Cho $\large\ x,y,z >-1 $
CMR: $\large\dfrac{1+x^2}{1+y+z^2}+\dfrac{1+y^2}{1+z+x^2}+\dfrac{1+z^2}{1+z+y^2} \geq 2 $
Học thi HK thui
Bắt đầu bởi MyLoveIs4Ever, 28-04-2007 - 15:42
#2
Đã gửi 30-04-2007 - 11:39
supermember
-
- Hiệp sỹ
-
- 1646 Bài viết
Đại úy
Junior Balkan 2003:Cho $\large\ x,y,z >-1 $
CMR: $\large\dfrac{1+x^2}{1+y+z^2}+\dfrac{1+y^2}{1+z+x^2}+\dfrac{1+z^2}{1+z+y^2} \geq 2 $
If x < 0, then replacing x by -x, does not change the first two terms and reduces the third term, so we can assume $x, y, z \geq 0. $
Since $(x-1)^2 \ge 0$ with equality iff $x = 1, 3(x^2 + 1) \ge 2(x^2 + x + 1)$ with equality iff x = 1.
Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui 
#3
Đã gửi 05-05-2007 - 17:12
Hero TVƠ
-
- Thành viên
-
- 76 Bài viết
Hạ sĩ
Bài này xưa rồi mà
đặt vế trái là A
$ \dfrac{1}{2} $ A= $ \sum $$ \dfrac{1+x^2}{2(1+z^2)+2y} $ $ \geq $ $ \sum $$ \dfrac{1+x^2}{2(1+z^2)+(y^2)+1} $= $ \sum $$ \dfrac{a}{2c+b} $
Trong đó a=1+$ x^{2} $
b=1+$ y^{2} $
c=1+$ z^{2} $=> a,b,c >0
$ \sum $$ \dfrac{a}{2c+b} $= $ \sum $$ \dfrac{ a^{2} }{2ca+ba} $
$ \sum $$ \dfrac{ a^{2} }{2ca+ba} $$ \geq $$ \dfrac{ (a+b+c)^{2} }{3(ab+bc+ca)} $ $ \geq $ 1=>A$ \geq $2
đặt vế trái là A
$ \dfrac{1}{2} $ A= $ \sum $$ \dfrac{1+x^2}{2(1+z^2)+2y} $ $ \geq $ $ \sum $$ \dfrac{1+x^2}{2(1+z^2)+(y^2)+1} $= $ \sum $$ \dfrac{a}{2c+b} $
Trong đó a=1+$ x^{2} $
b=1+$ y^{2} $
c=1+$ z^{2} $=> a,b,c >0
$ \sum $$ \dfrac{a}{2c+b} $= $ \sum $$ \dfrac{ a^{2} }{2ca+ba} $
$ \sum $$ \dfrac{ a^{2} }{2ca+ba} $$ \geq $$ \dfrac{ (a+b+c)^{2} }{3(ab+bc+ca)} $ $ \geq $ 1=>A$ \geq $2
#4
Đã gửi 05-05-2007 - 17:14
Hero TVƠ
-
- Thành viên
-
- 76 Bài viết
Hạ sĩ
Bài này xưa rồi mà
đặt vế trái là A
$ \dfrac{1}{2} $ A= $ \sum $$ \dfrac{1+x^2}{2(1+z^2)+2y} $ $ \geq $ $ \sum $$ \dfrac{1+x^2}{2(1+z^2)+(y^2)+1} $= $ \sum $$ \dfrac{a}{2c+b} $
Trong đó a=1+$ x^{2} $
b=1+$ y^{2} $
c=1+$ z^{2} $=> a,b,c >0
$ \sum $$ \dfrac{a}{2c+b} $= $ \sum $$ \dfrac{ a^{2} }{2ca+ba} $
$ \sum $$ \dfrac{ a^{2} }{2ca+ba} $$ \geq $$ \dfrac{ (a+b+c)^{2} }{3(ab+bc+ca)} $ $ \geq $ 1=>A$ \geq $2
đặt vế trái là A
$ \dfrac{1}{2} $ A= $ \sum $$ \dfrac{1+x^2}{2(1+z^2)+2y} $ $ \geq $ $ \sum $$ \dfrac{1+x^2}{2(1+z^2)+(y^2)+1} $= $ \sum $$ \dfrac{a}{2c+b} $
Trong đó a=1+$ x^{2} $
b=1+$ y^{2} $
c=1+$ z^{2} $=> a,b,c >0
$ \sum $$ \dfrac{a}{2c+b} $= $ \sum $$ \dfrac{ a^{2} }{2ca+ba} $
$ \sum $$ \dfrac{ a^{2} }{2ca+ba} $$ \geq $$ \dfrac{ (a+b+c)^{2} }{3(ab+bc+ca)} $ $ \geq $ 1=>A$ \geq $2
#5
Đã gửi 05-05-2007 - 17:20
Hero TVƠ
-
- Thành viên
-
- 76 Bài viết
Hạ sĩ
Bài này xưa rồi mà
đặt vế trái là A
$ \dfrac{1}{2} $ A= $ \sum $$ \dfrac{1+x^2}{2(1+z^2)+2y} $ $ \geq $ $ \sum $$ \dfrac{1+x^2}{2(1+z^2)+(y^2)+1} $= $ \sum $$ \dfrac{a}{2c+b} $
Trong đó a=1+$ x^{2} $
b=1+$ y^{2} $
c=1+$ z^{2} $=> a,b,c >0
$ \sum $$ \dfrac{a}{2c+b} $= $ \sum $$ \dfrac{ a^{2} }{2ca+ba} $
$ \sum $$ \dfrac{ a^{2} }{2ca+ba} $$ \geq $$ \dfrac{ (a+b+c)^{2} }{3(ab+bc+ca)} $ $ \geq $ 1=>A$ \geq $2
đặt vế trái là A
$ \dfrac{1}{2} $ A= $ \sum $$ \dfrac{1+x^2}{2(1+z^2)+2y} $ $ \geq $ $ \sum $$ \dfrac{1+x^2}{2(1+z^2)+(y^2)+1} $= $ \sum $$ \dfrac{a}{2c+b} $
Trong đó a=1+$ x^{2} $
b=1+$ y^{2} $
c=1+$ z^{2} $=> a,b,c >0
$ \sum $$ \dfrac{a}{2c+b} $= $ \sum $$ \dfrac{ a^{2} }{2ca+ba} $
$ \sum $$ \dfrac{ a^{2} }{2ca+ba} $$ \geq $$ \dfrac{ (a+b+c)^{2} }{3(ab+bc+ca)} $ $ \geq $ 1=>A$ \geq $2
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
