Chủ đề này có 3 trả lời

[minhtoan]

Tìm tất cả hàm $f: N_0 -> N_0$ thỏa mãn: $f(f(n))+f(n)=2n+2007, \forall n\in N_0$

[chuong_pbc]

bài này chứng minh bằng quy nạp là xong mà
$f(x)=x+669$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chuong_pbc: 19-04-2007 - 21:08

[trung_11k]

[tui nhgi ong anh chi noi vay chu' thui
thu chung minh coi nao
dung nghi chi co vay thui nha

[TamTam]

Đặt $a_1=k$, $k$ tuỳ ý thuộc $\large N*$, $\large a_{n+1}=f(a_n)$ với mọi $n$, $\large b_m=a_m-a_{m-1}-669$ với mọi $\large m \geq 2$.
Thế thì $\large 2.b_m+b_{m+1} = 2(a_m-a_{m-1}-669)+a_{m+1}-a_m-669 = a_{m+1}+a_m-2a_{m-1}-2007 = 0$.
Nhận xét, nếu $\large b_n \geq k >0$ thì $\large b_{n+1} \leq -2k$ và $\large b_{n+2} \geq 4k \geq 2k$.
$\large $ Nếu $\large b_2 >0$ thì $\large b_2 \geq 1$, bằng quy nạp dễ thấy với mọi $n$, $\large b_{2n} \geq 2^{n-1}$. Vế phải là hàm tăng thực sự nên có thể chọn $n$ đủ lớn sao cho $\large b_{2n} >1338$, lúc đó $\large b_{2n}+b_{2n+1}=-b_{2n} <-1338$. Mà
$\large b_{2n}+b_{2n+1}=a_{2n+1}-a{2n-1}-1338<-1338$ nên $\large a_{2n+1} < a_{2n-1}$. Lại chọn $n$ đủ lớn thì sau hữu hạn lần $\large a_{2n+1} <0$, mâu thuẫn vì $f$ nhận giá trị trong tập số nguyên dương.
$\large $ Nếu $\large b_2 <0$ thì $\large b_3 >0$, lại quy về mâu thuẫn như trên.
Vậy $b_2 =0$, nghĩa là $f(k)=k+669$ với mọi $k$ thuộc $\large N*$. Thử lại...