng đại số của K cùng với 1 cấu trúc bổ sung được cho bởi đồng cấu

$\pi_1(X, \xi) \rightarrow \pi_1(K, \xi) = Gal(\bar{K},K).$

mà hạt nhân của nó là nhóm cơ bản hình học

$\pi_1(\bar{X}, \xi), \quad \bar{X} = X \otimes_{K} \bar{K}$

tức cũng là 1 compact hóa profinite của các nhóm cơ bản siêu việt, nếu bao đóng đại số của trường K là 1 trường con của trường phức được cho trước. Ảnh của đồng cấu nói trên là 1 nhóm con mở của nhóm Galois profinite, có chỉ số 1 nếu và chỉ nếu $\bar{X}$ liên thông. Câu hỏi đầu tiên được đặt ra là, lược đồ X nào có thể được xem như là anabelian. Ở đây trong mọi trường hợp tôi muốn giới hạn trong trường hợp các lược đồ trơn. Trường hợp hoàn toàn rõ ràng thì tôi chỉ biết khi dim(X) = 1. Trong tất cả các trường hợp thì tính chất anabelian phải là tính chất thuần hình học, điều này có nghĩa nó chỉ phụ thuộc vào $\bar{X}$ hoặc các lược đồ tương ứng với 1 mở rộng đóng đại số của $\bar{K}$, ví dụ như trường phức. Ngoài ra thì $\bar{X}$ là anabelian nếu và chỉ nếu các thành phần liên thông của nó cũng anabelian. Trong trường hợp 1 chiều, các đường cong trơn là anabelian trên bao đóng đại số của K nếu đặc trưng EP của nó là âm, hoặc cũng như nhóm cơ bản của nó là không giao hoán.

Sự phát biểu thứ 2 chắc chắn xuất hiện trong trường hợp nếu đặc số của trường bằng 0. Hoặc trong trường hợp 1 đường cong compact chính quy, nếu không thì người ta phải xét tới nhóm cơ bản nguyên tố với p (charK = p). 1 cách phát biểu khác tương tự đó là lược đồ nhóm của các tự đẳng cấu phải có số chiều bằng 0 hoặc các nhóm tự đẳng cấu phải là hữu hạn. Nếu đường cong thuộc kiểu (g,n), với g là giống của đường cong, và n là số điểm ở vô hạn vậy thì các đường cong anabelian sẽ thuộc về các kiểu (0,0), (0,1),(0,2) và (1,0). Nếu chúng ta xét trên trường số phức vậy thì 1 đường cong là anabelian nếu phủ phổ dụng của nó là không gian hyperbolic theo nghĩa Thurston, tức là đẳng cấu với nửa mặt phẳng Poincare. Các phần còn lại thì tôi trong mọi trường hợp sẽ xem 1 đa tạp là anabelian nếu nó có thể xây dựng được từ các đường cong anabelian từ các thớ trơn. Theo đó (từ 1 lưu ý của Artin) thì mọi điểm trên 1 đa tạp trơn X/K có 1 hệ thống cơ bản các lân cận affine anabelian.

Tiếp theo đó, sự chú ý của tôi ngày càng đòi hỏi mạnh mẽ hơn thông qua các không gian Moduli M_{g,n} của các đường cong đại số, và tôi tương đối tin rằng nó cũng có thể được gọi là anabelian cũng như mối quan hệ chặt chẽ của chúng tới nhóm cơ bản như trong trường hợp các đường cong anabelian. 1 phần lớn trong các suy nghĩ của tôi từ 2 năm trở lại đây đó là sự giới hạn trên trường có đặc số 0, mà những phần này tôi muốn yêu cầu 1 cách cẩn thận. Do hơn 1 năm nay tôi không bận tâm tới các câu hỏi hóc búa, nên tôi tự cho phép mình tin tưởng vào trí nhớ của mình, và chắc chắn nó sẽ nhanh hơn là 1 chồng các ký tự. Tôi hy vọng tôi cũng sẽ không mang theo quá nhiều các suy nghĩ sai lầm. 1 quan điểm đối với 2 đa tạp X và Y trên trường đóng đại số K dựa trên các điều đã biết cho tới nay là: nếu Y có thể được nhúng vào 1 đa tạp tựa-abelian A vậy thì ánh xạ X -> Y sẽ được biết chính xác tới 1 phép dịch chuyển của A, nếu ánh xạ tương ứng trên đồng điều H_1 cũng được biết (chẳng hạn như l-adic). Từ đó suy ra trong 1 số hoàn cảnh, nếu mà f domiante (thống trị) vậy f sẽ được biết nếu tương ứng H_1(f) được biết. Tuy nhiên trường hợp các ánh xạ hằng sẽ không được xét tới. Nhưng mà chính xác trong trường hợp đa tạp X co rút về 1 điểm lại là trường hợp thú vị.

Nếu chúng ta chuyển qua trường hữu hạn K và thay thế đồng điều H_1 (được hiểu như là abel hóa của nhóm cơ bản) bằng nhóm cơ bản, vậy thì kết quả trong trường hợp Y anabelian là: f được biết nếu $\pi_1(f)$ được biết chính xác tới các tự đẳng cấu bên trong. Nếu tôi còn nhớ chính xác thì trong trường hợp này thay vì dùng nhóm cơ bản, ta có thể làm việc với nhóm thương của nó bằng cách thay thế $\pi_1(\bar{X},\xi)$ bởi $H_1(\bar{X}, \hat{\mathbb{Z}})$.

Việc chứng minh được suy ra khá đơn giản từ định lý Mordell-Weil: nhóm A(K) là 1 Z-Modul hữu hạn sinh, với A là Jacobian tổng quát của Y, nó tương ứng với phép nhúng phổ dụng trong torsors dưới 1 đa tạp tựa abel. Điều quan trọng ở đây là: 1 điểm của A trên K (1 lát cắt của A trên K) hoàn toàn có thể được tính thông qua tính chẻ của dẫy khớp:

$1 \rightarrow H_1(\bar{A}) \rightarrow \pi_1(A) \rightarrow \pi_1(K) \rightarrow 1$ , (chính xác tới 1 tự đẳng cấu trong).

chính xác là thông qua lớp đối đồng điều trong $H^1(K , \pi_1(\bar{A}))$

Từ điều này sẽ dẫn tới 1 hệ quả, mà ở tôi đã có vài phần chín muồi từ cách đây 2 năm rưỡi: nếu K và L là 2 trường tuyệt đối (thuộc kiểu hữu hạn) vậy thì 1 đồng cấu trường K -> L sẽ được hoàn toàn biết nếu chúng ta biết $\pi_1(K) \rightarrow \pi_1(L)$ (chính xác tới 1 tự đẳng cấu trong). Điều này nghe có vẻ rất topological trong mối quan hệ giữa không gian $K( \pi,1)$ và nhóm cơ bản của nó. Tức là các lớp đồng luân tương đương của các ánh xạ của các không gian này tương ứng 1-1 với các ánh xạ giữa các nhóm ngoài. Tuy nhiên trong khuôn khổ hình học đại số tuyệt đối (trên các trường tuyệt đối) thì lớp đồng luân của 1 ánh xạ đã khẳng định ánh xạ đó rồi.

(còn tiếp).

[MrMATH]

Anh AL ơi, anh có bản gốc lá thư này ko ạ

[Kakalotta]

cái này có phải của AL viết không nhỉ?

[MrMATH]

Anh KK lại đùa, anh AL đã đề rõ là thư gửi Faltings của Grothendieck mà. Có điều không thấy xuất xứ và nguồn gốc bức thư này đâu cả

[Alexi Laiho]

hm, cậu MM có thể down bức thư này ở trang Grothendieck, Anabelian Letter to Faltings, June 27, 1983, tôi đọc lá thư này bằng tiếng Đức, nhưng ai ko đọc tiếng Đức thì có thể xem English Translation. Mọi tài liệu liên quan tới Grothendieck thì chỉ có xuất xứ từ trang Grothendieck hoặc Nudam ra mà thôi.